登录
1 二次函数 $y=-2(x+3)^2 -4$ 的图象的顶点坐标是 （
A.$(3,4)$
B.$(3,-4)$
C.$(-3,4)$
D.$(-3,-4)$
D
）A.$(3,4)$
B.$(3,-4)$
C.$(-3,4)$
D.$(-3,-4)$
答案
1. D 【解析】
∵二次函数表达式为 $y=-2(x+3)^2 -4$，
∴二次函数图象的顶点坐标为 $(-3,-4)$. 故选 D.
∵二次函数表达式为 $y=-2(x+3)^2 -4$，
∴二次函数图象的顶点坐标为 $(-3,-4)$. 故选 D.
解析
【分析】
首先观察题目给出的二次函数表达式，属于顶点式形式。解题时先回忆二次函数顶点式的标准结构：$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），其对应的顶点坐标为$(h,k)$，解题的关键是准确识别参数$h$、$k$的值，尤其注意括号内是$x-h$，遇到$x$加常数的情况要转化为$x$减负数的形式，避免符号出错，得出顶点坐标后匹配选项即可。
【解析】
二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），对应的顶点坐标为$(h,k)$。
已知题中二次函数为$y=-2(x+3)^2 -4$，可变形为$y=-2[x-(-3)]^2 + (-4)$，
对应可得$h=-3$，$k=-4$，因此该二次函数图象的顶点坐标为$(-3,-4)$。
故选：D
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数图象性质
【点评】
本题属于二次函数基础题，主要考查顶点式与顶点坐标的对应关系，只要牢记顶点式的参数含义，注意符号的转换，就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9
首先观察题目给出的二次函数表达式，属于顶点式形式。解题时先回忆二次函数顶点式的标准结构：$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），其对应的顶点坐标为$(h,k)$，解题的关键是准确识别参数$h$、$k$的值，尤其注意括号内是$x-h$，遇到$x$加常数的情况要转化为$x$减负数的形式，避免符号出错，得出顶点坐标后匹配选项即可。
【解析】
二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），对应的顶点坐标为$(h,k)$。
已知题中二次函数为$y=-2(x+3)^2 -4$，可变形为$y=-2[x-(-3)]^2 + (-4)$，
对应可得$h=-3$，$k=-4$，因此该二次函数图象的顶点坐标为$(-3,-4)$。
故选：D
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数图象性质
【点评】
本题属于二次函数基础题，主要考查顶点式与顶点坐标的对应关系，只要牢记顶点式的参数含义，注意符号的转换，就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9
2[2026安徽潜山期末]若$\frac{x}{3}=\frac{y}{7}=\frac{z}{5}$，则$\frac{x+y-z}{2x-z}$的值是（
A.4
B.5
C.$\frac{5}{11}$
D.$\frac{15}{11}$
B
）A.4
B.5
C.$\frac{5}{11}$
D.$\frac{15}{11}$
答案
2. B 【解析】设 $\frac{x}{3}=\frac{y}{7}=\frac{z}{5}=k(k≠0)$，则 $x=3k,y=7k,z=5k$，$\therefore \frac{x+y-z}{2x-z}=\frac{3k+7k-5k}{2×3k-5k}=\frac{5k}{k}=5$，故选 B.
解析
【分析】
遇到多个变量成连比的求值问题，常用设比值为参数的方法解题。先设连比的比值为$k$（$k≠0$），就可以将$x$、$y$、$z$都用含$k$的代数式表示，再代入待求分式中，参数$k$可通过约分消去，就能求出分式的结果。
【解析】
设$\frac{x}{3}=\frac{y}{7}=\frac{z}{5}=k(k≠0)$，根据比例的性质可得：$x=3k$，$y=7k$，$z=5k$。
将$x=3k$，$y=7k$，$z=5k$代入$\frac{x+y-z}{2x-z}$得：
$\frac{x+y-z}{2x-z}=\frac{3k+7k-5k}{2×3k-5k}=\frac{5k}{k}=5$（$k≠0$，可直接约分），因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
比例的性质；代数式求值
【点评】
本题是比例类求值的基础题型，核心解题方法为连比设参法，熟练掌握该方法可快速解决同类型问题，计算时注意参数不为0是约分的前提。
【难度系数】
0.8
遇到多个变量成连比的求值问题，常用设比值为参数的方法解题。先设连比的比值为$k$（$k≠0$），就可以将$x$、$y$、$z$都用含$k$的代数式表示，再代入待求分式中，参数$k$可通过约分消去，就能求出分式的结果。
【解析】
设$\frac{x}{3}=\frac{y}{7}=\frac{z}{5}=k(k≠0)$，根据比例的性质可得：$x=3k$，$y=7k$，$z=5k$。
将$x=3k$，$y=7k$，$z=5k$代入$\frac{x+y-z}{2x-z}$得：
$\frac{x+y-z}{2x-z}=\frac{3k+7k-5k}{2×3k-5k}=\frac{5k}{k}=5$（$k≠0$，可直接约分），因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
比例的性质；代数式求值
【点评】
本题是比例类求值的基础题型，核心解题方法为连比设参法，熟练掌握该方法可快速解决同类型问题，计算时注意参数不为0是约分的前提。
【难度系数】
0.8
3[2025安徽亳州期末]在平面直角坐标系$xOy$中，$O$为坐标原点，反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象经过点$P(1,4)$，则下列结论错误的是（
A.当$x＜0$时，$y$随$x$增大而减小
B.当$x＞0$时，$y$随$x$增大而减小
C.当$x＜1$时，$y$随$x$增大而减小
D.当$x＞1$时，$y$随$x$增大而减小
C
）A.当$x＜0$时，$y$随$x$增大而减小
B.当$x＞0$时，$y$随$x$增大而减小
C.当$x＜1$时，$y$随$x$增大而减小
D.当$x＞1$时，$y$随$x$增大而减小
答案
3. C 【解析】
∵反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 的图象经过点 $P(1,4)$，
∴ $k=4$，
∴反比例函数图象位于第一、三象限，在每个象限内，$y$ 随 $x$ 增大而减小，
∴ 当 $x＜0$ 时，$y$ 随 $x$ 增大而减小；当 $x＞0$ 时，$y$ 随 $x$ 增大而减小；当 $x＞1$ 时，$y$ 随 $x$ 增大而减小；当 $x＜0$ 时的 $y$ 值小于当 $x＞0$ 时的 $y$ 值，故 C 不正确. 故选 C.
