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8.当$x=$
1或-7
时，代数式$3x^2 + 6x - 8$的值与代数式$2x^2 - 1$的值相等。答案
8.1或-7
解析
【分析】
首先根据两个代数式值相等的条件建立等量关系，将问题转化为一元二次方程求解问题；接下来将等式移项、合并同类项，整理为一元二次方程的一般形式；观察整理后方程的特点，运用十字相乘法对二次三项式因式分解，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少一个因式为0”的原理，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到x的值。
【解析】
根据题意，可列方程：
$3x^2 + 6x - 8 = 2x^2 - 1$
移项，得：
$3x^2 - 2x^2 + 6x - 8 + 1 = 0$
合并同类项，得一元二次方程的一般形式：
$x^2 + 6x - 7 = 0$
用十字相乘法因式分解，得：
$(x - 1)(x + 7) = 0$
则有$x - 1 = 0$或$x + 7 = 0$，
解得：$x_1 = 1$，$x_2 = -7$。
【答案】
1或-7
【知识点】
列一元二次方程；因式分解法解方程；十字相乘法因式分解
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查根据等量关系列方程的能力，以及因式分解法解一元二次方程的掌握程度，解题时需注意移项时符号不要出错，熟练运用十字相乘法可提高解题效率。
【难度系数】
0.7
首先根据两个代数式值相等的条件建立等量关系，将问题转化为一元二次方程求解问题；接下来将等式移项、合并同类项，整理为一元二次方程的一般形式；观察整理后方程的特点，运用十字相乘法对二次三项式因式分解，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少一个因式为0”的原理，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到x的值。
【解析】
根据题意，可列方程：
$3x^2 + 6x - 8 = 2x^2 - 1$
移项，得：
$3x^2 - 2x^2 + 6x - 8 + 1 = 0$
合并同类项，得一元二次方程的一般形式：
$x^2 + 6x - 7 = 0$
用十字相乘法因式分解，得：
$(x - 1)(x + 7) = 0$
则有$x - 1 = 0$或$x + 7 = 0$，
解得：$x_1 = 1$，$x_2 = -7$。
【答案】
1或-7
【知识点】
列一元二次方程；因式分解法解方程；十字相乘法因式分解
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查根据等量关系列方程的能力，以及因式分解法解一元二次方程的掌握程度，解题时需注意移项时符号不要出错，熟练运用十字相乘法可提高解题效率。
【难度系数】
0.7
9.若菱形ABCD的一条对角线长为8,边AB的长为方程$x^2 -8x +15=0$的一个根,则菱形ABCD的周长为（
A.24
B.12
C.20
D.12或20
C
）A.24
B.12
C.20
D.12或20
答案
9.C
解析
【分析】
要解决本题，可按以下思路思考：①先通过因式分解法解一元二次方程，得到边长的两个可能取值；②结合菱形的性质与三角形三边关系，对得到的根进行合理性检验，排除不符合实际的边长；③用符合要求的边长计算菱形周长即可。
【解析】
第一步：解方程$x^2 -8x +15=0$
因式分解得：$(x-3)(x-5)=0$
解得$x_1=3$，$x_2=5$，即菱形边长可能为3或5。
第二步：检验根的合理性
菱形的四条边相等，且两条邻边与一条对角线可构成三角形，需满足三角形三边关系：两边之和大于第三边。
