1. 一元二次方程$(x+3)(2x-1)=0$的解是（）

A.$x_1=3, x_2=\frac{1}{2}$
B.$x_1=-3, x_2=\frac{1}{2}$
C.$x_1=3, x_2=2$
D.$x_1=-3, x_2=-2$

1.B

【分析】
本题考查因式分解法解一元二次方程，解题核心是利用“若两个因式的乘积为0，则其中至少有一个因式的值为0”的性质，把二次方程降次转化为两个一元一次方程，分别求解两个一次方程就能得到原方程的解，再对应选项选出答案即可。
【解析】
解：已知一元二次方程$(x+3)(2x-1)=0$，根据“两个代数式的乘积为0，则至少有一个代数式的值为0”，可得：
$x+3=0$ 或 $2x-1=0$
解$x+3=0$，得$x_1=-3$；
解$2x-1=0$，移项得$2x=1$，系数化为1得$x_2=\frac{1}{2}$。
因此原方程的解为$x_1=-3, x_2=\frac{1}{2}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
因式分解法解方程，一元一次方程求解
【点评】
本题是因式分解法解一元二次方程的基础题型，重点考查对因式分解法核心原理的理解，解题时只需将二次方程降次转化为一次方程即可快速得到结果，难度较低。
【难度系数】
0.9

2. 已知某一元二次方程的两根分别是3和-2，则这个一元二次方程可能是（）

A.$(x+3)(x-2)=0$
B.$(x+3)(x+2)=0$
C.$(x-3)(x+2)=0$
D.$(x-3)(x-2)=0$

2.C

【分析】
解题时可以利用因式分解法解一元二次方程的逆向思维：如果一元二次方程的两个根是$x_1$和$x_2$，那么这个方程可以整理为$(x-x_1)(x-x_2)=0$的形式。我们只需要把已知的两根3和-2代入这个形式，注意符号不要出错，再对应选项判断即可。
【解析】
根据因式分解法解一元二次方程的逆用规律：若一元二次方程的两根为$x_1$、$x_2$，则方程可表示为$(x-x_1)(x-x_2)=0$。
已知方程两根分别为3和-2，即$x_1=3$，$x_2=-2$，代入得：
$(x-3)(x-(-2))=0$
化简后为$(x-3)(x+2)=0$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根的定义
【点评】
本题属于基础题型，核心考查因式分解法的逆向应用，解题时要特别注意根的符号与因式中常数项的符号相反，避免因符号混淆选错答案。
【难度系数】
0.9

3.用因式分解法解一元二次方程$(3x-4)^2 -25=0$时，要转化成两个一元一次方程求解，其中的一个方程是$3x-4+5=0$，则另一个方程是。

3.另一个方程是$3x-4-5=0$

【分析】
解题时首先观察方程结构，左边是两个数的平方相减的形式，符合平方差公式的特征。因式分解法解一元二次方程的核心逻辑是：若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0。我们先利用平方差公式对左边因式分解，得到两个一次因式的乘积等于0，即可推出对应的两个一元一次方程，结合题干给出的其中一个方程，就能求出另一个方程。
【解析】
首先将方程变形为平方差的形式：
$(3x-4)^2 - 5^2 = 0$
根据平方差公式$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，对左边因式分解可得：
$[(3x-4)+5][(3x-4)-5] = 0$
根据因式分解法解方程的原理，可得两个一元一次方程：
$3x-4+5=0$ 或 $3x-4-5=0$
已知其中一个方程是$3x-4+5=0$，因此另一个方程为$3x-4-5=0$。
【答案】
$3x-4-5=0$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、平方差公式
【点评】
本题是基础题型，重点考查平方差公式的识别与应用，以及因式分解法解一元二次方程的核心原理，熟练掌握公式和方法即可快速求解。
【难度系数】
0.9

4. 已知关于x的一元二次方程3(x−1)(x−m)=0的两个根是1和2，则m的值是.

