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1 “25 的平方根是±5”，用式子表示为 （
A.$\pm\sqrt{25}=\pm5$
B.$\sqrt{25}=\pm5$
C.$\sqrt{25}=5$
D.$\pm\sqrt{25}=5$
A
）A.$\pm\sqrt{25}=\pm5$
B.$\sqrt{25}=\pm5$
C.$\sqrt{25}=5$
D.$\pm\sqrt{25}=5$
答案
A
解析
【分析】
首先明确平方根和算术平方根的符号区别：正数的平方根有两个，一正一负，用“±√a”表示；而“√a”专门表示正数a的算术平方根（即正的平方根），结果为非负数。题干要表示“25的平方根是±5”，首先式子左边要对应25的平方根，即±√25，右边对应结果±5，再逐一排查选项即可。
【解析】
根据平方根的定义：正数a的平方根表示为$\pm\sqrt{a}$，因此25的平方根可表示为$\pm\sqrt{25}$，其结果为±5，对应的式子为$\pm\sqrt{25}=\pm5$。
对各选项逐一判断：
选项A：$\pm\sqrt{25}=\pm5$，符合25的平方根的表示，正确；
选项B：$\sqrt{25}$表示25的算术平方根，结果为5，不能等于±5，错误；
选项C：$\sqrt{25}=5$表示的是25的算术平方根，不符合“25的平方根”的题意，错误；
选项D：$\pm\sqrt{25}$的结果是±5，与等号右侧的5不相等，错误。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
平方根的表示；算术平方根的概念
【点评】
本题是基础概念题，核心是区分平方根和算术平方根的符号及意义，要牢记$\sqrt{a}$仅表示非负数a的算术平方根，$\pm\sqrt{a}$才表示a的平方根，避免两者混淆导致出错。
【难度系数】
0.8
首先明确平方根和算术平方根的符号区别：正数的平方根有两个，一正一负，用“±√a”表示；而“√a”专门表示正数a的算术平方根（即正的平方根），结果为非负数。题干要表示“25的平方根是±5”，首先式子左边要对应25的平方根，即±√25，右边对应结果±5，再逐一排查选项即可。
【解析】
根据平方根的定义：正数a的平方根表示为$\pm\sqrt{a}$，因此25的平方根可表示为$\pm\sqrt{25}$，其结果为±5，对应的式子为$\pm\sqrt{25}=\pm5$。
对各选项逐一判断：
选项A：$\pm\sqrt{25}=\pm5$，符合25的平方根的表示，正确；
选项B：$\sqrt{25}$表示25的算术平方根，结果为5，不能等于±5，错误；
选项C：$\sqrt{25}=5$表示的是25的算术平方根，不符合“25的平方根”的题意，错误；
选项D：$\pm\sqrt{25}$的结果是±5，与等号右侧的5不相等，错误。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
平方根的表示；算术平方根的概念
【点评】
本题是基础概念题，核心是区分平方根和算术平方根的符号及意义，要牢记$\sqrt{a}$仅表示非负数a的算术平方根，$\pm\sqrt{a}$才表示a的平方根，避免两者混淆导致出错。
【难度系数】
0.8
2 81的平方根是 （
A.9
B.3
C.$\pm 3$
D.$\pm 9$
D
）A.9
B.3
C.$\pm 3$
D.$\pm 9$
答案
D
解析
【分析】
解题首先要明确平方根的定义：若一个数x的平方等于a，即$x^2=a$，那么x就叫做a的平方根。同时要牢记正数有两个互为相反数的平方根，注意不要和仅取正值的算术平方根混淆。本题求81的平方根，只需要找到平方后等于81的所有数即可。
【解析】
根据平方根的定义，设x为81的平方根，则满足$x^2=81$。
计算可知：$9^2=81$，$(-9)^2=81$，因此满足条件的x为$\pm9$，即81的平方根是$\pm9$。
【答案】
D
【知识点】
平方根的定义；正数平方根的性质
【点评】
本题是平方根概念的基础考察题，易错点是混淆平方根和算术平方根，误选仅为正数值的A选项，解题时要注意正数的平方根有两个，二者互为相反数。
【难度系数】
0.7
解题首先要明确平方根的定义：若一个数x的平方等于a，即$x^2=a$，那么x就叫做a的平方根。同时要牢记正数有两个互为相反数的平方根，注意不要和仅取正值的算术平方根混淆。本题求81的平方根，只需要找到平方后等于81的所有数即可。
【解析】
根据平方根的定义，设x为81的平方根，则满足$x^2=81$。
计算可知：$9^2=81$，$(-9)^2=81$，因此满足条件的x为$\pm9$，即81的平方根是$\pm9$。
【答案】
D
【知识点】
平方根的定义；正数平方根的性质
【点评】
本题是平方根概念的基础考察题，易错点是混淆平方根和算术平方根，误选仅为正数值的A选项，解题时要注意正数的平方根有两个，二者互为相反数。
【难度系数】
0.7
3 下列说法正确的是 （
A.16 的平方根是 4
B.－16 的平方根是－4
C.$(-2)^2$ 没有平方根
D.2 是 4 的一个平方根
D
）A.16 的平方根是 4
B.－16 的平方根是－4
C.$(-2)^2$ 没有平方根
D.2 是 4 的一个平方根
答案