①若边长为3：此时两条邻边之和为$3+3=6$，已知对角线长为8，$6＜8$，无法构成三角形，不符合要求，舍去。
②若边长为5：此时两条邻边之和为$5+5=10＞8$，可以构成三角形，符合要求。
第三步：计算周长
菱形周长为$4×5=20$。
【答案】
C
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；菱形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是代数与几何的综合题，易错点是求解一元二次方程后，未结合几何图形的性质对根进行检验，误选D选项，解题时要注意实际图形的隐含限制条件。
【难度系数】
0.6
要解决本题，可按以下思路思考：①先通过因式分解法解一元二次方程，得到边长的两个可能取值；②结合菱形的性质与三角形三边关系，对得到的根进行合理性检验，排除不符合实际的边长；③用符合要求的边长计算菱形周长即可。
【解析】
第一步：解方程$x^2 -8x +15=0$
因式分解得：$(x-3)(x-5)=0$
解得$x_1=3$，$x_2=5$，即菱形边长可能为3或5。
第二步：检验根的合理性
菱形的四条边相等，且两条邻边与一条对角线可构成三角形，需满足三角形三边关系：两边之和大于第三边。
①若边长为3：此时两条邻边之和为$3+3=6$，已知对角线长为8，$6＜8$，无法构成三角形，不符合要求，舍去。
②若边长为5：此时两条邻边之和为$5+5=10＞8$，可以构成三角形，符合要求。
第三步：计算周长
菱形周长为$4×5=20$。
【答案】
C
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；菱形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是代数与几何的综合题，易错点是求解一元二次方程后，未结合几何图形的性质对根进行检验，误选D选项，解题时要注意实际图形的隐含限制条件。
【难度系数】
0.6
10. 下列一元二次方程的解法中,正确的是(
A.$(x-3)(x-5)=10×2,∴x-3=10,$
$x-5=2,∴x_1=13,x_2=7$
B.$(2-5x)+(5x-2)^2=0,∴(5x-2)(5x-3)=0,∴x_1=\frac{2}{5},x_2=\frac{3}{5}$
C.$(x+2)^2+4x=0,∴x_1=2,x_2=-2$
D.$x^2=x$两边同除以$x$,得$x=1$
B
)A.$(x-3)(x-5)=10×2,∴x-3=10,$
$x-5=2,∴x_1=13,x_2=7$
B.$(2-5x)+(5x-2)^2=0,∴(5x-2)(5x-3)=0,∴x_1=\frac{2}{5},x_2=\frac{3}{5}$
C.$(x+2)^2+4x=0,∴x_1=2,x_2=-2$
D.$x^2=x$两边同除以$x$,得$x=1$
答案
10.B
解析
【分析】
本题为一元二次方程解法的正误判断题，解题时需逐个验证每个选项的运算步骤：首先明确因式分解法解方程的核心前提是方程右侧为0，才可利用“若ab=0，则a=0或b=0”的性质求解；其次等式变形时，不能随意除以含有未知数的整式，否则会出现漏根的情况；另外遇到可提取公因式的式子要正确变形，展开运算时注意计算准确性，通过逐一排查即可得到正确选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：方程右边为20，不是0，不能直接令两个因式分别等于10和2求解。正确展开计算得：$x^2-8x+15=20$，即$x^2-8x-5=0$，根显然不是13和7，故A错误。
B选项：先对原式变形，$(2-5x)=-(5x-2)$，原式可写为：$-(5x-2)+(5x-2)^2=0$，提取公因式$(5x-2)$得：$(5x-2)(5x-2-1)=0$，即$(5x-2)(5x-3)=0$，解得$x_1=\frac{2}{5},x_2=\frac{3}{5}$，故B正确。