4.2

【分析】
本题可根据因式分解法解一元二次方程的原理求解：首先明确已经因式分解为乘积形式的一元二次方程，其根就是令每个一次因式为0时得到的未知数的值，再结合题目给出的已知根，对应匹配即可求出m的值。
【解析】
解：对于一元二次方程$3(x-1)(x-m)=0$，
两边同时除以3，可得$(x-1)(x-m)=0$，
根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0”，可得：
$x-1=0$ 或 $x-m=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=m$，
已知方程的两个根是1和2，因此$m=2$。
【答案】
2
【知识点】
1.因式分解法解一元二次方程
2.一元二次方程的根的定义
【点评】
本题属于基础题，是对因式分解法解方程知识点的直接考查，掌握因式分解法解方程的原理即可快速求出结果。
【难度系数】
0.9

5.(教材P14练习T1变式)用因式分解法解下列方程：
(1)$x^2 -5\sqrt{3}x=0$；
(2)$x(x-2)=x$；
(3)$(x-3)(x+3)=2x+6$。

5.解:(1)左边分解因式,得$x(x-5\sqrt{3})=0$. 于是$x=0$,或$x-5\sqrt{3}=0$,即$x_1=0,x_2=5\sqrt{3}$.
(2)移项,得$x(x-2)-x=0$.左边分解因式,得$x(x-2-1)=0$.于是$x=0$,或$x-3=0$,即$x_1=0,x_2=3$.
(3)移项,得$(x-3)(x+3)-2(x+3)=0$.左边分解因式,得$(x+3)(x-5)=0$.于是$x+3=0$,或$x-5=0$,即$x_1=-3,x_2=5$.

【分析】
用因式分解法解一元二次方程的总体思路是：先把方程整理为一边是0，另一边可分解为两个一次因式乘积的形式，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程求解，注意不能随意约去含有未知数的整式，否则会漏掉方程的根。
(1) 方程左边两项都含公因式x，直接提取公因式即可分解；
(2) 直接两边除以x会漏掉x=0的根，因此先将右边的x移到左边，再提取公因式x分解；
(3) 先把右边的2x+6变形为2(x+3)，移项后左边两项含公因式(x+3)，提取公因式即可分解。
【解析】
(1) 左边分解因式，得$x(x-5\sqrt{3})=0$。于是$x=0$，或$x-5\sqrt{3}=0$，即$x_1=0,x_2=5\sqrt{3}$。
(2) 移项，得$x(x-2)-x=0$。左边分解因式，得$x(x-2-1)=0$。于是$x=0$，或$x-3=0$，即$x_1=0,x_2=3$。
(3) 移项，得$(x-3)(x+3)-2(x+3)=0$。左边分解因式，得$(x+3)(x-5)=0$。于是$x+3=0$，或$x-5=0$，即$x_1=-3,x_2=5$。
【答案】
(1) $x_1=0,x_2=5\sqrt{3}$；
(2) $x_1=0,x_2=3$；
(3) $x_1=-3,x_2=5$
【知识点】
因式分解法解方程、提公因式因式分解、一元二次方程求解
【点评】
本题是因式分解法解方程的基础题型，重点考查提公因式分解因式的应用，解题时要注意不能随意约去含未知数的公因式，避免出现漏根的问题，熟练掌握该方法可有效提高一元二次方程的求解速度。
【难度系数】
0.8

6. 解方程 $2(5x - 1)^2 = 3(5x - 1)$ 的最适当的方法是 （）

A.直接开平方法
B.配方法
C.公式法
D.因式分解法

6.D

【分析】
解题时首先观察方程的结构特征，方程左右两边都含有相同的整式$(5x-1)$：若选择直接开平方法，方程右边不是常数，不符合该方法的适用条件；若选择配方法或公式法，需要先将方程展开整理为一元二次方程的一般形式，计算步骤繁琐；而将右边的项移到左边后，可直接提取公因式$(5x-1)$完成因式分解，无需展开计算就能快速求解，因此最适当的方法是因式分解法。
【解析】
观察方程$2(5x - 1)^2 = 3(5x - 1)$的特征：
1. 先移项得：$2(5x - 1)^2 - 3(5x - 1) = 0$；
2. 方程左边两项含有公因式$(5x-1)$，提取公因式可得：$(5x-1)[2(5x-1)-3]=0$，无需展开整理即可转化为两个一元一次方程求解，计算过程最简便。
因此最适当的解法为因式分解法，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程解法选择；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题考查一元二次方程最优解法的选择，解题时需先观察方程的结构特点，优先选择计算量最小、最简便的解法，可有效提升解题效率。
【难度系数】
0.8