D
解析
【分析】
解题前先明确平方根的核心性质：正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根，算术平方根仅指平方根中正的那个。我们只需依据这些性质逐一验证每个选项是否符合要求即可得出正确答案。
【解析】
对每个选项逐一分析：
A. 16的平方根是$\pm 4$，选项仅给出4，遗漏了-4，因此A错误；
B. 负数没有平方根，-16是负数，不存在平方根，因此B错误；
C. 先计算$(-2)^2=4$，4是正数，有$\pm 2$两个平方根，因此C错误；
D. 4的平方根是$\pm 2$，所以2是4的其中一个平方根，因此D正确。
【答案】
D
【知识点】
平方根的定义；平方根的性质
【点评】
本题是基础概念考查题，易错点在于容易混淆平方根和算术平方根的概念，或是忽略负数没有平方根的性质，解题时要注意区分：一个正数的平方根有2个，算术平方根仅指正的那1个。
【难度系数】
0.8
解题前先明确平方根的核心性质：正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根，算术平方根仅指平方根中正的那个。我们只需依据这些性质逐一验证每个选项是否符合要求即可得出正确答案。
【解析】
对每个选项逐一分析：
A. 16的平方根是$\pm 4$，选项仅给出4，遗漏了-4，因此A错误；
B. 负数没有平方根，-16是负数，不存在平方根，因此B错误；
C. 先计算$(-2)^2=4$，4是正数，有$\pm 2$两个平方根，因此C错误；
D. 4的平方根是$\pm 2$，所以2是4的其中一个平方根，因此D正确。
【答案】
D
【知识点】
平方根的定义；平方根的性质
【点评】
本题是基础概念考查题，易错点在于容易混淆平方根和算术平方根的概念，或是忽略负数没有平方根的性质，解题时要注意区分：一个正数的平方根有2个，算术平方根仅指正的那1个。
【难度系数】
0.8
4 $(-\sqrt{3})^2$ 的平方根是 （
A.$-\sqrt{3}$
B.$\sqrt{3}$
C.$\pm\sqrt{3}$
D.$\pm3$
C
）A.$-\sqrt{3}$
B.$\sqrt{3}$
C.$\pm\sqrt{3}$
D.$\pm3$
答案
C
解析
【分析】
解决这道题需分两步思考：第一步先计算出$(-\sqrt{3})^2$的运算结果，第二步再根据平方根的定义求该结果的平方根；要注意平方根的性质：正数有两个平方根，它们互为相反数，不要漏解，也不要和算术平方根的概念混淆。
【解析】
第一步：计算$(-\sqrt{3})^2$的结果
根据乘方的运算性质，负数的平方为正数，可得：
$(-\sqrt{3})^2=(\sqrt{3})^2=3$
第二步：求3的平方根
根据平方根的定义：若$x^2=a$（$a≥0$），则$x$叫做$a$的平方根。
因为$(\pm\sqrt{3})^2=3$，所以3的平方根是$\pm\sqrt{3}$，即$(-\sqrt{3})^2$的平方根是$\pm\sqrt{3}$。
【答案】
C
【知识点】
乘方运算，平方根的定义
【点评】
本题属于基础概念题，易错点集中在两处：一是计算$(-\sqrt{3})^2$时符号判断出错，二是混淆平方根和算术平方根的概念，误选仅含正根的B选项，学习时要牢记正数的平方根有两个，且互为相反数。
【难度系数】
0.7
解决这道题需分两步思考：第一步先计算出$(-\sqrt{3})^2$的运算结果，第二步再根据平方根的定义求该结果的平方根；要注意平方根的性质：正数有两个平方根，它们互为相反数，不要漏解，也不要和算术平方根的概念混淆。
【解析】
第一步：计算$(-\sqrt{3})^2$的结果
根据乘方的运算性质，负数的平方为正数，可得：
$(-\sqrt{3})^2=(\sqrt{3})^2=3$
第二步：求3的平方根
根据平方根的定义：若$x^2=a$（$a≥0$），则$x$叫做$a$的平方根。
因为$(\pm\sqrt{3})^2=3$，所以3的平方根是$\pm\sqrt{3}$，即$(-\sqrt{3})^2$的平方根是$\pm\sqrt{3}$。
【答案】
C
【知识点】
乘方运算，平方根的定义
【点评】
本题属于基础概念题，易错点集中在两处：一是计算$(-\sqrt{3})^2$时符号判断出错，二是混淆平方根和算术平方根的概念，误选仅含正根的B选项，学习时要牢记正数的平方根有两个，且互为相反数。
【难度系数】
0.7
5 若12是m的一个平方根，则m的另一个平方根是
−12
。答案
−12
解析
【分析】
解题时首先回忆平方根的相关性质：正数有两个平方根，且它们互为相反数。已知12是m的一个平方根，说明m是正数，要求它的另一个平方根，只需要求出12的相反数即可。
【解析】
根据平方根的性质可知，一个正数的两个平方根互为相反数。
∵12是m的一个平方根，
∴m的另一个平方根是12的相反数，即$-12$。
【答案】
$-12$
【知识点】
1.平方根的性质 2.相反数的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，只要熟练掌握平方根的性质，就能快速得出答案，是平方根章节的常规基础题型。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆平方根的相关性质：正数有两个平方根，且它们互为相反数。已知12是m的一个平方根，说明m是正数，要求它的另一个平方根，只需要求出12的相反数即可。