C选项：先展开整理方程：$(x+2)^2+4x=x^2+4x+4+4x=x^2+8x+4=0$，判别式$\Delta=64-16=48$，根为$x=-4\pm2\sqrt{3}$，不是2和-2，故C错误。
D选项：直接两边除以x，未考虑x=0的情况，会漏根。正确解法为移项得$x^2-x=0$，因式分解得$x(x-1)=0$，解为$x_1=0,x_2=1$，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 等式的性质
3. 一元二次方程求解
【点评】
本题重点考查一元二次方程解法的概念辨析，需要学生熟练掌握因式分解法的适用条件，同时注意等式变形时的限制要求，避免出现漏根、错用运算规则的问题，属于对基础知识点的考查。
【难度系数】
0.7
本题为一元二次方程解法的正误判断题，解题时需逐个验证每个选项的运算步骤：首先明确因式分解法解方程的核心前提是方程右侧为0，才可利用“若ab=0，则a=0或b=0”的性质求解；其次等式变形时，不能随意除以含有未知数的整式，否则会出现漏根的情况；另外遇到可提取公因式的式子要正确变形，展开运算时注意计算准确性，通过逐一排查即可得到正确选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：方程右边为20，不是0，不能直接令两个因式分别等于10和2求解。正确展开计算得：$x^2-8x+15=20$，即$x^2-8x-5=0$，根显然不是13和7，故A错误。
B选项：先对原式变形，$(2-5x)=-(5x-2)$，原式可写为：$-(5x-2)+(5x-2)^2=0$，提取公因式$(5x-2)$得：$(5x-2)(5x-2-1)=0$，即$(5x-2)(5x-3)=0$，解得$x_1=\frac{2}{5},x_2=\frac{3}{5}$，故B正确。
C选项：先展开整理方程：$(x+2)^2+4x=x^2+4x+4+4x=x^2+8x+4=0$，判别式$\Delta=64-16=48$，根为$x=-4\pm2\sqrt{3}$，不是2和-2，故C错误。
D选项：直接两边除以x，未考虑x=0的情况，会漏根。正确解法为移项得$x^2-x=0$，因式分解得$x(x-1)=0$，解为$x_1=0,x_2=1$，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 等式的性质
3. 一元二次方程求解
【点评】
本题重点考查一元二次方程解法的概念辨析，需要学生熟练掌握因式分解法的适用条件，同时注意等式变形时的限制要求，避免出现漏根、错用运算规则的问题，属于对基础知识点的考查。
【难度系数】
0.7
11. 在解方程 $2(x-3)^2 = x^2 -9$ 时，小王的解法如下：
(1)小王的解答过程从第几步开始出现错误？
错误的原因是什么？
(2)请给出这道题的正确解答过程。
(1)小王的解答过程从第几步开始出现错误？
错误的原因是什么？
(2)请给出这道题的正确解答过程。
答案
11.解:(1)第二步开始出现错误,错误的原因是方程两边都除以$x-3$,但没有考虑$x-3=0$的情况,这会导致漏解,因此小王的解答过程不正确.
(2)$2(x-3)^2=x^2-9$,$\therefore 2(x-3)^2-(x^2-9)=0$,$\therefore 2(x-3)^2-(x+3)(x-3)=0$,$\therefore (x-3)[2(x-3)-(x+3)]=0$,即$(x-3)(x-9)=0$,$\therefore x-3=0$或$x-9=0$.解得$x_1=3,x_2=9$.
(2)$2(x-3)^2=x^2-9$,$\therefore 2(x-3)^2-(x^2-9)=0$,$\therefore 2(x-3)^2-(x+3)(x-3)=0$,$\therefore (x-3)[2(x-3)-(x+3)]=0$,即$(x-3)(x-9)=0$,$\therefore x-3=0$或$x-9=0$.解得$x_1=3,x_2=9$.
