答案:问题 1:因为 $2x^2+3x-1=0$ 的两个实数根为 $x_1,x_2$,所以 $x_1+x_2=-\frac{3}{2},x_1x_2=-\frac{1}{2}$。故答案为: $-\frac{3}{2};-\frac{1}{2}$。问题 2:因为关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2-6x+(2m+1)=0$ 有两个实数根为 $x_1,x_2$,所以 $x_1+x_2=6,x_1x_2=2m+1,\Delta=(-6)^2-4×1×(2m+1)≥0$,解得: $m≤4$。又因为 $2x_1x_2+x_1+x_2≥20$,所以 $2(2m+1)+6≥20$,所以 $m≥3$。所以 $3≤ m≤4$。问题 3:因为一元二次方程 $2x^2+2025x-3=0$ 的两个实数根为 $m,n$,所以 $m+n=-\frac{2025}{2},mn=-\frac{3}{2},2m^2+2025m-3=0,2n^2+2025n-3=0$。所以 $2m^2+2024m-7=-m-4,2n^2+2026n+1=n+4$。所以 $(2m^2+2024m-7)(2n^2+2026n+1)=-(m+4)(n+4)=-[mn+4(m+n)+16]=-mn-4(m+n)-16=\frac{3}{2}-4×(-\frac{2025}{2})-16=\frac{3}{2}+4050-16=\frac{8071}{2}$。
练习

问题 1:因为 $2x^2+3x-1=0$ 的两个实数根为 $x_1,x_2$,所以 $x_1+x_2=-\frac{3}{2},x_1x_2=-\frac{1}{2}$。故答案为: $-\frac{3}{2};-\frac{1}{2}$。
问题 2:因为关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2-6x+(2m+1)=0$ 有两个实数根为 $x_1,x_2$,所以 $x_1+x_2=6,x_1x_2=2m+1,\Delta=(-6)^2-4×1×(2m+1)≥0$,解得: $m≤4$。又因为 $2x_1x_2+x_1+x_2≥20$,所以 $2(2m+1)+6≥20$,所以 $m≥3$。所以 $3≤ m≤4$。
问题 3:因为一元二次方程 $2x^2+2025x-3=0$ 的两个实数根为 $m,n$,所以 $m+n=-\frac{2025}{2},mn=-\frac{3}{2},2m^2+2025m-3=0,2n^2+2025n-3=0$。所以 $2m^2+2024m-7=-m-4,2n^2+2026n+1=n+4$。所以 $(2m^2+2024m-7)(2n^2+2026n+1)=-(m+4)(n+4)=-[mn+4(m+n)+16]=-mn-4(m+n)-16=\frac{3}{2}-4×(-\frac{2025}{2})-16=\frac{3}{2}+4050-16=\frac{8071}{2}$。

1. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ mx^2 - (2m+1)x + 2 = 0 $。
（1）判断此方程根的情况，并说明理由。
（2）若此方程的两个实数根都是整数，求符合条件的整数 $ m $ 的值的和。
（3）若此方程的两个实数根分别为 $ x_1, x_2 $，求代数式 $ m(x_1^5 + x_2^5) - (2m+1)(x_1^4 + x_2^4) + 2(x_1^3 + x_2^3) $的值。

(1)此方程总有两个实数根。理由:因为 $\Delta= [-(2m+1)]^2 -4m · 2=(2m-1)^2$,所以不论 $ m $ 为何值,$(2m-1)^2≥0$,所以此方程总有两个实数根。
(2)方法一:设方程的两个根为 $ x_1 $, $ x_2 $,则 $ x_1+x_2=\frac{2m+1}{m}=2+\frac{1}{m},x_1 · x_2=\frac{2}{m}$。因为此方程的两个实数根都是整数,所以 $ m $ 的值为 $ \pm 1 $,所以符合条件的整数 $ m $ 的值的和为 0。
方法二:分解因式可得$(mx-1)(x-2)=0$,则 $ mx-1=0 $ 或 $ x-2=0 $,解得 $ x_1=\frac{1}{m},x_2=2 $。因为方程的两个实数根都是整数,所以 $ m=\pm 1 $。所以符合条件的整数 $ m $ 的值的和为 $ 1+(-1)=0 $。
方法三:方程的两个实数根为 $ x=\frac{2m+1\pm \sqrt{(2m-1)^2}}{2m} $,所以 $ x_1=2,x_2=\frac{1}{m} $,因为方程的两个实数根都是整数,且 $ m $ 为整数,所以符合条件的整数 $ m $ 的值的和为 0。
(3)因为 $ x_1,x_2 $ 是方程 $ mx^2-(2m+1)x+2=0 $ 的两个实数根,所以 $ mx_1^2-(2m+1)x_1+2=0,mx_2^2-(2m+1)x_2+2=0 $,所以 $ mx_1^5-(2m+1)x_1^4+2x_1^3=0,mx_2^5-(2m+1)x_2^4+2x_2^3=0 $,以上两式相加,可得 $ m(x_1^5+x_2^5)-(2m+1)(x_1^4+x_2^4)+2(x_1^3+x_2^3)=0 $。