【解析】
根据平方根的性质可知，一个正数的两个平方根互为相反数。
∵12是m的一个平方根，
∴m的另一个平方根是12的相反数，即$-12$。
【答案】
$-12$
【知识点】
1.平方根的性质 2.相反数的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，只要熟练掌握平方根的性质，就能快速得出答案，是平方根章节的常规基础题型。
【难度系数】
0.9
6 $\sqrt{81}$的平方根是
$\pm3$
.答案
$\pm3$
解析
【分析】
解题时需注意题目要求的是$\sqrt{81}$的平方根，而非81的平方根，需分两步思考：首先回忆算术平方根的定义，先化简计算出$\sqrt{81}$的具体数值，再根据平方根的定义求该数值的平方根即可。要注意正数的平方根有两个且互为相反数，不能漏解，也不能直接跳过化简步骤直接求81的平方根，否则容易出错。
【解析】
解：第一步，先计算$\sqrt{81}$的值：
根据算术平方根的定义，若非负数$x$满足$x^2=a$，则$x$是$a$的算术平方根，记为$\sqrt{a}$。
因为$9^2=81$，所以$\sqrt{81}=9$。
第二步，求9的平方根：
根据平方根的定义，若$x^2=a$，则$x$是$a$的平方根，正数的平方根有2个，互为相反数。
因为$(\pm3)^2=9$，所以9的平方根是$\pm3$。
综上，$\sqrt{81}$的平方根是$\pm3$。
【答案】
$\pm3$
【知识点】
算术平方根的定义；平方根的定义
【点评】
本题是平方根章节的典型易错题，核心易错点是未先化简$\sqrt{81}$，直接求81的平方根得到错误答案$\pm9$，解题时要准确区分算术平方根和平方根的概念，按照先化简、再求值的步骤计算，同时注意不要漏写平方根的负结果。
【难度系数】
0.6
解题时需注意题目要求的是$\sqrt{81}$的平方根，而非81的平方根，需分两步思考：首先回忆算术平方根的定义，先化简计算出$\sqrt{81}$的具体数值，再根据平方根的定义求该数值的平方根即可。要注意正数的平方根有两个且互为相反数，不能漏解，也不能直接跳过化简步骤直接求81的平方根，否则容易出错。
【解析】
解：第一步，先计算$\sqrt{81}$的值：
根据算术平方根的定义，若非负数$x$满足$x^2=a$，则$x$是$a$的算术平方根，记为$\sqrt{a}$。
因为$9^2=81$，所以$\sqrt{81}=9$。
第二步，求9的平方根：
根据平方根的定义，若$x^2=a$，则$x$是$a$的平方根，正数的平方根有2个，互为相反数。
因为$(\pm3)^2=9$，所以9的平方根是$\pm3$。
综上，$\sqrt{81}$的平方根是$\pm3$。
【答案】
$\pm3$
【知识点】
算术平方根的定义；平方根的定义
【点评】
本题是平方根章节的典型易错题，核心易错点是未先化简$\sqrt{81}$，直接求81的平方根得到错误答案$\pm9$，解题时要准确区分算术平方根和平方根的概念，按照先化简、再求值的步骤计算，同时注意不要漏写平方根的负结果。
【难度系数】
0.6
7 求下列各数的平方根：
（1）36；
（2）2.25；
（3）$\frac{4}{121}$；
（4）$(-12)^2$。
（1）36；
（2）2.25；
（3）$\frac{4}{121}$；
（4）$(-12)^2$。
答案
(1) $\pm6$ (2) $\pm1.5$ (3) $\pm \dfrac{2}{11}$ (4) $\pm12$
解析
【分析】
要计算一个数的平方根，首先回忆平方根的定义：若$x^2=a$（$a≥0$），则$x$叫做$a$的平方根，正数的平方根有两个，且互为相反数。解题步骤为：1.先确认所求数是非负数（负数没有平方根）；2.找到平方后等于该数的两个互为相反数的数；3.对于含有运算的数（如第(4)问），先计算出它的结果，再求平方根，最后注意不要漏写负的平方根。
【解析】
（1）
∵$(±6)^2=36$，
∴36的平方根为$\pm6$；
（2）
∵$(±1.5)^2=2.25$，
∴2.25的平方根为$\pm1.5$；
（3）
∵$(±\dfrac{2}{11})^2=\dfrac{4}{121}$，
∴$\dfrac{4}{121}$的平方根为$\pm\dfrac{2}{11}$；
（4）先计算$(-12)^2=144$，
∵$(±12)^2=144$，
∴$(-12)^2$的平方根为$\pm12$。
【答案】
(1) $\pm6$ (2) $\pm1.5$ (3) $\pm \dfrac{2}{11}$ (4) $\pm12$
【知识点】
平方根的定义，乘方运算，平方根的性质
【点评】
本题是平方根求解的基础题，解题时需注意正数有两个互为相反数的平方根，不要只写正根漏写负根；遇到含有乘方运算的底数为负数的情况，要先化简计算出该数的结果，再求平方根，避免概念混淆出错。
【难度系数】
0.8
要计算一个数的平方根，首先回忆平方根的定义：若$x^2=a$（$a≥0$），则$x$叫做$a$的平方根，正数的平方根有两个，且互为相反数。解题步骤为：1.先确认所求数是非负数（负数没有平方根）；2.找到平方后等于该数的两个互为相反数的数；3.对于含有运算的数（如第(4)问），先计算出它的结果，再求平方根，最后注意不要漏写负的平方根。
