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1.将下列各式分解因式：
(1)$x^2 + 8x + 15$；
(2)$3x^2 -5x -12$；
(3)$x^2 -(b+1)x +b$；
(4)$-12x^2 +11x +15$；
(5)$x^2 -2xy + y^2 -16$；
(6)$3(x+2)^2 -5(x+2)-12$；
(7)$4x^2 -4x -y^2 +4y -3$；
(8)$kx^2 + (2k-3)x +k -3$；
(9)$(m+1)x^2 -x -m$；
(10)$9a^2 +4b^2 -25m^2 -n^2 +12ab +10mn$。
(1)$x^2 + 8x + 15$；
(2)$3x^2 -5x -12$；
(3)$x^2 -(b+1)x +b$；
(4)$-12x^2 +11x +15$；
(5)$x^2 -2xy + y^2 -16$；
(6)$3(x+2)^2 -5(x+2)-12$；
(7)$4x^2 -4x -y^2 +4y -3$；
(8)$kx^2 + (2k-3)x +k -3$；
(9)$(m+1)x^2 -x -m$；
(10)$9a^2 +4b^2 -25m^2 -n^2 +12ab +10mn$。
答案
(1)$(x+3)(x+5)$
(2)$(x-3)(3x+4)$
(3)$(x-1)(x-b)$
(4)$-(4x+3)(3x-5)$
(5)$(x-y-4)(x-y+4)$
(6)$(x-1)(3x+10)$
(7)$(2x-y+1)(2x+y-3)$
(8)$(x+1)(kx+k-3)$
(9)$(x-1)(mx+x+m)$
(10)$(3a+2b+5m-n)(3a+2b-5m+n)$
(2)$(x-3)(3x+4)$
(3)$(x-1)(x-b)$
(4)$-(4x+3)(3x-5)$
(5)$(x-y-4)(x-y+4)$
(6)$(x-1)(3x+10)$
(7)$(2x-y+1)(2x+y-3)$
(8)$(x+1)(kx+k-3)$
(9)$(x-1)(mx+x+m)$
(10)$(3a+2b+5m-n)(3a+2b-5m+n)$
解析
【分析】
这些因式分解题目主要用到十字相乘法和分组分解法，解题思路如下：①如果式子是二次三项式形式：二次项系数为1时，寻找两个数，满足乘积等于常数项、和等于一次项系数，直接拆分写因式；二次项系数不为1时，将二次项、常数项分别拆成两个因式乘积，交叉相乘后的和等于一次项系数即可；含相同整体的二次三项式可先换元简化，拆分后再代回；含参数的二次三项式同理用十字相乘规则拆分即可。②如果式子项数≥4：优先分组，将能凑成完全平方等公式的项分为一组，分组后再用提公因式或平方差公式继续分解，注意最终结果要分解到不能再分解为止。
【解析】
(1) 对于$x^2+8x+15$，二次项系数为1，常数项15可拆为$3×5$，且$3+5=8$（等于一次项系数），因此可得拆分结果。
(2) 对于$3x^2-5x-12$，二次项3拆为$x×3x$，常数项-12拆为$-3×4$，交叉相乘求和：$x×4 + 3x×(-3)=-5x$（等于一次项），因此可得拆分结果。
(3) 对于$x^2-(b+1)x+b$，二次项系数为1，常数项$b$可拆为$(-1)×(-b)$，且$(-1)+(-b)=-(b+1)$（等于一次项系数），因此可得拆分结果。
(4) 先提取负号得原式$=-(12x^2-11x-15)$，将$12x^2$拆为$4x×3x$，常数项-15拆为$3×(-5)$，交叉相乘求和：$4x×(-5)+3x×3=-11x$（等于一次项），因此可得拆分结果。
(5) 前三项凑完全平方：$x^2-2xy+y^2=(x-y)^2$，原式变为$(x-y)^2-16$，符合平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$，其中$a=x-y$，$b=4$，因此可得拆分结果。
(6) 令$t=x+2$，原式变为$3t^2-5t-12$，十字相乘得$(t-3)(3t+4)$，将$t=x+2$代回化简即可得到结果。
(7) 分组凑完全平方：原式$=(4x^2-4x+1)-(y^2-4y+4)=(2x-1)^2-(y-2)^2$，再用平方差公式化简即可得到结果。
(8) 十字相乘：二次项$kx^2$拆为$x×kx$，常数项$k-3$拆为$1×(k-3)$，交叉相乘求和：$x×(k-3)+kx×1=(2k-3)x$（等于一次项），因此可得拆分结果。
(9) 十字相乘：二次项$(m+1)x^2$拆为$x×(m+1)x$，常数项$-m$拆为$-1×m$，交叉相乘求和：$x×m + (m+1)x×(-1)=-x$（等于一次项），化简后即可得到结果。