解析
【分析】
（1）判断错误步骤需结合等式的性质分析：等式两边同时除以的整式必须不为0，小王第二步直接将方程两边除以(x-3)，未考虑x-3=0的情况，会导致漏解，因此错误出在第二步。
（2）正确解题思路：先将方程右侧用平方差公式因式分解，再移项使方程右侧为0，提取公因式(x-3)，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到全部解，避免漏解。
【解析】
(1) 小王的解答从第二步开始出错。错误原因：等式两边同时除以同一个不为0的整式，等式才成立，直接除以(x-3)时没有考虑x-3=0的情况，会漏掉x=3这个解。
(2) 正确解答过程：
解：原方程为$2(x-3)^2 = x^2 -9$
将右侧因式分解得：$2(x-3)^2=(x+3)(x-3)$
移项得：$2(x-3)^2 - (x+3)(x-3)=0$
提取公因式$(x-3)$得：$(x-3)[2(x-3)-(x+3)]=0$
化简括号内的式子：$2x-6 -x -3 = x-9$，即方程转化为$(x-3)(x-9)=0$
令两个因式分别为0，得$x-3=0$或$x-9=0$
解得：$x_1=3$，$x_2=9$
【答案】
(1) 从第二步开始出现错误，错误原因是方程两边都除以$x-3$时，没有考虑$x-3=0$的情况，导致漏解。
(2) 方程的解为$x_1=3$，$x_2=9$。
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 等式的性质
3. 平方差公式因式分解
【点评】
本题考查一元二次方程的解法，是高频易错题，解题时切忌直接除以含未知数的整式，优先通过移项提取公因式的方法转化方程，避免漏解。
【难度系数】
0.7
（1）判断错误步骤需结合等式的性质分析：等式两边同时除以的整式必须不为0，小王第二步直接将方程两边除以(x-3)，未考虑x-3=0的情况，会导致漏解，因此错误出在第二步。
（2）正确解题思路：先将方程右侧用平方差公式因式分解，再移项使方程右侧为0，提取公因式(x-3)，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到全部解，避免漏解。
【解析】
(1) 小王的解答从第二步开始出错。错误原因：等式两边同时除以同一个不为0的整式，等式才成立，直接除以(x-3)时没有考虑x-3=0的情况，会漏掉x=3这个解。
(2) 正确解答过程：
解：原方程为$2(x-3)^2 = x^2 -9$
将右侧因式分解得：$2(x-3)^2=(x+3)(x-3)$
移项得：$2(x-3)^2 - (x+3)(x-3)=0$
提取公因式$(x-3)$得：$(x-3)[2(x-3)-(x+3)]=0$
化简括号内的式子：$2x-6 -x -3 = x-9$，即方程转化为$(x-3)(x-9)=0$
令两个因式分别为0，得$x-3=0$或$x-9=0$
解得：$x_1=3$，$x_2=9$
【答案】
(1) 从第二步开始出现错误，错误原因是方程两边都除以$x-3$时，没有考虑$x-3=0$的情况，导致漏解。
(2) 方程的解为$x_1=3$，$x_2=9$。
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 等式的性质
3. 平方差公式因式分解
【点评】
本题考查一元二次方程的解法，是高频易错题，解题时切忌直接除以含未知数的整式，优先通过移项提取公因式的方法转化方程，避免漏解。
【难度系数】
0.7
12. 如图,把小圆形场地的半径增加6 m得到大圆形场地,大圆形场地的面积是原来场地的2倍,求小圆形场地的半径.
答案
12.解:设小圆形场地的半径为$r$ m,则大圆形场地的半径为$(r+6)\mathrm{m}$,由题意,得$π(r+6)^2=2π r^2$,整理得,$r^2-12r-36=0$,解得$r_1=6+6\sqrt{2}$或$r_2=6-6\sqrt{2}＜0$(不符合题意,舍去).$\therefore$小圆形场地的半径为$(6+6\sqrt{2})\mathrm{m}$.