【解析】
（1）
∵$(±6)^2=36$，
∴36的平方根为$\pm6$；
（2）
∵$(±1.5)^2=2.25$，
∴2.25的平方根为$\pm1.5$；
（3）
∵$(±\dfrac{2}{11})^2=\dfrac{4}{121}$，
∴$\dfrac{4}{121}$的平方根为$\pm\dfrac{2}{11}$；
（4）先计算$(-12)^2=144$，
∵$(±12)^2=144$，
∴$(-12)^2$的平方根为$\pm12$。
【答案】
(1) $\pm6$ (2) $\pm1.5$ (3) $\pm \dfrac{2}{11}$ (4) $\pm12$
【知识点】
平方根的定义，乘方运算，平方根的性质
【点评】
本题是平方根求解的基础题，解题时需注意正数有两个互为相反数的平方根，不要只写正根漏写负根；遇到含有乘方运算的底数为负数的情况，要先化简计算出该数的结果，再求平方根，避免概念混淆出错。
【难度系数】
0.8
8 教材 P33 例4变式 求下列各式的值：
(1) $\sqrt{0.81}$；
(2) $-\sqrt{1\dfrac{7}{9}}$；
(3) $\sqrt{(-21)^2}$。
(1) $\sqrt{0.81}$；
(2) $-\sqrt{1\dfrac{7}{9}}$；
(3) $\sqrt{(-21)^2}$。
答案
(1) $0.9$ (2) $-\dfrac{4}{3}$ (3) $21$
解析
【分析】
解题的核心是掌握算术平方根的定义：若一个非负数x的平方等于a（即$x^2=a$），则x叫做a的算术平方根，记作$\sqrt{a}$，算术平方根的结果为非负数。解题思路如下：
1. 计算$\sqrt{0.81}$时，只需找到平方等于0.81的非负数即可；
2. 计算带根号的负数值时，先求根号内数的算术平方根，再添加负号，注意带分数要先化为假分数再计算；
3. 计算根号下平方的形式时，可先算出平方的结果再求算术平方根，也可利用$\sqrt{a^2}=|a|$的性质直接化简，保证结果非负。
【解析】
(1) 因为$0.9^2=0.81$，根据算术平方根的定义，非负的平方根为算术平方根，所以$\sqrt{0.81}=0.9$；
(2) 先将带分数化为假分数：$1\dfrac{7}{9}=\dfrac{16}{9}$，因为$(\dfrac{4}{3})^2=\dfrac{16}{9}$，所以$\sqrt{\dfrac{16}{9}}=\dfrac{4}{3}$，因此$-\sqrt{1\dfrac{7}{9}}=-\dfrac{4}{3}$；
(3) 方法一：先计算根号内的乘方：$(-21)^2=441$，因为$21^2=441$，所以$\sqrt{441}=21$，即$\sqrt{(-21)^2}=21$；
方法二：根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，可得$\sqrt{(-21)^2}=|-21|=21$。
【答案】
(1) $0.9$；(2) $-\dfrac{4}{3}$；(3) $21$
【知识点】
1. 算术平方根的定义
2. 二次根式的性质
3. 有理数的乘方
【点评】
本题是平方根计算的基础题型，解题时要注意算术平方根的结果恒为非负数，遇到带分数时先转化为假分数再计算，处理根号下的平方运算时要避免出现符号错误。
【难度系数】
0.8
解题的核心是掌握算术平方根的定义：若一个非负数x的平方等于a（即$x^2=a$），则x叫做a的算术平方根，记作$\sqrt{a}$，算术平方根的结果为非负数。解题思路如下：
1. 计算$\sqrt{0.81}$时，只需找到平方等于0.81的非负数即可；
2. 计算带根号的负数值时，先求根号内数的算术平方根，再添加负号，注意带分数要先化为假分数再计算；
3. 计算根号下平方的形式时，可先算出平方的结果再求算术平方根，也可利用$\sqrt{a^2}=|a|$的性质直接化简，保证结果非负。
【解析】
(1) 因为$0.9^2=0.81$，根据算术平方根的定义，非负的平方根为算术平方根，所以$\sqrt{0.81}=0.9$；
(2) 先将带分数化为假分数：$1\dfrac{7}{9}=\dfrac{16}{9}$，因为$(\dfrac{4}{3})^2=\dfrac{16}{9}$，所以$\sqrt{\dfrac{16}{9}}=\dfrac{4}{3}$，因此$-\sqrt{1\dfrac{7}{9}}=-\dfrac{4}{3}$；
(3) 方法一：先计算根号内的乘方：$(-21)^2=441$，因为$21^2=441$，所以$\sqrt{441}=21$，即$\sqrt{(-21)^2}=21$；
方法二：根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，可得$\sqrt{(-21)^2}=|-21|=21$。
【答案】
(1) $0.9$；(2) $-\dfrac{4}{3}$；(3) $21$
【知识点】
1. 算术平方根的定义
2. 二次根式的性质
3. 有理数的乘方
【点评】
本题是平方根计算的基础题型，解题时要注意算术平方根的结果恒为非负数，遇到带分数时先转化为假分数再计算，处理根号下的平方运算时要避免出现符号错误。
