7.(2025·大连金普新区期末)如图,在$△ ABC$中,AD平分$∠ BAC$.
(1)尺规作图:作线段AD的垂直平分线EF,垂足为O,EF分别交AB,AC于点E,F,连接DF(保留作图痕迹,不要求写作法);
(2)在(1)的条件下,猜想线段DF与AE的关系,并说明理由.

解：
(1) 按要求作出线段AD的垂直平分线EF，垂足为O，EF分别交AB、AC于点E、F，连接DF，保留作图痕迹即可。
(2) 猜想：$DF// AE$，且$DF=AE$，理由如下：
∵ EF是AD的垂直平分线，
∴ $AF=DF$，$OA=OD$，
∴ $∠ FAD=∠ FDA$。
∵ AD平分$∠ BAC$，
∴ $∠ BAD=∠ FAD$，
∴ $∠ BAD=∠ FDA$，
∴ $DF// AE$。
在$△ AOE$和$△ DOF$中：
$\{\begin{array}{l}∠ OAE=∠ ODF \\OA=OD \\∠ AOE=∠ DOF=90°\end{array} $
∴ $△ AOE≌△ DOF(\mathrm{ASA})$，
∴ $AE=DF$。
综上，线段DF与AE平行且相等。

【分析】
(1) 第(1)问为尺规作图题，作线段AD的垂直平分线的思路为：分别以点A、D为圆心，取大于$\frac{1}{2}AD$的长度为半径画弧，两弧交于两个交点，过这两个交点作直线即为AD的垂直平分线EF，再按要求标记交点、连接DF即可，注意保留作图痕迹。
(2) 第(2)问探究两条线段的关系，需同时考虑位置关系和数量关系：首先根据垂直平分线的性质得到线段相等、边相等，结合等边对等角得到等角，再结合角平分线的条件推得内错角相等，即可判断两线段的位置关系为平行；最后通过证明两个三角形全等，就能得到两线段的数量关系为相等。
【解析】
(1) 按照尺规作线段垂直平分线的方法作出EF，标记垂足O，以及EF与AB、AC的交点E、F，连接DF，保留作图痕迹即可。
(2) 猜想：$DF// AE$，且$DF=AE$，理由如下：
∵ EF是AD的垂直平分线，
∴ $AF=DF$，$OA=OD$，
∴ $∠ FAD=∠ FDA$。
∵ AD平分$∠ BAC$，
∴ $∠ BAD=∠ FAD$，
∴ $∠ BAD=∠ FDA$，
∴ $DF// AE$。
在$△ AOE$和$△ DOF$中：
$\{\begin{array}{l}∠ OAE=∠ ODF \\OA=OD \\∠ AOE=∠ DOF=90°\end{array} $
∴ $△ AOE≌△ DOF(\mathrm{ASA})$，
∴ $AE=DF$。
综上，DF与AE平行且相等。
【答案】
(1) 作图保留规定痕迹即可；
(2) $DF$与$AE$平行且相等（或$DF// AE$且$DF=AE$）。
【知识点】
线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题结合了尺规作图与几何证明，既考查基础作图能力，也考查逻辑推理能力。解题时注意探究线段关系需要同时考虑位置和数量两类关系，推导过程中要找准对应的相等边角，规范证明步骤。
【难度系数】
0.7

8.(2025·大连中山区期末)如图,已知$AB=AC$,$∠A=40°$.
(1)作AB边的垂直平分线MN,直线MN交AC边于点D,连接BD(尺规作图,保留作图痕迹);
(2)求$∠DBC$的度数.

8.(1)略
(2)30°

【分析】
(1) 作AB边的垂直平分线按照尺规作图规范操作即可：分别以A、B为圆心，取大于$\frac{1}{2}AB$的长度为半径画弧，两弧交于两个交点，过两个交点作直线即为MN，再连接BD，作图需保留痕迹。
(2) 求∠DBC的度数思路如下：首先由AB=AC可知△ABC是等腰三角形，结合已知顶角∠A的度数，利用等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°，先算出底角∠ABC的度数；再根据线段垂直平分线的性质，可得AD=BD，推出∠ABD=∠A；最后用∠ABC的度数减去∠ABD的度数，即可得到∠DBC的度数。
【解析】
(1) 作图步骤：①分别以点A、B为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径作弧，两弧交于两个点；②过这两个交点作直线MN，交AC于点D；③连接BD，即为所求（保留作图痕迹即可）。
(2) 解：
∵$AB=AC$，$∠A=40°$，
∴△ABC为等腰三角形，$∠ ABC=∠ C=\frac{180°-∠ A}{2}=\frac{180°-40°}{2}=70°$，
∵MN是AB的垂直平分线，点D在MN上，
∴$AD=BD$，
∴$∠ ABD=∠ A=40°$，
∴$∠ DBC=∠ ABC - ∠ ABD=70°-40°=30°$。
【答案】
(1) 略；(2) $30°$
【知识点】
1. 等腰三角形的性质
2. 线段垂直平分线的性质
3. 垂直平分线尺规作图
【点评】
本题属于基础几何综合题，既考查了基本尺规作图的操作能力，也考查了等腰三角形、线段垂直平分线性质的应用，解题时结合图形理清角的数量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7

9.如图，已知$△ ABC$.
(1)将$△ ABC$沿直线$AD$折叠，使得边$AC$落在边$AB$上，作折痕$AD$(不写作法，保留作图痕迹)；
(2)在线段$BC$上找一点$E$，使得$AE=CE$(不写作法，保留作图痕迹)；
(3)在(1)(2)问的前提下，若$AE=6,CD=4$，则$DE=$.