∵反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 的图象经过点 $P(1,4)$，
∴ $k=4$，
∴反比例函数图象位于第一、三象限，在每个象限内，$y$ 随 $x$ 增大而减小，
∴ 当 $x＜0$ 时，$y$ 随 $x$ 增大而减小；当 $x＞0$ 时，$y$ 随 $x$ 增大而减小；当 $x＞1$ 时，$y$ 随 $x$ 增大而减小；当 $x＜0$ 时的 $y$ 值小于当 $x＞0$ 时的 $y$ 值，故 C 不正确. 故选 C.
解析
【分析】
解题第一步先利用反比例函数经过的已知点坐标求出系数$k$，确定函数图象所在象限；第二步回忆反比例函数增减性的性质：$k＞0$时，$y$随$x$增大而减小的前提是在同一象限内，不能跨象限讨论；第三步逐一分析每个选项，判断正误后选出错误结论即可。
【解析】
∵反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象经过点$P(1,4)$，
∴将$x=1$、$y=4$代入解析式，得$k=1×4=4$，
∵$k=4＞0$，
∴该反比例函数图象位于第一、三象限，在每个象限内$y$随$x$的增大而减小。
对各选项逐一分析：
A.当$x＜0$时，图象在第三象限，$y$随$x$增大而减小，结论正确；
B.当$x＞0$时，图象在第一象限，$y$随$x$增大而减小，结论正确；
C.当$x＜1$时，包含$x＜0$（第三象限，y值为负）和$0＜x＜1$（第一象限，y值为正）两个跨象限的范围，此时不存在整体的$y$随$x$增大而减小的规律（例如$x=-1$时$y=-4$，$x=0.5$时$y=8$，x增大y反而增大），结论错误；
D.当$x＞1$时，图象在第一象限，$y$随$x$增大而减小，结论正确。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的性质，待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题的易错点是忽略反比例函数增减性的适用前提，增减性仅在同一象限内成立，跨象限讨论时该规律不成立，解题时要注意取值范围是否跨象限。
【难度系数】
0.7
解题第一步先利用反比例函数经过的已知点坐标求出系数$k$，确定函数图象所在象限；第二步回忆反比例函数增减性的性质：$k＞0$时，$y$随$x$增大而减小的前提是在同一象限内，不能跨象限讨论；第三步逐一分析每个选项，判断正误后选出错误结论即可。
【解析】
∵反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象经过点$P(1,4)$，
∴将$x=1$、$y=4$代入解析式，得$k=1×4=4$，
∵$k=4＞0$，
∴该反比例函数图象位于第一、三象限，在每个象限内$y$随$x$的增大而减小。
对各选项逐一分析：
A.当$x＜0$时，图象在第三象限，$y$随$x$增大而减小，结论正确；
B.当$x＞0$时，图象在第一象限，$y$随$x$增大而减小，结论正确；
C.当$x＜1$时，包含$x＜0$（第三象限，y值为负）和$0＜x＜1$（第一象限，y值为正）两个跨象限的范围，此时不存在整体的$y$随$x$增大而减小的规律（例如$x=-1$时$y=-4$，$x=0.5$时$y=8$，x增大y反而增大），结论错误；
D.当$x＞1$时，图象在第一象限，$y$随$x$增大而减小，结论正确。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的性质，待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题的易错点是忽略反比例函数增减性的适用前提，增减性仅在同一象限内成立，跨象限讨论时该规律不成立，解题时要注意取值范围是否跨象限。
【难度系数】
0.7
4 如图,在四边形ABCD中,如果∠ADC=∠BAC,那么下列条件中不能判定△ADC和△BAC相似的是 (
A.∠DAC=∠ABC
B.CA是∠BCD的平分线
C.$AC^2=BC· CD$
D.$\frac{AD}{AB}=\frac{DC}{AC}$
(第4题图)
(第5题图)
C
)A.∠DAC=∠ABC
B.CA是∠BCD的平分线
C.$AC^2=BC· CD$
D.$\frac{AD}{AB}=\frac{DC}{AC}$
(第4题图)
(第5题图)
答案
4. C 【解析】在 $△ ADC$ 和 $△ BAC$ 中，$∠ ADC = ∠ BAC$，如果 $△ ADC ∽ △ BAC$，需满足的条件有 $∠ DAC = ∠ ABC$ 或 $CA$ 是 $∠ BCD$ 的平分线或 $\frac{AD}{AB} = \frac{DC}{AC}$. 故选 C.