解析
【分析】
要解决这个问题，首先我们需要利用圆的面积公式构建等量关系。第一步先设小圆形场地的半径为r m，即可得到大圆的半径为(r+6)m；第二步根据“大圆形场地的面积是原来场地的2倍”这一条件，结合圆的面积公式$S=π R^2$列出方程；第三步解一元二次方程，最后结合半径为正数的实际要求，舍去不符合题意的负根，即可得到小圆形场地的半径。
【解析】
解：设小圆形场地的半径为$r$ m，则大圆形场地的半径为$(r+6)\mathrm{m}$。
根据圆的面积公式和题意可得：
$π(r+6)^2=2π r^2$
两边同时除以$π$得：$(r+6)^2=2r^2$
展开并整理得：$r^2-12r-36=0$
解这个一元二次方程，可得：
$r_1=6+6\sqrt{2}$，$r_2=6-6\sqrt{2}$
因为圆形场地的半径为正数，$r_2=6-6\sqrt{2}＜0$，不符合题意，故舍去。
【答案】
$(6+6\sqrt{2})\mathrm{m}$
【知识点】
圆的面积计算；一元二次方程求解；实际问题根的检验
【点评】
本题是几何与代数结合的基础应用题，解题核心是找准面积的等量关系列出方程，需要注意的是解出一元二次方程的根后，要结合实际场景判断根是否合理，舍去不符合要求的解。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先我们需要利用圆的面积公式构建等量关系。第一步先设小圆形场地的半径为r m，即可得到大圆的半径为(r+6)m；第二步根据“大圆形场地的面积是原来场地的2倍”这一条件，结合圆的面积公式$S=π R^2$列出方程；第三步解一元二次方程，最后结合半径为正数的实际要求，舍去不符合题意的负根，即可得到小圆形场地的半径。
【解析】
解：设小圆形场地的半径为$r$ m，则大圆形场地的半径为$(r+6)\mathrm{m}$。
根据圆的面积公式和题意可得：
$π(r+6)^2=2π r^2$
两边同时除以$π$得：$(r+6)^2=2r^2$
展开并整理得：$r^2-12r-36=0$
解这个一元二次方程，可得：
$r_1=6+6\sqrt{2}$，$r_2=6-6\sqrt{2}$
因为圆形场地的半径为正数，$r_2=6-6\sqrt{2}＜0$，不符合题意，故舍去。
【答案】
$(6+6\sqrt{2})\mathrm{m}$
【知识点】
圆的面积计算；一元二次方程求解；实际问题根的检验
【点评】
本题是几何与代数结合的基础应用题，解题核心是找准面积的等量关系列出方程，需要注意的是解出一元二次方程的根后，要结合实际场景判断根是否合理，舍去不符合要求的解。
【难度系数】
0.7
13.【阅读理解】
对于$x^3-(n^2+1)x+n$这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：
$x^3-(n^2+1)x+n$
$=x^3-n^2x -x +n$
$=x(x^2 -n^2)-(x -n)$
$=x(x+n)(x-n)-(x-n)$
$=(x-n)(x^2 +nx -1)$。
【理解运用】
如果$x^3-(n^2+1)x+n=0$，那么$(x-n)(x^2 +nx -1)=0$，即有$x-n=0$或$x^2 +nx -1=0$。
因此，方程$x-n=0$和$x^2 +nx -1=0$的所有解就是方程$x^3-(n^2+1)x+n=0$的解。
【解决问题】
求方程$x^3 -5x +2=0$的解。
对于$x^3-(n^2+1)x+n$这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：
$x^3-(n^2+1)x+n$
$=x^3-n^2x -x +n$
$=x(x^2 -n^2)-(x -n)$
$=x(x+n)(x-n)-(x-n)$
$=(x-n)(x^2 +nx -1)$。
【理解运用】
如果$x^3-(n^2+1)x+n=0$，那么$(x-n)(x^2 +nx -1)=0$，即有$x-n=0$或$x^2 +nx -1=0$。
因此，方程$x-n=0$和$x^2 +nx -1=0$的所有解就是方程$x^3-(n^2+1)x+n=0$的解。
【解决问题】
求方程$x^3 -5x +2=0$的解。
答案
13.解:方程$x^3-5x+2=0$变形为$x^3-(4+1)x+2=0$,$\therefore x^3-4x-x+2=0$.$\therefore (x^3-4x)-(x-2)=0$.$\therefore x(x+2)(x-2)-(x-2)=0$.$\therefore (x-2)(x^2+2x-1)=0$.$\therefore x-2=0$或$x^2+2x-1=0$.$\therefore x_1=2,x_2=-1+\sqrt{2},x_3=-1-\sqrt{2}$.