【难度系数】
0.8
9 平方根等于它本身的数是 （
A.$-1$
B.$0$
C.$1$
D.$\pm1$
B
）A.$-1$
B.$0$
C.$1$
D.$\pm1$
答案
B
解析
【分析】
解题时先回忆平方根的定义：如果一个数x的平方等于a，即$x^2=a$，那么x叫做a的平方根。我们可以结合平方根的性质逐个分析选项：首先实数范围内负数没有平方根，先排除负数选项；再分别计算剩余选项对应数的平方根，判断是否等于其本身，即可得到正确答案。
【解析】
根据平方根的定义和性质逐一判断：
1. 负数在实数范围内没有平方根，因此选项A的$-1$没有平方根，直接排除；
2. 因为$(±1)^2=1$，所以1的平方根是$±1$，不等于1本身，因此排除选项C、D；
3. 因为$0^2=0$，所以0的平方根是0，等于它本身，符合要求。
综上，正确答案为B选项。
【答案】
B
【知识点】
1. 平方根的定义
2. 平方根的性质
【点评】
本题属于平方根相关的基础题，解题核心是牢记平方根的性质，注意区分平方根和算术平方根的概念，避免误将1的算术平方根当成平方根而错选。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆平方根的定义：如果一个数x的平方等于a，即$x^2=a$，那么x叫做a的平方根。我们可以结合平方根的性质逐个分析选项：首先实数范围内负数没有平方根，先排除负数选项；再分别计算剩余选项对应数的平方根，判断是否等于其本身，即可得到正确答案。
【解析】
根据平方根的定义和性质逐一判断：
1. 负数在实数范围内没有平方根，因此选项A的$-1$没有平方根，直接排除；
2. 因为$(±1)^2=1$，所以1的平方根是$±1$，不等于1本身，因此排除选项C、D；
3. 因为$0^2=0$，所以0的平方根是0，等于它本身，符合要求。
综上，正确答案为B选项。
【答案】
B
【知识点】
1. 平方根的定义
2. 平方根的性质
【点评】
本题属于平方根相关的基础题，解题核心是牢记平方根的性质，注意区分平方根和算术平方根的概念，避免误将1的算术平方根当成平方根而错选。
【难度系数】
0.8
10 若$(2a - 2)^2 + |b + 2| = 0$，则$a - b$的平方根为
$\pm\sqrt{3}$
。答案
$\pm\sqrt{3}$
解析
【分析】
本题解题核心是利用非负数的性质求解a、b的值，再计算平方根。首先我们知道任意实数的平方和绝对值都具有非负性，即结果均大于等于0。当两个非负数的和为0时，只有两个非负数同时为0才能满足条件，据此可列出关于a、b的一元一次方程，求出a、b的数值后计算a-b的值，最后根据平方根的定义求出结果即可。
【解析】
因为任意实数的平方、绝对值均为非负数，所以可得：
$(2a - 2)^2 ≥ 0$，$|b + 2| ≥ 0$
又因为$(2a - 2)^2 + |b + 2| = 0$，只有两个非负数同时为0时等式成立，即：
$\begin{cases}2a - 2 = 0 \\ b + 2 = 0\end{cases}$
解$2a - 2 = 0$，移项得$2a=2$，解得$a=1$
解$b + 2 = 0$，解得$b=-2$
代入计算$a - b$：$a - b = 1 - (-2) = 3$
根据平方根的定义，3的平方根为$\pm\sqrt{3}$，即$a - b$的平方根为$\pm\sqrt{3}$。
【答案】
$\pm\sqrt{3}$
【知识点】
非负数的性质；平方根的定义
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是熟练掌握平方和绝对值的非负性，需要注意正数的平方根有两个且互为相反数，不要遗漏负的平方根。
【难度系数】
0.7
本题解题核心是利用非负数的性质求解a、b的值，再计算平方根。首先我们知道任意实数的平方和绝对值都具有非负性，即结果均大于等于0。当两个非负数的和为0时，只有两个非负数同时为0才能满足条件，据此可列出关于a、b的一元一次方程，求出a、b的数值后计算a-b的值，最后根据平方根的定义求出结果即可。
【解析】
因为任意实数的平方、绝对值均为非负数，所以可得：
$(2a - 2)^2 ≥ 0$，$|b + 2| ≥ 0$
又因为$(2a - 2)^2 + |b + 2| = 0$，只有两个非负数同时为0时等式成立，即：
$\begin{cases}2a - 2 = 0 \\ b + 2 = 0\end{cases}$
解$2a - 2 = 0$，移项得$2a=2$，解得$a=1$
解$b + 2 = 0$，解得$b=-2$
代入计算$a - b$：$a - b = 1 - (-2) = 3$
根据平方根的定义，3的平方根为$\pm\sqrt{3}$，即$a - b$的平方根为$\pm\sqrt{3}$。
【答案】
$\pm\sqrt{3}$
【知识点】
非负数的性质；平方根的定义
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是熟练掌握平方和绝对值的非负性，需要注意正数的平方根有两个且互为相反数，不要遗漏负的平方根。
【难度系数】
0.7
11 已知M的两个不相等的平方根分别为$a-6$与$3a-10$.求：
(1) $a$的值；
(2) $M$的值.