(10) 分组凑完全平方：原式$=(9a^2+12ab+4b^2)-(25m^2-10mn+n^2)=(3a+2b)^2-(5m-n)^2$，再用平方差公式化简即可得到结果。
【答案】
(1)$(x+3)(x+5)$
(2)$(x-3)(3x+4)$
(3)$(x-1)(x-b)$
(4)$-(4x+3)(3x-5)$
(5)$(x-y-4)(x-y+4)$
(6)$(x-1)(3x+10)$
(7)$(2x-y+1)(2x+y-3)$
(8)$(x+1)(kx+k-3)$
(9)$(x-1)(mx+x+m)$
(10)$(3a+2b+5m-n)(3a+2b-5m+n)$
【知识点】
十字相乘法因式分解，分组分解法因式分解，公式法因式分解
【点评】
本题考查因式分解的常用方法，覆盖了十字相乘的多种常见类型（系数为1、系数不为1、含参数、换元型）以及分组分解的核心技巧，需要熟练掌握各类方法的适用场景，分解时注意要分解到不能再分解为止。
【难度系数】
0.6
这些因式分解题目主要用到十字相乘法和分组分解法，解题思路如下：①如果式子是二次三项式形式：二次项系数为1时，寻找两个数，满足乘积等于常数项、和等于一次项系数，直接拆分写因式；二次项系数不为1时，将二次项、常数项分别拆成两个因式乘积，交叉相乘后的和等于一次项系数即可；含相同整体的二次三项式可先换元简化，拆分后再代回；含参数的二次三项式同理用十字相乘规则拆分即可。②如果式子项数≥4：优先分组，将能凑成完全平方等公式的项分为一组，分组后再用提公因式或平方差公式继续分解，注意最终结果要分解到不能再分解为止。
【解析】
(1) 对于$x^2+8x+15$，二次项系数为1，常数项15可拆为$3×5$，且$3+5=8$（等于一次项系数），因此可得拆分结果。
(2) 对于$3x^2-5x-12$，二次项3拆为$x×3x$，常数项-12拆为$-3×4$，交叉相乘求和：$x×4 + 3x×(-3)=-5x$（等于一次项），因此可得拆分结果。
(3) 对于$x^2-(b+1)x+b$，二次项系数为1，常数项$b$可拆为$(-1)×(-b)$，且$(-1)+(-b)=-(b+1)$（等于一次项系数），因此可得拆分结果。
(4) 先提取负号得原式$=-(12x^2-11x-15)$，将$12x^2$拆为$4x×3x$，常数项-15拆为$3×(-5)$，交叉相乘求和：$4x×(-5)+3x×3=-11x$（等于一次项），因此可得拆分结果。
(5) 前三项凑完全平方：$x^2-2xy+y^2=(x-y)^2$，原式变为$(x-y)^2-16$，符合平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$，其中$a=x-y$，$b=4$，因此可得拆分结果。
(6) 令$t=x+2$，原式变为$3t^2-5t-12$，十字相乘得$(t-3)(3t+4)$，将$t=x+2$代回化简即可得到结果。
(7) 分组凑完全平方：原式$=(4x^2-4x+1)-(y^2-4y+4)=(2x-1)^2-(y-2)^2$，再用平方差公式化简即可得到结果。
(8) 十字相乘：二次项$kx^2$拆为$x×kx$，常数项$k-3$拆为$1×(k-3)$，交叉相乘求和：$x×(k-3)+kx×1=(2k-3)x$（等于一次项），因此可得拆分结果。
(9) 十字相乘：二次项$(m+1)x^2$拆为$x×(m+1)x$，常数项$-m$拆为$-1×m$，交叉相乘求和：$x×m + (m+1)x×(-1)=-x$（等于一次项），化简后即可得到结果。
(10) 分组凑完全平方：原式$=(9a^2+12ab+4b^2)-(25m^2-10mn+n^2)=(3a+2b)^2-(5m-n)^2$，再用平方差公式化简即可得到结果。
【答案】
(1)$(x+3)(x+5)$
(2)$(x-3)(3x+4)$
(3)$(x-1)(x-b)$
(4)$-(4x+3)(3x-5)$
(5)$(x-y-4)(x-y+4)$
(6)$(x-1)(3x+10)$
(7)$(2x-y+1)(2x+y-3)$
(8)$(x+1)(kx+k-3)$
(9)$(x-1)(mx+x+m)$
(10)$(3a+2b+5m-n)(3a+2b-5m+n)$
【知识点】
十字相乘法因式分解，分组分解法因式分解，公式法因式分解
【点评】
本题考查因式分解的常用方法，覆盖了十字相乘的多种常见类型（系数为1、系数不为1、含参数、换元型）以及分组分解的核心技巧，需要熟练掌握各类方法的适用场景，分解时注意要分解到不能再分解为止。
【难度系数】
0.6