解析
【分析】
本题是材料阅读类题型，解题时先对比待解方程$x^3 -5x +2=0$和材料给出的特殊三次代数式$x^3-(n^2+1)x+n$的结构：首先观察到方程的常数项为2，对应材料式中的参数n，验证可得$n^2+1=2^2+1=5$，刚好与方程中x的系数绝对值匹配，因此可套用材料给出的因式分解方法，先拆项分组提取公因式，将三次多项式分解为一次式和二次式的乘积，再根据“若干个因式乘积为0，则至少一个因式为0”的原理，将三次方程降次为一元一次方程和一元二次方程，分别求解即可得到原方程的所有解。
【解析】
首先将方程$x^3-5x+2=0$变形为$x^3-(2^2+1)x+2=0$，
拆项得：$x^3-4x -x +2=0$，
分组得：$(x^3-4x)-(x-2)=0$，
对第一组先提取公因式，再用平方差公式分解：$x(x^2-4)-(x-2)=0$，即$x(x+2)(x-2)-(x-2)=0$，
提取公因式$(x-2)$得：$(x-2)(x^2 +2x -1)=0$，
因此可得$x-2=0$或$x^2+2x-1=0$，
解$x-2=0$得$x=2$；
解$x^2+2x-1=0$，用配方法变形：$x^2+2x=1$，$x^2+2x+1=2$，即$(x+1)^2=2$，开方得$x+1=\pm\sqrt{2}$，解得$x=-1\pm\sqrt{2}$。
【答案】
$x_1=2$，$x_2=-1+\sqrt{2}$，$x_3=-1-\sqrt{2}$
【知识点】
因式分解的应用；高次方程降次；一元二次方程的解法
【点评】
本题重点考查阅读理解和知识迁移能力，需要先准确理解材料中特殊三次式的因式分解方法，再匹配参数类比应用，核心思路是通过因式分解将陌生的高次方程转化为熟悉的低次方程求解，是代数中转化思想的典型应用。
【难度系数】
0.7
本题是材料阅读类题型，解题时先对比待解方程$x^3 -5x +2=0$和材料给出的特殊三次代数式$x^3-(n^2+1)x+n$的结构：首先观察到方程的常数项为2，对应材料式中的参数n，验证可得$n^2+1=2^2+1=5$，刚好与方程中x的系数绝对值匹配，因此可套用材料给出的因式分解方法，先拆项分组提取公因式，将三次多项式分解为一次式和二次式的乘积，再根据“若干个因式乘积为0，则至少一个因式为0”的原理，将三次方程降次为一元一次方程和一元二次方程，分别求解即可得到原方程的所有解。
【解析】
首先将方程$x^3-5x+2=0$变形为$x^3-(2^2+1)x+2=0$，
拆项得：$x^3-4x -x +2=0$，
分组得：$(x^3-4x)-(x-2)=0$，
对第一组先提取公因式，再用平方差公式分解：$x(x^2-4)-(x-2)=0$，即$x(x+2)(x-2)-(x-2)=0$，
提取公因式$(x-2)$得：$(x-2)(x^2 +2x -1)=0$，
因此可得$x-2=0$或$x^2+2x-1=0$，
解$x-2=0$得$x=2$；
解$x^2+2x-1=0$，用配方法变形：$x^2+2x=1$，$x^2+2x+1=2$，即$(x+1)^2=2$，开方得$x+1=\pm\sqrt{2}$，解得$x=-1\pm\sqrt{2}$。
【答案】
$x_1=2$，$x_2=-1+\sqrt{2}$，$x_3=-1-\sqrt{2}$
【知识点】
因式分解的应用；高次方程降次；一元二次方程的解法
【点评】
本题重点考查阅读理解和知识迁移能力，需要先准确理解材料中特殊三次式的因式分解方法，再匹配参数类比应用，核心思路是通过因式分解将陌生的高次方程转化为熟悉的低次方程求解，是代数中转化思想的典型应用。
【难度系数】
0.7