解析
【分析】
已知△ADC和△BAC已有一组对应角相等：∠ADC=∠BAC，结合相似三角形的判定定理，要判定两个三角形相似，要么再找到一组对应角相等，要么找到这组等角的两组夹边对应成比例，据此逐一分析各选项即可。
【解析】
已知在△ADC和△BAC中，∠ADC=∠BAC：
选项A：添加∠DAC=∠ABC，满足“两角分别相等的两个三角形相似”，可判定△ADC∽△BAC，不符合题意；
选项B：添加CA是∠BCD的平分线，可得∠DCA=∠BCA，满足“两角分别相等的两个三角形相似”，可判定△ADC∽△BAC，不符合题意；
选项C：添加$AC^2=BC·CD$，变形得$\frac{AC}{BC}=\frac{CD}{AC}$，此时相等的∠ADC和∠BAC并不是这两组对应边的夹角，不满足相似三角形的判定条件，不能判定△ADC和△BAC相似，符合题意；
选项D：添加$\frac{AD}{AB}=\frac{DC}{AC}$，且两边的夹角∠ADC=∠BAC，满足“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可判定△ADC∽△BAC，不符合题意。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定；角平分线的定义；比例的性质
【点评】
本题重点考查相似三角形判定定理的灵活应用，解题时要注意对应角、对应边的位置关系，使用两边成比例加夹角相等的判定定理时，必须保证成比例的两边的夹角是已知的相等角，否则无法判定相似。
【难度系数】
0.7
已知△ADC和△BAC已有一组对应角相等：∠ADC=∠BAC，结合相似三角形的判定定理，要判定两个三角形相似，要么再找到一组对应角相等，要么找到这组等角的两组夹边对应成比例，据此逐一分析各选项即可。
【解析】
已知在△ADC和△BAC中，∠ADC=∠BAC：
选项A：添加∠DAC=∠ABC，满足“两角分别相等的两个三角形相似”，可判定△ADC∽△BAC，不符合题意；
选项B：添加CA是∠BCD的平分线，可得∠DCA=∠BCA，满足“两角分别相等的两个三角形相似”，可判定△ADC∽△BAC，不符合题意；
选项C：添加$AC^2=BC·CD$，变形得$\frac{AC}{BC}=\frac{CD}{AC}$，此时相等的∠ADC和∠BAC并不是这两组对应边的夹角，不满足相似三角形的判定条件，不能判定△ADC和△BAC相似，符合题意；
选项D：添加$\frac{AD}{AB}=\frac{DC}{AC}$，且两边的夹角∠ADC=∠BAC，满足“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可判定△ADC∽△BAC，不符合题意。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定；角平分线的定义；比例的性质
【点评】
本题重点考查相似三角形判定定理的灵活应用，解题时要注意对应角、对应边的位置关系，使用两边成比例加夹角相等的判定定理时，必须保证成比例的两边的夹角是已知的相等角，否则无法判定相似。
【难度系数】
0.7
5 如图,比例规是伽利略发明的一种画图工具,使用它可以把线段按一定比例伸长或缩短,它是由长度相等的两脚AD和BC交叉构成的.把比例规的两脚合上,用螺丝钉固定点O的位置,使$OA=3OD$,$OB=3OC$,然后张开两脚,使点A,B两个尖端分别在线段l的两个端点上,若$CD=5\ \mathrm{cm}$,则AB的长是 (
A.5 cm
B.10 cm
C.15 cm
D.20 cm
C
)A.5 cm
B.10 cm
C.15 cm
D.20 cm
答案
5. C 【解析】
∵ $OA=3OD,OB=3OC$，$\therefore \frac{OD}{OA} = \frac{OC}{OB} = \frac{1}{3}$. 又
∵ $∠ COD = ∠ AOB$，
∴ $△ COD ∽ △ BOA$，$\therefore \frac{CD}{AB} = \frac{OC}{OB} = \frac{1}{3}$.
∵ $CD=5\ \mathrm{cm}$，
∴ $AB=15\ \mathrm{cm}$. 故选 C.
