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1. 下列结果正确的是 （
A.$(\dfrac{1}{3})^{-2}=9$
B.$a^3 · a^4 = a^{12}$
C.$(-53.7)^0=0$
D.$(-3a^2)^{-3}=27a^6$
A
）A.$(\dfrac{1}{3})^{-2}=9$
B.$a^3 · a^4 = a^{12}$
C.$(-53.7)^0=0$
D.$(-3a^2)^{-3}=27a^6$
答案
1.A
2. [母题 教材P162习题T1(1)] 若$(a-1)^0 + 3(a-4)^{-2}$有意义，则a的取值范围是（
A.$a＞4$
B.$a＜4$
C.$a≠1$且$a≠4$
D.$a≠1$或$a≠4$
C
）A.$a＞4$
B.$a＜4$
C.$a≠1$且$a≠4$
D.$a≠1$或$a≠4$
答案
2.C
3. 计算 $ x^3 ÷ (x^3 y^{-1})^2 $ 的结果是 （
A.$ \dfrac{x^6}{y^2} $
B.$ x^3 y^2 $
C.$ \dfrac{y^2}{x^3} $
D.$ x^3 y^6 $
C
）A.$ \dfrac{x^6}{y^2} $
B.$ x^3 y^2 $
C.$ \dfrac{y^2}{x^3} $
D.$ x^3 y^6 $
答案
3.C
4. 若$10^{2a}=25$，则$10^{-a}$等于（
A.$\frac{1}{5}$
B.$-\frac{1}{5}$
C.$\frac{1}{50}$
D.$\frac{1}{625}$
A
）A.$\frac{1}{5}$
B.$-\frac{1}{5}$
C.$\frac{1}{50}$
D.$\frac{1}{625}$
答案
4.A
5. 已知$a=-0.3^2$，$b=-3^{-2}$，$c=(-\dfrac{1}{3})^{-2}$，$d=(-\dfrac{1}{3})^0$，则$a,b,c,d$的大小关系为
（用“＜”号连接起来）
$b＜a＜d＜c$
。（用“＜”号连接起来）
答案
5.$b＜a＜d＜c$ 【点拨】$\because a=-0.09,b=-\dfrac{1}{9},c=9,d=1,-\dfrac{1}{9}＜-0.09＜1＜9,\therefore b＜a＜d＜c.$
6. [2025郴州期中] 计算：$(-\dfrac{1}{2})^{-3}+(2025-π)^0+(-\dfrac{1}{3})^{2025}×(-3)^{2025}$
答案
6.【解】$(-\dfrac{1}{2})^{-3}+(2\ 025-π)^0+(-\dfrac{1}{3})^{2\ 025}×(-3)^{2\ 025}=-8+1+[-\dfrac{1}{3}×(-3)]^{2\ 025}=-8+1+1^{2\ 025}=-8+1+1=-6.$
7. 有下列四个运算结果:①$2^{-1}=\frac{1}{2}$；②$(x^{-2})^{3} · x^{6}=1$；③$(x^{3})^{2} ÷ x^{2}=x^{4}$；④$3x^{-2}=\frac{3}{x^{2}}$，其中正确的结果为（
A.①②
B.②③
C.①②③④
D.①②③
C
）A.①②
B.②③
C.①②③④
D.①②③
答案
7.C
8. 新视角 新定义题 定义一种新的运算:如果 $ a ≠ 0 $，则有 $ a▲b = a^{-2} + ab + |-b| $，那么 $ (-\dfrac{1}{2})▲2 $ 的值是（
A.$ -3 $
B.$ 5 $
C.$ -\dfrac{3}{4} $
D.$ \dfrac{3}{2} $
B
）A.$ -3 $
B.$ 5 $
C.$ -\dfrac{3}{4} $
D.$ \dfrac{3}{2} $
答案
8.B 【点拨】$\because a▲b=a^{-2}+ab+|-b|,\therefore (-\dfrac{1}{2})▲2=(-\dfrac{1}{2})^{-2}+(-\dfrac{1}{2})· 2+|-2|=\dfrac{1}{(-\dfrac{1}{2})^2}-1+2=4-1+2=5.$
9. 在算式“$(-3)□(-4)^{-2} × \left| -\dfrac{1}{5} \right|$”中的“□”里填入一个运算符号，使得它的结果最小，则填入的是（
A.$+$
B.$-$
C.$×$
D.$÷$
D
）A.$+$
B.$-$
C.$×$
D.$÷$
答案
9.D 【点拨】若填入的符号为$+$,则$(-3)+(-4)^{-2}×\left|-\dfrac{1}{5}\right|=(-3)+\dfrac{1}{16}×\dfrac{1}{5}=-2\ \dfrac{79}{80}$;若填入的符号为$-$,则$(-3)-(-4)^{-2}×\left|-\dfrac{1}{5}\right|=(-3)-\dfrac{1}{16}×\dfrac{1}{5}=-3-\dfrac{1}{80}=-3\ \dfrac{1}{80}$;若填入的符号为$×$,则$(-3)×(-4)^{-2}×\left|-\dfrac{1}{5}\right|=(-3)×\dfrac{1}{16}×\dfrac{1}{5}=-\dfrac{3}{80}$;若填入的符号为$÷$,则$(-3)÷(-4)^{-2}×\left|-\dfrac{1}{5}\right|=(-3)×16×\dfrac{1}{5}=-\dfrac{48}{5}.\because -\dfrac{48}{5}＜-3\ \dfrac{1}{80}＜-2\ \dfrac{79}{80}＜-\dfrac{3}{80},\therefore$填入的符号为$÷.$
10. 新考法·分类讨论法 2025·岳阳期中 如果$(a-1)^{a+1}=1$成立，则$a=$
2或−1
。答案
10.2或−1 【点拨】当$a-1=1$,即$a=2$时,$(a-1)^{a+1}=1^3=1$;当$a+1=0$,即$a=-1$时,$(a-1)^{a+1}=(-2)^0=1$.综上所述,$a=-1$或$2.$
11. 已知a是大于1的实数，且有$a^3 + a^{-3} = p$，$a^3 - a^{-3} = q$成立.