(1) $a$的值；
(2) $M$的值.
答案
(1) 因为M的两个不相等的平方根分别为$a-6$与$3a-10$，所以$a-6+3a-10=0$，解得$a=4$
(2) 由(1)，得$a-6=4-6=-2$，$3a-10=3×4-10=2$，所以$M=(\pm2)^2=4$
(2) 由(1)，得$a-6=4-6=-2$，$3a-10=3×4-10=2$，所以$M=(\pm2)^2=4$
解析
【分析】
解题的核心依据是平方根的性质：一个正数有两个互为相反数的平方根。首先解决第(1)问：已知M的两个不相等的平方根，那么这两个平方根的和为0，据此列一元一次方程即可求出a的值；再解决第(2)问：将求出的a代入任意一个平方根表达式，对结果平方即可得到M的值，也可算出两个平方根验证后再计算M。
【解析】
(1) 因为正数的两个不相等的平方根互为相反数，M的两个不相等的平方根分别为$a-6$与$3a-10$，所以两者之和为0，可得方程：
$\begin{aligned}a-6+3a-10&=0\\4a-16&=0\\a&=4\end{aligned}$
(2) 把$a=4$代入两个平方根表达式计算：
$a-6=4-6=-2$，$3a-10=3×4-10=2$
因为M是平方根对应的原数，所以$M=(\pm2)^2=4$
【答案】
(1) $a=4$；(2) $M=4$
【知识点】
平方根的性质；解一元一次方程；平方根的运算
【点评】
本题是平方根相关的基础题型，解题的关键是牢记正数的两个平方根互为相反数这一核心性质，整体计算量小，掌握基础知识点即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题的核心依据是平方根的性质：一个正数有两个互为相反数的平方根。首先解决第(1)问：已知M的两个不相等的平方根，那么这两个平方根的和为0，据此列一元一次方程即可求出a的值；再解决第(2)问：将求出的a代入任意一个平方根表达式，对结果平方即可得到M的值，也可算出两个平方根验证后再计算M。
【解析】
(1) 因为正数的两个不相等的平方根互为相反数，M的两个不相等的平方根分别为$a-6$与$3a-10$，所以两者之和为0，可得方程：
$\begin{aligned}a-6+3a-10&=0\\4a-16&=0\\a&=4\end{aligned}$
(2) 把$a=4$代入两个平方根表达式计算：
$a-6=4-6=-2$，$3a-10=3×4-10=2$
因为M是平方根对应的原数，所以$M=(\pm2)^2=4$
【答案】
(1) $a=4$；(2) $M=4$
【知识点】
平方根的性质；解一元一次方程；平方根的运算
【点评】
本题是平方根相关的基础题型，解题的关键是牢记正数的两个平方根互为相反数这一核心性质，整体计算量小，掌握基础知识点即可快速求解。
【难度系数】
0.8
12 如果实数 $ m $ 没有平方根，那么 $ m $ 可以是（
A.$ -5^2 $
B.$ |-3| $
C.$ (-5)^2 $
D.$ -(-5) $
A
）A.$ -5^2 $
B.$ |-3| $
C.$ (-5)^2 $
D.$ -(-5) $
答案
A
解析
【分析】
解题首先回忆平方根的性质：只有非负数（正数和0）才有平方根，负数没有平方根。因此题目中m没有平方根，说明m一定是负数，接下来只需要分别计算四个选项的结果，判断出结果为负数的选项即可。计算时要注意乘方、绝对值、去括号的运算规则，避免符号出错。
【解析】
根据平方根的性质：负数没有平方根，可知本题要找取值为负数的选项。
逐一计算各选项：
A. $-5^2 = -25$，是负数，没有平方根，符合题意；
B. $|-3| = 3$，是正数，有平方根，不符合题意；
C. $(-5)^2 = 25$，是正数，有平方根，不符合题意；
D. $-(-5) = 5$，是正数，有平方根，不符合题意。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
平方根的性质；有理数乘方运算；绝对值化简
【点评】
本题是基础概念类题目，解题核心是牢记负数没有平方根的性质，同时要注意区分$-5^2$和$(-5)^2$的运算顺序和结果差异，避免符号判断错误。
【难度系数】
0.75
解题首先回忆平方根的性质：只有非负数（正数和0）才有平方根，负数没有平方根。因此题目中m没有平方根，说明m一定是负数，接下来只需要分别计算四个选项的结果，判断出结果为负数的选项即可。计算时要注意乘方、绝对值、去括号的运算规则，避免符号出错。
【解析】
根据平方根的性质：负数没有平方根，可知本题要找取值为负数的选项。
逐一计算各选项：
A. $-5^2 = -25$，是负数，没有平方根，符合题意；
B. $|-3| = 3$，是正数，有平方根，不符合题意；
C. $(-5)^2 = 25$，是正数，有平方根，不符合题意；
D. $-(-5) = 5$，是正数，有平方根，不符合题意。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
平方根的性质；有理数乘方运算；绝对值化简
【点评】
本题是基础概念类题目，解题核心是牢记负数没有平方根的性质，同时要注意区分$-5^2$和$(-5)^2$的运算顺序和结果差异，避免符号判断错误。
【难度系数】
0.75
13 一题多解 已知正数$a$的两个平方根分别是$b$，$c$，则代数式$a + b + c + bc$的值是
0
。答案
0 【解析】解法一:因为正数$a$的两个平方根分别是$b,c$，所以$b+c=0,a=-bc$.所以代数式$a+b+c+bc=0$.解法二:因为正数$a$的两个平方根分别是$b,c$,所以$a=b^2=c^2,b=-c$.所以$a+b+c+bc=b^2+(-c)+c+(-c)× c=b^2-c^2=a-a=0$.