∵ $OA=3OD,OB=3OC$，$\therefore \frac{OD}{OA} = \frac{OC}{OB} = \frac{1}{3}$. 又
∵ $∠ COD = ∠ AOB$，
∴ $△ COD ∽ △ BOA$，$\therefore \frac{CD}{AB} = \frac{OC}{OB} = \frac{1}{3}$.
∵ $CD=5\ \mathrm{cm}$，
∴ $AB=15\ \mathrm{cm}$. 故选 C.
解析
【分析】
拿到这道题首先观察图形，我们需要求AB的长，已知CD的长，可尝试证明CD、AB所在的三角形相似。首先根据题目给出的OA=3OD、OB=3OC，可得出△COD和△BOA的两组对应边成比例；再结合两个三角形的夹角是对顶角，度数相等，即可判定两个三角形相似；最后利用相似三角形对应边成比例的性质，代入CD的长度就能算出AB的长。
【解析】
∵ $OA=3OD,OB=3OC$，
∴ $\frac{OD}{OA} = \frac{OC}{OB} = \frac{1}{3}$，
又
∵ $∠ COD$与$∠ AOB$是对顶角，
∴ $∠ COD = ∠ AOB$，
∴ $△ COD ∽ △ AOB$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
∴ $\frac{CD}{AB} = \frac{OC}{OB} = \frac{1}{3}$，
∵ $CD=5\ \mathrm{cm}$，
∴ $AB=3CD=3×5=15\ \mathrm{cm}$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题结合生活中的比例规工具，考查相似三角形相关知识的实际应用，解题的关键是准确找到相似三角形，利用其边角关系求解。
【难度系数】
0.8
拿到这道题首先观察图形，我们需要求AB的长，已知CD的长，可尝试证明CD、AB所在的三角形相似。首先根据题目给出的OA=3OD、OB=3OC，可得出△COD和△BOA的两组对应边成比例；再结合两个三角形的夹角是对顶角，度数相等，即可判定两个三角形相似；最后利用相似三角形对应边成比例的性质，代入CD的长度就能算出AB的长。
【解析】
∵ $OA=3OD,OB=3OC$，
∴ $\frac{OD}{OA} = \frac{OC}{OB} = \frac{1}{3}$，
又
∵ $∠ COD$与$∠ AOB$是对顶角，
∴ $∠ COD = ∠ AOB$，
∴ $△ COD ∽ △ AOB$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
∴ $\frac{CD}{AB} = \frac{OC}{OB} = \frac{1}{3}$，
∵ $CD=5\ \mathrm{cm}$，
∴ $AB=3CD=3×5=15\ \mathrm{cm}$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题结合生活中的比例规工具，考查相似三角形相关知识的实际应用，解题的关键是准确找到相似三角形，利用其边角关系求解。
【难度系数】
0.8
6[2026安徽芜湖质检]二次函数$y_1 = mx^2 - 2mx + m$（$m$是常数且$m≠0$）的图象经过点$P(x_1,y_1)$，一次函数$y_2=-mx+m$的图象经过点$Q(x_2,y_2)$，当$m＞0$时，下列结论不一定正确的是（
A.当$x_1=x_2＜0$时，$y_1＞y_2$
B.当$x_1=x_2＞1$时，$y_1＞y_2$
C.当$y_1=y_2＞m$时，$x_1＞x_2$
D.当$y_1=y_2＜m$时，$x_1＞x_2$
D
）A.当$x_1=x_2＜0$时，$y_1＞y_2$
B.当$x_1=x_2＞1$时，$y_1＞y_2$
C.当$y_1=y_2＞m$时，$x_1＞x_2$
D.当$y_1=y_2＜m$时，$x_1＞x_2$
答案
6. D 【解析】
∵ $y_1 = mx^2 - 2mx + m = m(x^2-2x+1)=m(x-1)^2$，$y_2=-mx+m=-m(x-1)$，
∴ 抛物线 $y_1 = mx^2 - 2mx + m$ 与直线 $y_2=-mx+m$ 都恒过定点 $(1,0)$，与 $y$ 轴的交点都为 $(0,m)$. 当 $m＞0$ 时，大致图象如图
，由图可知，当 $x_1=x_2＜0$ 时，$y_1＞y_2$，故 A 正确，不符合题意；当 $x_1=x_2＞1$ 时，$y_1＞y_2$，故 B 正确，不符合题意；当 $y_1=y_2＞m$ 时，$x_1＞x_2$，故 C 正确，不符合题意；当 $y_1=y_2＜m$ 时，若 $x_1＜1$，则 $x_1＜x_2$，若 $x_1＞1$，则 $x_1＞x_2$，故选项 D 不一定正确，符合题意. 故选 D.解析
【分析】
解题前先对两个函数解析式进行化简，确定它们的公共定点，再结合$m＞0$的条件明确函数图象的特征：二次函数是开口向上，顶点为$(1,0)$的抛物线，一次函数是过$(1,0)$、$(0,m)$的递减直线，两函数交点为$(1,0)$和$(0,m)$。接下来逐一分析每个选项，结合图象或代数计算判断大小关系，对于涉及$y$值相等的选项，要注意二次函数自变量取值有两种可能，需分类讨论判断是否一定成立。
【解析】
先化简两个函数解析式：