(1)若$p + q = 4$，求$p - q$的值；
(2)当$q^2 = 2^{2n} + \frac{1}{2^{2n}} - 2(n ≥ 1, 且n是整数)$时，比较p与$(a^3 + \frac{1}{4})$的大小，并说明理由.
(1)若$p + q = 4$，求$p - q$的值；
(2)当$q^2 = 2^{2n} + \frac{1}{2^{2n}} - 2(n ≥ 1, 且n是整数)$时，比较p与$(a^3 + \frac{1}{4})$的大小，并说明理由.
答案
11.【解】(1)$\because a^3+a^{-3}=p$ ①,$a^3-a^{-3}=q$ ②,$\therefore$①$+$②,得$2a^3=p+q=4$,$\therefore a^3=2$. ①$-$②,得$p-q=2a^{-3}=\dfrac{2}{a^3}=1.$
(2)当$n=1$时,$p＞a^3+\dfrac{1}{4}$;当$n=2$时,$p=a^3+\dfrac{1}{4}$;当$n≥3$时,$p＜a^3+\dfrac{1}{4}$.理由如下：
$\because q^2=2^{2n}+\dfrac{1}{2^{2n}}-2(n≥1,且n是整数),\therefore q^2=(2^n-2^{-n})^2,\therefore q=2^n-2^{-n}.$又由(1)中①$+$②得$2a^3=p+q$,$\therefore a^3=\dfrac{1}{2}(p+q)$. ①$-$②得$2a^{-3}=p-q$,$\therefore a^{-3}=\dfrac{1}{2}(p-q),\therefore p^2-q^2=4,\therefore p^2=q^2+4=(2^n+2^{-n})^2$,$\therefore p=2^n+2^{-n}$,$\therefore a^3+a^{-3}=2^n+2^{-n}$ ③,$a^3-a^{-3}=2^n-2^{-n}$ ④,$\therefore$③$+$④得$2a^3=2×2^n$,$\therefore a^3=2^n$,$\therefore p-(a^3+\dfrac{1}{4})=2^n+2^{-n}-2^n-\dfrac{1}{4}=2^{-n}-\dfrac{1}{4}.$当$n=1$时,$p＞a^3+\dfrac{1}{4}$;当$n=2$时,$p=a^3+\dfrac{1}{4}$;当$n≥3$时,$p＜a^3+\dfrac{1}{4}.$
(2)当$n=1$时,$p＞a^3+\dfrac{1}{4}$;当$n=2$时,$p=a^3+\dfrac{1}{4}$;当$n≥3$时,$p＜a^3+\dfrac{1}{4}$.理由如下：
$\because q^2=2^{2n}+\dfrac{1}{2^{2n}}-2(n≥1,且n是整数),\therefore q^2=(2^n-2^{-n})^2,\therefore q=2^n-2^{-n}.$又由(1)中①$+$②得$2a^3=p+q$,$\therefore a^3=\dfrac{1}{2}(p+q)$. ①$-$②得$2a^{-3}=p-q$,$\therefore a^{-3}=\dfrac{1}{2}(p-q),\therefore p^2-q^2=4,\therefore p^2=q^2+4=(2^n+2^{-n})^2$,$\therefore p=2^n+2^{-n}$,$\therefore a^3+a^{-3}=2^n+2^{-n}$ ③,$a^3-a^{-3}=2^n-2^{-n}$ ④,$\therefore$③$+$④得$2a^3=2×2^n$,$\therefore a^3=2^n$,$\therefore p-(a^3+\dfrac{1}{4})=2^n+2^{-n}-2^n-\dfrac{1}{4}=2^{-n}-\dfrac{1}{4}.$当$n=1$时,$p＞a^3+\dfrac{1}{4}$;当$n=2$时,$p=a^3+\dfrac{1}{4}$;当$n≥3$时,$p＜a^3+\dfrac{1}{4}.$