解析
【分析】
解题时首先回忆正数平方根的核心性质：正数的两个平方根互为相反数，且平方根的平方等于原数。第一步根据性质得到b与c的关系：b+c=0，b=-c；第二步得到a与b、c的关系：a=b²=c²，进一步推导可得bc=-a；第三步将上述等量关系代入代数式化简，或用代入消元法将c替换为-b、a替换为b²后代入化简，即可求出结果。
【解析】
解法一：
∵ 正数a的两个平方根分别是b，c
∴ 正数的两个平方根互为相反数，可得$b + c = 0$，且$bc = b·(-b) = -b²$
又
∵ $a = b²$，因此$a = -bc$
将$b+c=0$、$a=-bc$代入代数式得：
$a + b + c + bc = -bc + 0 + bc = 0$
解法二：
∵ 正数a的两个平方根分别是b，c
∴ $a = b² = c²$，且$b = -c$
将$c = -b$代入代数式得：
$a + b + c + bc = b² + b + (-b) + b·(-b) = b² + 0 - b² = 0$
【答案】
0
【知识点】
1. 平方根的性质
2. 代数式化简求值
【点评】
本题是平方根性质的基础应用题型，解题的关键是掌握“正数的两个平方根互为相反数”这一核心性质，通过建立各字母之间的等量关系代入化简即可求解，是平方根章节的常考基础题。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆正数平方根的核心性质：正数的两个平方根互为相反数，且平方根的平方等于原数。第一步根据性质得到b与c的关系：b+c=0，b=-c；第二步得到a与b、c的关系：a=b²=c²，进一步推导可得bc=-a；第三步将上述等量关系代入代数式化简，或用代入消元法将c替换为-b、a替换为b²后代入化简，即可求出结果。
【解析】
解法一：
∵ 正数a的两个平方根分别是b，c
∴ 正数的两个平方根互为相反数，可得$b + c = 0$，且$bc = b·(-b) = -b²$
又
∵ $a = b²$，因此$a = -bc$
将$b+c=0$、$a=-bc$代入代数式得：
$a + b + c + bc = -bc + 0 + bc = 0$
解法二：
∵ 正数a的两个平方根分别是b，c
∴ $a = b² = c²$，且$b = -c$
将$c = -b$代入代数式得：
$a + b + c + bc = b² + b + (-b) + b·(-b) = b² + 0 - b² = 0$
【答案】
0
【知识点】
1. 平方根的性质
2. 代数式化简求值
【点评】
本题是平方根性质的基础应用题型，解题的关键是掌握“正数的两个平方根互为相反数”这一核心性质，通过建立各字母之间的等量关系代入化简即可求解，是平方根章节的常考基础题。
【难度系数】
0.8
14 教材 P38 习题 T5 变式 求下面各式中 $x$ 的值.
(1) $4x^2 = 100$；
(2) $9(x-2)^2 = 36$.
(1) $4x^2 = 100$；
(2) $9(x-2)^2 = 36$.