$y_1 = mx^2 - 2mx + m = m(x^2-2x+1)=m(x-1)^2$，
$y_2=-mx+m=-m(x-1)$，
由此可知：抛物线$y_1$与直线$y_2$都恒过定点$(1,0)$，且与y轴交点均为$(0,m)$，即两函数交点为$(1,0)$和$(0,m)$。
已知$m＞0$，函数大致图象如图，逐一分析选项：
A. 当$x_1=x_2＜0$时，观察图象可知抛物线在直线上方，故$y_1＞y_2$，结论正确，不符合题意；
B. 当$x_1=x_2＞1$时，抛物线呈上升趋势，直线呈下降趋势，抛物线在直线上方，故$y_1＞y_2$，结论正确，不符合题意；
C. 当$y_1=y_2＞m$时，直线$y_2＞m$时对应的$x_2＜0$，抛物线$y_1＞m$时对应的$x_1＜0$或$x_1＞2$，对比相同y值下的x：直线的x值比抛物线x＜0段的x值更小，而抛物线x＞2段的x值也大于0，因此始终有$x_1＞x_2$，结论正确，不符合题意；
D. 当$y_1=y_2＜m$时，若$x_1＜1$（对应抛物线对称轴左侧的点），此时相同y值下$x_1＜x_2$；若$x_1＞1$（对应抛物线对称轴右侧的点），此时相同y值下$x_1＞x_2$，因此结论不一定正确，符合题意。
故选D。
【答案】D
【知识点】
二次函数的性质，一次函数的性质，函数图象的应用
【点评】
本题考查一次函数与二次函数的综合应用，解题的关键是先化简解析式确定两函数的公共交点，再结合图象特征分类讨论不同条件下自变量、函数值的大小关系，很好地考查了数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.6
解题前先对两个函数解析式进行化简，确定它们的公共定点，再结合$m＞0$的条件明确函数图象的特征：二次函数是开口向上，顶点为$(1,0)$的抛物线，一次函数是过$(1,0)$、$(0,m)$的递减直线，两函数交点为$(1,0)$和$(0,m)$。接下来逐一分析每个选项，结合图象或代数计算判断大小关系，对于涉及$y$值相等的选项，要注意二次函数自变量取值有两种可能，需分类讨论判断是否一定成立。
【解析】
先化简两个函数解析式：
$y_1 = mx^2 - 2mx + m = m(x^2-2x+1)=m(x-1)^2$，
$y_2=-mx+m=-m(x-1)$，
由此可知：抛物线$y_1$与直线$y_2$都恒过定点$(1,0)$，且与y轴交点均为$(0,m)$，即两函数交点为$(1,0)$和$(0,m)$。
已知$m＞0$，函数大致图象如图
，逐一分析选项：A. 当$x_1=x_2＜0$时，观察图象可知抛物线在直线上方，故$y_1＞y_2$，结论正确，不符合题意；
B. 当$x_1=x_2＞1$时，抛物线呈上升趋势，直线呈下降趋势，抛物线在直线上方，故$y_1＞y_2$，结论正确，不符合题意；
C. 当$y_1=y_2＞m$时，直线$y_2＞m$时对应的$x_2＜0$，抛物线$y_1＞m$时对应的$x_1＜0$或$x_1＞2$，对比相同y值下的x：直线的x值比抛物线x＜0段的x值更小，而抛物线x＞2段的x值也大于0，因此始终有$x_1＞x_2$，结论正确，不符合题意；
D. 当$y_1=y_2＜m$时，若$x_1＜1$（对应抛物线对称轴左侧的点），此时相同y值下$x_1＜x_2$；若$x_1＞1$（对应抛物线对称轴右侧的点），此时相同y值下$x_1＞x_2$，因此结论不一定正确，符合题意。
故选D。
【答案】D
【知识点】
二次函数的性质，一次函数的性质，函数图象的应用
【点评】
本题考查一次函数与二次函数的综合应用，解题的关键是先化简解析式确定两函数的公共交点，再结合图象特征分类讨论不同条件下自变量、函数值的大小关系，很好地考查了数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.6
7[2026安徽芜湖期中]如图,在等边$△ ABC$中,$AB=2\sqrt{3}$,点$D$在边$AC$上,$\tan∠ ABD=\dfrac{\sqrt{3}}{5}$,则$CD$的长为 (
A.$\dfrac{5\sqrt{3}}{3}$
B.$\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$
C.$2$
D.$\sqrt{3}$
(第7题图)
(第8题图)
B
)A.$\dfrac{5\sqrt{3}}{3}$
B.$\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$
C.$2$
D.$\sqrt{3}$
(第7题图)
(第8题图)
答案
7. B 【解析】如图
，过点 $D$ 作 $DE ⊥ AB$，垂足为 $E$.∵ $△ ABC$ 是等边三角形，
∴ $AB=BC=AC=2\sqrt{3}$，$∠ A=60°$，在 $\mathrm{Rt}△ DEB$ 中，$\tan∠ ABD=\frac{DE}{BE}=\frac{\sqrt{3}}{5}$，
∴ 设 $DE=\sqrt{3}x,BE=5x$，
∴ 在 $\mathrm{Rt}△ ADE$ 中，$AE=\frac{DE}{\tan 60°}=\frac{\sqrt{3}x}{\sqrt{3}}=x$，$AD=\frac{DE}{\sin 60°}=\frac{\sqrt{3}x}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2x$.