2.材料一:定义:若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0(a ≠ 0) $ 有两个实数根 $ x_1, x_2 $，且满足 $ |x_1 + x_2| = |x_1 · x_2| $，则称此类方程为“和积方程”。
例如: $ x^2 - \frac{9}{2}x + \frac{9}{2} = 0 $，即 $ (x - 3)(x - \frac{3}{2}) = 0 $，解得 $ x_1 = 3, x_2 = \frac{3}{2} $。
因为 $ \left|3 + \frac{3}{2}\right| = \left|3 × \frac{3}{2}\right| $，所以 $ x^2 - \frac{9}{2}x + \frac{9}{2} = 0 $ 是“和积方程”。
材料二:法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现:若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $
$ (a ≠ 0) $ 的两个实数根为 $ x_1, x_2 $，则 $ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, x_1 · x_2 = \frac{c}{a} $，这就是一元二次方程根与系数的关系，也被称作“韦达定理”。
(1)方程 $ x^2 - 5x + 6 = 0 $ (填“是”或“不是”)“和积方程”。
(2)若关于 $ x $ 的方程 $ x^2 - (n + 3)x + 3n = 0 $ 是“和积方程”，则 $ n = $ 。
(3)若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 + (2m + 1)x + m^2 + 2m = 0 $ 是“和积方程”，求 $ m $ 的值。

(1)不是 解析:设方程 $ x^2 - 5x + 6 = 0 $ 的两个实数根为 $ x_1 $, $ x_2 $,所以 $ x_1+x_2=-\frac{b}{a}=5,x_1 · x_2=6 $,因为 $ |5|≠|6| $,所以 $ |x_1+x_2|≠|x_1 · x_2| $,所以方程 $ x^2 - 5x + 6 = 0 $ 不是“和积方程”,故答案为:不是。
(2)$\frac{3}{2}$或$-\frac{3}{4}$ 解析:因为关于 $ x $ 的方程 $ x^2 - (n + 3)x + 3n = 0 $ 是“和积方程”,$ x_1+x_2=n+3,x_1 · x_2=3n $,所以 $ |n+3|=|3n| $,当 $ n+3=3n $ 时,解得 $ n=\frac{3}{2} $;当 $ n+3=-3n $ 时,解得 $ n=-\frac{3}{4} $;因为 $ \Delta=(n+3)^2-12n=(n-3)^2≥0 $,所以 $ n $ 为全体实数,故答案为:$\frac{3}{2}$或$-\frac{3}{4}$。
(3)因为方程 $ x^2 + (2m + 1)x + m^2 + 2m = 0 $ 有两个实数根,所以 $ \Delta=(2m+1)^2-4(m^2+2m)≥0 $,所以 $ m≤\frac{1}{4} $。因为方程 $ x^2 + (2m + 1)x + m^2 + 2m = 0 $ 是“和积方程”,所以 $ |2m+1|=|m^2+2m| $,当 $ 2m+1=m^2+2m $ 时,整理得 $ m^2=1 $,解得 $ m=1 $ 或 $ m=-1 $;当 $ 2m+1=-m^2-2m $ 时,整理得 $ m^2+4m+1=0 $,解得 $ m=\sqrt{3}-2 $ 或 $ m=-\sqrt{3}-2 $;所以 $ m $ 的值为 $ -1 $ 或 $\sqrt{3}-2$ 或 $-\sqrt{3}-2$。