9.(1)略
(2)略
(3)2

【分析】
(1) 折叠使AC落在AB上，折痕AD本质是∠BAC的角平分线，按照角平分线的尺规作图方法绘制即可；
(2) 到A、C两点距离相等的点在线段AC的垂直平分线上，因此作AC的垂直平分线，与BC的交点即为所求点E；
(3) 先根据折叠性质得到AD平分∠BAC，再结合AE=CE的等腰三角形性质，理清BC边上C、D、E三点的位置关系，利用线段和差即可求出DE的长度。
【解析】
(1) 以A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB、AC于两点，再分别以这两点为圆心，大于两点间距一半的长度为半径画弧，两弧交于∠BAC内部一点，过A和该点作射线交BC于D，AD即为所求折痕；
(2) 分别以A、C为圆心，大于$\frac{1}{2}AC$的长度为半径画弧，两弧交于AC上下两侧各一点，过两点作直线交BC于E，此时AE=CE，E即为所求；
(3) 由折叠性质可知AD是∠BAC的角平分线，点D在BC边上；由AE=CE=6，结合作图可知点D在C、E之间，因此线段CE满足$CE=CD+DE$，代入$CD=4$、$CE=6$，可得$DE=CE-CD=6-4=2$。
【答案】
(1) 略；(2) 略；(3) $\boxed{2}$
【知识点】
尺规作图，折叠的性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题综合考查基础尺规作图、折叠的对称性质和等腰三角形的性质，前两问考查基本作图技能的掌握，第三问难度较低，理清线段和差关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7

10. 如图，在$△ ABC$中，点$E$在$AB$上，且$AE=AC$.
(1)请用无刻度的直尺与圆规进行基本作图：作$∠ BAC$的平分线交$BC$于点$D$(不写作法，保留作图痕迹)；
(2)在(1)所作的图形中，连接$DE$，求证：$DE=BC-BD$.

解：
(1) 按角平分线基本尺规作图要求作出∠BAC的平分线，交BC于点D，保留对应作图痕迹即可。
(2) 证明：
∵ AD平分∠BAC，
∴ ∠EAD = ∠CAD。
在△EAD和△CAD中，
$\{\begin{array}{l}AE = AC \\∠EAD = ∠CAD \\AD = AD\end{array} $
∴ △EAD ≌ △CAD（SAS），
∴ DE = CD。
又∵ CD = BC - BD，
∴ DE = BC - BD。

【分析】
(1) 第一问属于基本尺规作图，直接按照角平分线的标准作图方法操作即可，注意保留作图痕迹。
(2) 第二问要证明$DE=BC-BD$，首先观察线段和差关系：线段$BC$被点$D$分为$BD$和$CD$两段，因此$BC-BD=CD$，只需证明$DE=CD$即可。已知$AE=AC$，$AD$是角平分线可得一组等角，再加上公共边$AD$，可通过SAS判定证明$△ EAD ≌ △ CAD$，利用全等三角形对应边相等得到$DE=CD$，最后代入线段和差关系即可得证。
【解析】
(1) 以点$A$为圆心，适当长度为半径画弧，分别交$AB$、$AC$于两点，再分别以这两个交点为圆心，大于两点间距一半的长度为半径画弧，两弧在$∠ BAC$内部交于一点，过点$A$和该交点作射线，交$BC$于点$D$，保留作图痕迹即可。
(2) 证明：
∵ $AD$平分$∠ BAC$，
∴ $∠ EAD = ∠ CAD$。
在$△ EAD$和$△ CAD$中，
$\{\begin{array}{l}AE = AC \\∠ EAD = ∠ CAD \\AD = AD\end{array} $
∴ $△ EAD ≌ △ CAD$（SAS），
∴ $DE = CD$。
又
∵ 点$D$在$BC$上，$CD = BC - BD$，
∴ $DE = BC - BD$。
【答案】
(1) 按角平分线基本尺规作图要求作出$∠ BAC$的平分线，交$BC$于点$D$，保留对应作图痕迹即可。
(2) 证明：
∵ $AD$平分$∠ BAC$，
∴ $∠ EAD = ∠ CAD$。
在$△ EAD$和$△ CAD$中，
$\{\begin{array}{l}AE = AC \\∠ EAD = ∠ CAD \\AD = AD\end{array} $
∴ $△ EAD ≌ △ CAD$（SAS），
∴ $DE = CD$。
又
∵ $CD = BC - BD$，
∴ $DE = BC - BD$。
【知识点】
1. 尺规作角平分线
2. 全等三角形的判定与性质
3. 线段和差计算
【点评】
本题将基础尺规作图与几何证明结合，既考查了基本作图能力，也考查了全等三角形的应用，解题核心是通过角平分线构造全等三角形，实现线段的等量代换，是典型的几何基础题。
【难度系数】
0.8