∵ $AE+BE=2\sqrt{3}$，
∴ $x+5x=2\sqrt{3}$，解得 $x=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴ $AD=2x=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴ $CD=AC-AD=\frac{4\sqrt{3}}{3}$，故选 B.
解析
【分析】
已知∠ABD的正切值，解题时首先需要将该角置于直角三角形中，因此可过点D作AB的垂线构造直角三角形。再结合等边三角形∠A=60°的性质，分别在两个直角三角形中用同一个未知数表示相关线段的长度，结合AB的总长度列方程求出未知数，最后通过AC与AD的差即可求得CD的长度。
【解析】
如图，过点 $D$ 作 $DE ⊥ AB$，垂足为 $E$.
∵ $△ ABC$ 是等边三角形，
∴ $AB=BC=AC=2\sqrt{3}$，$∠ A=60°$，
在 $\mathrm{Rt}△ DEB$ 中，$\tan∠ ABD=\frac{DE}{BE}=\frac{\sqrt{3}}{5}$，
∴ 设 $DE=\sqrt{3}x,BE=5x$，
在 $\mathrm{Rt}△ ADE$ 中，$AE=\frac{DE}{\tan 60°}=\frac{\sqrt{3}x}{\sqrt{3}}=x$，$AD=\frac{DE}{\sin 60°}=\frac{\sqrt{3}x}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2x$.
∵ $AE+BE=AB=2\sqrt{3}$，
∴ $x+5x=2\sqrt{3}$，解得 $x=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴ $AD=2x=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴ $CD=AC-AD=2\sqrt{3}-\frac{2\sqrt{3}}{3}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
故选 B.
【答案】B
【知识点】
等边三角形的性质，锐角三角函数，解直角三角形
【点评】
本题的解题关键是通过作垂线构造直角三角形，将三角函数与等边三角形的性质结合，通过设未知数列方程求解线段长度，是几何与代数结合的典型基础题，能有效考查三角函数的应用能力。
【难度系数】
0.6
已知∠ABD的正切值，解题时首先需要将该角置于直角三角形中，因此可过点D作AB的垂线构造直角三角形。再结合等边三角形∠A=60°的性质，分别在两个直角三角形中用同一个未知数表示相关线段的长度，结合AB的总长度列方程求出未知数，最后通过AC与AD的差即可求得CD的长度。
【解析】
如图
，过点 $D$ 作 $DE ⊥ AB$，垂足为 $E$.∵ $△ ABC$ 是等边三角形，
∴ $AB=BC=AC=2\sqrt{3}$，$∠ A=60°$，
在 $\mathrm{Rt}△ DEB$ 中，$\tan∠ ABD=\frac{DE}{BE}=\frac{\sqrt{3}}{5}$，
∴ 设 $DE=\sqrt{3}x,BE=5x$，
在 $\mathrm{Rt}△ ADE$ 中，$AE=\frac{DE}{\tan 60°}=\frac{\sqrt{3}x}{\sqrt{3}}=x$，$AD=\frac{DE}{\sin 60°}=\frac{\sqrt{3}x}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2x$.
∵ $AE+BE=AB=2\sqrt{3}$，
∴ $x+5x=2\sqrt{3}$，解得 $x=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴ $AD=2x=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴ $CD=AC-AD=2\sqrt{3}-\frac{2\sqrt{3}}{3}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
故选 B.
【答案】B
【知识点】
等边三角形的性质，锐角三角函数，解直角三角形
【点评】
本题的解题关键是通过作垂线构造直角三角形，将三角函数与等边三角形的性质结合，通过设未知数列方程求解线段长度，是几何与代数结合的典型基础题，能有效考查三角函数的应用能力。
【难度系数】
0.6
8[2025黑龙江大庆期中]如图,点A在双曲线$y=\frac{6}{x}$上,点B在双曲线$y=\frac{k}{x}$上,$AB// x$轴,过点A作$AD⊥ x$轴于D,连接OB,与AD相交于点C,若$AB=2OD$,则k的值为 (
A.6
B.12
C.8
D.18
D
)A.6
B.12
C.8
D.18
答案
8. D 【解析】如图
，过点 $B$ 作 $BE ⊥ x$ 轴于 $E$，延长线段 $BA$，交 $y$ 轴于 $F$，则四边形 $AFOD$ 是矩形，四边形 $OEBF$ 是矩形，∴ $AF = OD$，$BF = OE$，
∴ $AB = DE$.