7. 用适当的方法解下列方程：
(1) $2(x+1)^2 = \frac{9}{2}$；
(2) $x^2 + 2x - 288 = 0$；
(3) $(x-2)^2 - 3(x-2) = 0$；
(4) $4x^2 + 3x - 2 = 0$。

7.解:(1)二次项系数化为1,得$(x+1)^2=\frac{9}{4}$.由此可得$x+1=\pm\frac{3}{2}$,即$x_1=\frac{1}{2},x_2=-\frac{5}{2}$.
(2)移项,得$x^2+2x=288$.配方,得$x^2+2x+1=288+1$,$(x+1)^2=289$.由此可得$x+1=\pm17$.即$x_1=16,x_2=-18$.
(3)左边分解因式,得$(x-2)(x-2-3)=0$.于是$x-2=0$,或$x-5=0$,即$x_1=2,x_2=5$.
(4)$\because a=4,b=3,c=-2$,$\therefore \Delta=b^2-4ac=3^2-4×4×(-2)=41＞0$.方程有两个不相等的实数根.$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-3\pm\sqrt{41}}{2×4}=\frac{-3\pm\sqrt{41}}{8}$,即$x_1=\frac{-3+\sqrt{41}}{8},x_2=\frac{-3-\sqrt{41}}{8}$.

【分析】
本题考查一元二次方程的解法，需根据方程的结构特征选择最优解法简化计算：(1)方程左边为含未知数的完全平方式，右边为常数，优先选用直接开平方法，先将完全平方式的系数化为1，再开方转化为一元一次方程求解；(2)方程二次项系数为1，一次项系数为偶数，适合用配方法，先移项将常数项移到等号右侧，再配方成完全平方式后开方求解；(3)方程含有公因式$(x-2)$，优先选用因式分解法，提取公因式将方程转化为两个一次因式乘积为0的形式，再分别令每个因式为0求解；(4)方程各项系数无特殊特征，难以直接因式分解或配方，选用公式法，先确定$a、b、c$的值，计算判别式判断根的情况，再代入求根公式计算即可。
【解析】
(1) 二次项系数化为1，得$(x+1)^2=\frac{9}{4}$，由此可得$x+1=\pm\frac{3}{2}$，解得$x_1=\frac{1}{2}$，$x_2=-\frac{5}{2}$。
(2) 移项，得$x^2+2x=288$，配方，得$x^2+2x+1=288+1$，即$(x+1)^2=289$，由此可得$x+1=\pm17$，解得$x_1=16$，$x_2=-18$。
(3) 左边分解因式，得$(x-2)(x-2-3)=0$，即$(x-2)(x-5)=0$，于是$x-2=0$或$x-5=0$，解得$x_1=2$，$x_2=5$。
(4) 由题得$a=4,b=3,c=-2$，$\Delta=b^2-4ac=3^2-4×4×(-2)=41＞0$，方程有两个不相等的实数根，代入求根公式得$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-3\pm\sqrt{41}}{8}$，即$x_1=\frac{-3+\sqrt{41}}{8}$，$x_2=\frac{-3-\sqrt{41}}{8}$。
【答案】
(1)$x_1=\frac{1}{2},x_2=-\frac{5}{2}$；(2)$x_1=16,x_2=-18$；(3)$x_1=2,x_2=5$；(4)$x_1=\frac{-3+\sqrt{41}}{8},x_2=\frac{-3-\sqrt{41}}{8}$
【知识点】
一元二次方程的解法；因式分解法；公式法解一元二次方程
【点评】
本题重点考查一元二次方程解法的灵活运用，不同结构的方程对应最简便的解法，熟练掌握各类解法的适用条件和操作步骤，能有效提升解题速度和准确率。
【难度系数】
0.8