答案
(1) $x=\pm5$ (2) $x=4$或$x=0$
解析
【分析】
这两道题均为利用平方根定义求解的一元二次方程题，解题思路如下：（1）先将方程变形为$x^2=a$（$a≥0$）的形式，再根据平方根的定义开平方得到$x$的解；（2）将$(x-2)$看作整体，先把方程变形为$(x-2)^2=a$（$a≥0$）的形式，开平方后转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到$x$的值，注意正数的平方根有两个，不要漏解。
【解析】
(1) 求解$4x^2=100$：
步骤1：系数化为1，方程两边同时除以4，得$x^2=25$；
步骤2：根据平方根的定义，25的平方根为$\pm5$，因此$x=\pm5$。
(2) 求解$9(x-2)^2=36$：
步骤1：系数化为1，方程两边同时除以9，得$(x-2)^2=4$；
步骤2：根据平方根的定义，4的平方根为$\pm2$，因此$x-2=\pm2$；
步骤3：分情况计算：
当$x-2=2$时，解得$x=4$；
当$x-2=-2$时，解得$x=0$。
【答案】
(1) $x=\pm5$ (2) $x=4$或$x=0$
【知识点】
1. 平方根的定义 2. 直接开平方法解方程 3. 整体代换思想
【点评】
本题是平方根应用的基础题型，核心考查对平方根概念的掌握，解题时要注意正数有两个互为相反数的平方根，开平方时避免漏解，第二题运用整体思想可简化计算过程。
【难度系数】
0.8
这两道题均为利用平方根定义求解的一元二次方程题，解题思路如下：（1）先将方程变形为$x^2=a$（$a≥0$）的形式，再根据平方根的定义开平方得到$x$的解；（2）将$(x-2)$看作整体，先把方程变形为$(x-2)^2=a$（$a≥0$）的形式，开平方后转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到$x$的值，注意正数的平方根有两个，不要漏解。
【解析】
(1) 求解$4x^2=100$：
步骤1：系数化为1，方程两边同时除以4，得$x^2=25$；
步骤2：根据平方根的定义，25的平方根为$\pm5$，因此$x=\pm5$。
(2) 求解$9(x-2)^2=36$：
步骤1：系数化为1，方程两边同时除以9，得$(x-2)^2=4$；
步骤2：根据平方根的定义，4的平方根为$\pm2$，因此$x-2=\pm2$；
步骤3：分情况计算：
当$x-2=2$时，解得$x=4$；
当$x-2=-2$时，解得$x=0$。
【答案】
(1) $x=\pm5$ (2) $x=4$或$x=0$
【知识点】
1. 平方根的定义 2. 直接开平方法解方程 3. 整体代换思想
【点评】
本题是平方根应用的基础题型，核心考查对平方根概念的掌握，解题时要注意正数有两个互为相反数的平方根，开平方时避免漏解，第二题运用整体思想可简化计算过程。
【难度系数】
0.8
15 已知$x$的两个平方根分别是$m$和$m+n$.
(1)当$n=6$时,求$m$的值;
(2)若$m^2x+(m+n)^2x=32$,求$x$的值.
(1)当$n=6$时,求$m$的值;
(2)若$m^2x+(m+n)^2x=32$,求$x$的值.
答案
(1) 因为$x$的两个平方根分别是$m$和$m+n$,所以$m+m+n=0$.因为$n=6$,所以$2m+6=0$.所以$m=-3$
(2) 因为$x$的两个平方根分别是$m$和$m+n$,所以$(m+n)^2=x$,$m^2=x$.因为$m^2x+(m+n)^2x=32$,所以$x^2+x^2=32$,即$x^2=16$.因为$x≥0$,所以$x=4$
(2) 因为$x$的两个平方根分别是$m$和$m+n$,所以$(m+n)^2=x$,$m^2=x$.因为$m^2x+(m+n)^2x=32$,所以$x^2+x^2=32$,即$x^2=16$.因为$x≥0$,所以$x=4$
解析
【分析】
（1）首先回忆平方根的核心性质：正数的两个平方根互为相反数，因此两个平方根的和为0。我们可以先依据该性质列出m与n的关系式，再代入n=6，解一元一次方程即可求出m的值。
（2）根据平方根的定义可知，一个数的平方根的平方等于这个数本身，因此$m^2$和$(m+n)^2$的值都等于x。将其代入已知等式可得到仅含x的方程，解方程后结合被开方数非负的要求筛选出符合条件的x即可。
【解析】
(1)
∵x的两个平方根分别是$m$和$m+n$，正数的两个平方根互为相反数
∴$m + m + n = 0$
把$n=6$代入得：$2m + 6 = 0$
解得：$m=-3$
(2)
∵x的两个平方根分别是$m$和$m+n$
∴$m^2 = x$，$(m+n)^2 = x$
将上述关系代入$m^2x+(m+n)^2x=32$得：
$x· x + x· x = 32$
即$2x^2 = 32$，化简得$x^2=16$
∵被开方数是非负数，即$x≥0$
∴$x=4$
【答案】
(1) $m=-3$；(2) $x=4$
【知识点】
平方根的性质；平方根的定义；非负数的性质
【点评】
本题属于平方根模块的基础题型，解题关键是牢记平方根的核心性质，结合方程思想代入求解即可，整体计算量小，逻辑清晰。
【难度系数】
0.8
（1）首先回忆平方根的核心性质：正数的两个平方根互为相反数，因此两个平方根的和为0。我们可以先依据该性质列出m与n的关系式，再代入n=6，解一元一次方程即可求出m的值。
（2）根据平方根的定义可知，一个数的平方根的平方等于这个数本身，因此$m^2$和$(m+n)^2$的值都等于x。将其代入已知等式可得到仅含x的方程，解方程后结合被开方数非负的要求筛选出符合条件的x即可。
【解析】
(1)
∵x的两个平方根分别是$m$和$m+n$，正数的两个平方根互为相反数
∴$m + m + n = 0$
把$n=6$代入得：$2m + 6 = 0$
解得：$m=-3$
(2)
∵x的两个平方根分别是$m$和$m+n$
∴$m^2 = x$，$(m+n)^2 = x$
将上述关系代入$m^2x+(m+n)^2x=32$得：
$x· x + x· x = 32$
即$2x^2 = 32$，化简得$x^2=16$
∵被开方数是非负数，即$x≥0$
∴$x=4$
【答案】
(1) $m=-3$；(2) $x=4$
【知识点】
平方根的性质；平方根的定义；非负数的性质
【点评】
本题属于平方根模块的基础题型，解题关键是牢记平方根的核心性质，结合方程思想代入求解即可，整体计算量小，逻辑清晰。
【难度系数】
0.8