∵ 点 $A$ 在双曲线 $y=\frac{6}{x}$ 上，
∴ $S_{\mathrm{矩形}AFOD}=6$，同理 $S_{\mathrm{矩形}OEBF}=k$.
∵ $AB = 2OD$，
∴ $DE = 2OD$，
∴ $S_{\mathrm{矩形}OEBF}=3S_{\mathrm{矩形}AFOD}=18$，
∴ $k=18$. 故选 D.
解析
【分析】
遇到反比例函数图象上的点与坐标轴垂线相关的问题，首先想到反比例函数k的几何意义：过第一象限双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积等于k的值。本题中AB平行于x轴，说明A、B两点纵坐标相等，我们可以通过作辅助线构造分别对应两个反比例函数的矩形，再结合AB=2OD的条件找到两个矩形的边长关系，进而得到面积的倍数关系，即可求出k的值。
【解析】
如图，过点$B$作$BE ⊥ x$轴于$E$，延长线段$BA$，交$y$轴于$F$。
∵ $AB//x$轴，$AD⊥x$轴，$BE⊥x$轴，$BF⊥y$轴，
∴ 四边形$AFOD$是矩形，四边形$OEBF$是矩形，
∴ $AF = OD$，$BF = OE$，$AB = DE$。
∵ 点$A$在双曲线$y=\frac{6}{x}$上，根据反比例函数k的几何意义，得$S_{\mathrm{矩形}AFOD}=6$；
同理，点$B$在双曲线$y=\frac{k}{x}$上，得$S_{\mathrm{矩形}OEBF}=k$。
已知$AB = 2OD$，
∴ $DE = 2OD$，
∴ $OE = OD + DE = OD + 2OD = 3OD$。
又
∵ 矩形$AFOD$和矩形$OEBF$的宽相等（都等于点$A$的纵坐标），
∴ $S_{\mathrm{矩形}OEBF}=3S_{\mathrm{矩形}AFOD}=3×6=18$，
∴ $k=18$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数k的几何意义，矩形的性质，坐标与图形性质
【点评】
本题是反比例函数的常考题型，解题核心是利用反比例函数k的几何意义，通过作辅助线构造矩形，结合线段的数量关系推导出两个矩形的面积倍数关系，熟练掌握k的几何意义就能顺利求解。
【难度系数】
0.6
遇到反比例函数图象上的点与坐标轴垂线相关的问题，首先想到反比例函数k的几何意义：过第一象限双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积等于k的值。本题中AB平行于x轴，说明A、B两点纵坐标相等，我们可以通过作辅助线构造分别对应两个反比例函数的矩形，再结合AB=2OD的条件找到两个矩形的边长关系，进而得到面积的倍数关系，即可求出k的值。
【解析】
如图
，过点$B$作$BE ⊥ x$轴于$E$，延长线段$BA$，交$y$轴于$F$。∵ $AB//x$轴，$AD⊥x$轴，$BE⊥x$轴，$BF⊥y$轴，
∴ 四边形$AFOD$是矩形，四边形$OEBF$是矩形，
∴ $AF = OD$，$BF = OE$，$AB = DE$。
∵ 点$A$在双曲线$y=\frac{6}{x}$上，根据反比例函数k的几何意义，得$S_{\mathrm{矩形}AFOD}=6$；
同理，点$B$在双曲线$y=\frac{k}{x}$上，得$S_{\mathrm{矩形}OEBF}=k$。
已知$AB = 2OD$，
∴ $DE = 2OD$，
∴ $OE = OD + DE = OD + 2OD = 3OD$。
又
∵ 矩形$AFOD$和矩形$OEBF$的宽相等（都等于点$A$的纵坐标），
∴ $S_{\mathrm{矩形}OEBF}=3S_{\mathrm{矩形}AFOD}=3×6=18$，
∴ $k=18$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数k的几何意义，矩形的性质，坐标与图形性质
【点评】
本题是反比例函数的常考题型，解题核心是利用反比例函数k的几何意义，通过作辅助线构造矩形，结合线段的数量关系推导出两个矩形的面积倍数关系，熟练掌握k的几何意义就能顺利求解。
【难度系数】
0.6
初中必刷题 数学九年级上册 HK
9 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$∠ A=30°$,$BC=2$,D为AC上任意一点,F为AB中点,连接BD,E在BD上,且满足$CD^2=DE· BD$,连接EF,CE,则EF的最小值为 (
A.$\sqrt{3}-1$
B.1
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$\frac{1}{2}$
(第9题图) (第10题图)
9 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$∠ A=30°$,$BC=2$,D为AC上任意一点,F为AB中点,连接BD,E在BD上,且满足$CD^2=DE· BD$,连接EF,CE,则EF的最小值为 (
A
)A.$\sqrt{3}-1$
B.1
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$\frac{1}{2}$
(第9题图) (第10题图)答案
9. A 【解析】在 $△ CED$ 和 $△ BDC$ 中，
∵ $CD^2 = DE · BD$，
∴ $\frac{CD}{DB} = \frac{DE}{DC}$.
∵ $∠ EDC = ∠ CDB$，
∴ $△ CDE ∽ △ BDC$，
∴ $∠ DEC = ∠ DCB = 90°$，
∴ $∠ BEC = 180° - ∠ DEC = 90°$. 如图
，取 $BC$ 中点 $Q$，连接 $FQ$，$EQ$，则 $EQ = \frac{1}{2}BC = 1$.∵ $F$ 为 $AB$ 中点，
∴ $FQ = \frac{1}{2}AC$. 在 $\mathrm{Rt}△ ACB$ 中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=30°$，$BC=2$，
∴ $AC = \frac{BC}{\tan 30°} = 2\sqrt{3}$，
∴ $FQ = \sqrt{3}$. 当且仅当 $E,F,Q$ 三点共线时，$EF$ 最小，
∴ $EF$ 的最小值为 $\sqrt{3}-1$. 故选 A.
解析
【分析】
首先从已知的等积式$CD^2=DE·BD$入手，将其转化为比例式，结合公共角可证明$△ CDE∽△ BDC$，推出$∠DEC=∠ACB=90°$，进而得到$∠BEC=90°$，可知点E在以BC为直径的圆上运动。要求EF的最小值，即求定点F到该圆上点的最短距离，取BC中点Q（即圆心），利用直角三角形斜边中线性质得半径EQ的长度，再由三角形中位线性质求出FQ的长度，当F、E、Q三点共线时EF最小，用FQ减去EQ即可得到最小值。
【解析】
在$△ CED$和$△ BDC$中，
∵ $CD^2 = DE · BD$，
∴ $\frac{CD}{DB} = \frac{DE}{DC}$，
又
∵ $∠ EDC = ∠ CDB$，
∴ $△ CDE ∽ △ BDC$，
∴ $∠ DEC = ∠ DCB = 90°$，
∴ $∠ BEC = 180° - ∠ DEC = 90°$。
如图，取$BC$中点$Q$，连接$FQ$，$EQ$，
∵ $∠BEC=90°$，$Q$为$BC$中点，
∴ $EQ = \frac{1}{2}BC = 1$。
∵ $F$为$AB$中点，$Q$为$BC$中点，
∴ $FQ$是$△ ABC$的中位线，$FQ = \frac{1}{2}AC$。
在$\mathrm{Rt}△ ACB$中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=30°$，$BC=2$，
∴ $AC = \frac{BC}{\tan 30°} = 2\sqrt{3}$，
∴ $FQ = \frac{1}{2}×2\sqrt{3}=\sqrt{3}$。
根据两点之间线段最短，当且仅当$F、E、Q$三点共线时，$EF$取得最小值，
∴ $EF$的最小值为$\sqrt{3}-1$。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形判定与性质，直角三角形性质，几何最值计算
【点评】
本题综合了相似三角形、直角三角形、最短路径的相关知识，解题的核心是通过相似推导确定点E的运动轨迹，再结合几何性质求解最值，能很好地考查学生的逻辑推理能力和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.3
首先从已知的等积式$CD^2=DE·BD$入手，将其转化为比例式，结合公共角可证明$△ CDE∽△ BDC$，推出$∠DEC=∠ACB=90°$，进而得到$∠BEC=90°$，可知点E在以BC为直径的圆上运动。要求EF的最小值，即求定点F到该圆上点的最短距离，取BC中点Q（即圆心），利用直角三角形斜边中线性质得半径EQ的长度，再由三角形中位线性质求出FQ的长度，当F、E、Q三点共线时EF最小，用FQ减去EQ即可得到最小值。
【解析】
在$△ CED$和$△ BDC$中，
∵ $CD^2 = DE · BD$，
∴ $\frac{CD}{DB} = \frac{DE}{DC}$，
又
∵ $∠ EDC = ∠ CDB$，
∴ $△ CDE ∽ △ BDC$，
∴ $∠ DEC = ∠ DCB = 90°$，
∴ $∠ BEC = 180° - ∠ DEC = 90°$。
如图
，取$BC$中点$Q$，连接$FQ$，$EQ$，∵ $∠BEC=90°$，$Q$为$BC$中点，
∴ $EQ = \frac{1}{2}BC = 1$。
∵ $F$为$AB$中点，$Q$为$BC$中点，
∴ $FQ$是$△ ABC$的中位线，$FQ = \frac{1}{2}AC$。
在$\mathrm{Rt}△ ACB$中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=30°$，$BC=2$，
∴ $AC = \frac{BC}{\tan 30°} = 2\sqrt{3}$，
∴ $FQ = \frac{1}{2}×2\sqrt{3}=\sqrt{3}$。
根据两点之间线段最短，当且仅当$F、E、Q$三点共线时，$EF$取得最小值，
∴ $EF$的最小值为$\sqrt{3}-1$。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形判定与性质，直角三角形性质，几何最值计算
【点评】
本题综合了相似三角形、直角三角形、最短路径的相关知识，解题的核心是通过相似推导确定点E的运动轨迹，再结合几何性质求解最值，能很好地考查学生的逻辑推理能力和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.3
