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1.计算$\frac{n}{m} · \frac{m}{n^2}$的结果是 （
A.$\frac{mn}{mn^2}$
B.$\frac{m}{n}$
C.$\frac{1}{n}$
D.$n$
C
）A.$\frac{mn}{mn^2}$
B.$\frac{m}{n}$
C.$\frac{1}{n}$
D.$n$
答案
1.C
解析
【分析】
本题考查分式的乘法运算，解题思路如下：首先回忆分式乘法的运算规则：分式乘分式，分子相乘的积作为积的分子，分母相乘的积作为积的分母；得到乘积后，再约去分子分母的公因式，将结果化为最简分式即可。也可以在相乘前先约去两个分式分子、分母的公因式，再计算更简便。
【解析】
根据分式乘法法则计算：
$\frac{n}{m} · \frac{m}{n^2} = \frac{n × m}{m × n^2}$
约去分子和分母的公因式$m$和$n$，可得：
$\frac{n × m}{m × n^2} = \frac{1}{n}$
【答案】
C
【知识点】
分式的乘法法则，分式的约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，主要考查分式乘法的基本运算规则和约分的方法，熟练掌握相关运算法则即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
本题考查分式的乘法运算，解题思路如下：首先回忆分式乘法的运算规则：分式乘分式，分子相乘的积作为积的分子，分母相乘的积作为积的分母；得到乘积后，再约去分子分母的公因式，将结果化为最简分式即可。也可以在相乘前先约去两个分式分子、分母的公因式，再计算更简便。
【解析】
根据分式乘法法则计算：
$\frac{n}{m} · \frac{m}{n^2} = \frac{n × m}{m × n^2}$
约去分子和分母的公因式$m$和$n$，可得：
$\frac{n × m}{m × n^2} = \frac{1}{n}$
【答案】
C
【知识点】
分式的乘法法则，分式的约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，主要考查分式乘法的基本运算规则和约分的方法，熟练掌握相关运算法则即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
2.(江西中考)计算$(-a)^2 · \frac{b}{a^2}$的结果为 （
A.$b$
B.$-b$
C.$ab$
D.$\frac{b}{a}$
A
）A.$b$
B.$-b$
C.$ab$
D.$\frac{b}{a}$
答案
2.A
解析
【分析】
解题时先遵循运算顺序，先算乘方，再算分式乘法。首先回忆负数的偶次幂是正数，先化简$(-a)^2$，再将化简后的结果和后面的分式相乘，约去分子分母的公因式就能得到最终结果，要注意避免出现符号计算错误，不要误把$(-a)^2$算成$-a^2$。
【解析】
第一步：先计算乘方运算：$(-a)^2 = a^2$（负数的偶次幂为正数，平方后底数的负号消失）；
第二步：代入原式进行分式乘法运算：原式$=a^2 · \frac{b}{a^2}$；
第三步：约去分子分母的公因式$a^2$（分式有意义时$a≠0$，满足约分条件），计算得结果为$b$。
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
幂的运算、分式乘法、分式约分
【点评】
本题属于基础运算题，将幂的运算和分式乘法结合考查，核心是掌握偶次幂的符号规律和分式约分的规则，做题时注意符号计算即可，是分式乘除章节的常见基础考点。
【难度系数】
0.8
解题时先遵循运算顺序，先算乘方，再算分式乘法。首先回忆负数的偶次幂是正数，先化简$(-a)^2$，再将化简后的结果和后面的分式相乘，约去分子分母的公因式就能得到最终结果，要注意避免出现符号计算错误，不要误把$(-a)^2$算成$-a^2$。
【解析】
第一步：先计算乘方运算：$(-a)^2 = a^2$（负数的偶次幂为正数，平方后底数的负号消失）；
第二步：代入原式进行分式乘法运算：原式$=a^2 · \frac{b}{a^2}$；
第三步：约去分子分母的公因式$a^2$（分式有意义时$a≠0$，满足约分条件），计算得结果为$b$。
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
幂的运算、分式乘法、分式约分
【点评】
本题属于基础运算题，将幂的运算和分式乘法结合考查，核心是掌握偶次幂的符号规律和分式约分的规则，做题时注意符号计算即可，是分式乘除章节的常见基础考点。
【难度系数】
0.8
3.计算：
(1)(吉林中考)$\frac{y}{2x^2} · \frac{x}{y} =$
(2)$\frac{x}{x - y} · \frac{x^2 - y^2}{x} =$
(1)(吉林中考)$\frac{y}{2x^2} · \frac{x}{y} =$
$\frac{1}{2x}$
；(2)$\frac{x}{x - y} · \frac{x^2 - y^2}{x} =$
$x+y$
。答案
3.(1)$\frac{1}{2x}$ (2)$x+y$
解析
【分析】
这两道题均为分式乘法运算，解题遵循分式乘法的运算逻辑：首先观察式子中分子、分母的公因式，能约分的先约分，若分子分母含有多项式，先对多项式因式分解再约分，最后用约分后分子的乘积作积的分子，分母的乘积作积的分母，结果化为最简形式。第(1)题分子分母都是单项式，直接找公因式约分即可；第(2)题第二个分式的分子是多项式，先利用平方差公式因式分解，再约分计算。
【解析】
(1) 根据分式乘法法则：
原式=$\frac{y · x}{2x^2 · y}$
约去分子分母的公因式$x$和$y$，可得：
原式=$\frac{1}{2x}$
(2) 先对$x^2-y^2$因式分解，由平方差公式得$x^2-y^2=(x-y)(x+y)$，代入原式：
原式=$\frac{x}{x-y} · \frac{(x-y)(x+y)}{x}$
约去分子分母的公因式$x$和$(x-y)$，可得：
原式=$x+y$
【答案】
(1)$\frac{1}{2x}$；(2)$x+y$
【知识点】
分式的乘法运算，因式分解，分式约分
【点评】
本题属于分式乘法的基础运算题，运算时优先约分再计算能简化运算过程，遇到含多项式的分式时，先对多项式因式分解再约分，能有效降低运算错误率。
【难度系数】
0.9
这两道题均为分式乘法运算，解题遵循分式乘法的运算逻辑：首先观察式子中分子、分母的公因式，能约分的先约分，若分子分母含有多项式，先对多项式因式分解再约分，最后用约分后分子的乘积作积的分子，分母的乘积作积的分母，结果化为最简形式。第(1)题分子分母都是单项式，直接找公因式约分即可；第(2)题第二个分式的分子是多项式，先利用平方差公式因式分解，再约分计算。
【解析】
(1) 根据分式乘法法则：
原式=$\frac{y · x}{2x^2 · y}$
约去分子分母的公因式$x$和$y$，可得：
原式=$\frac{1}{2x}$
(2) 先对$x^2-y^2$因式分解，由平方差公式得$x^2-y^2=(x-y)(x+y)$，代入原式：
原式=$\frac{x}{x-y} · \frac{(x-y)(x+y)}{x}$
约去分子分母的公因式$x$和$(x-y)$，可得：
原式=$x+y$
【答案】
(1)$\frac{1}{2x}$；(2)$x+y$
【知识点】
分式的乘法运算，因式分解，分式约分
【点评】
本题属于分式乘法的基础运算题，运算时优先约分再计算能简化运算过程，遇到含多项式的分式时，先对多项式因式分解再约分，能有效降低运算错误率。
【难度系数】
0.9
4.计算:
(1) $-\dfrac{2x^3 z}{9y^2} · \dfrac{3y^2}{4x z^2}$；
(2)(天门中考) $\dfrac{4a + 4b}{5ab} · \dfrac{15a^2 b}{a^2 - b^2}$；
(3) $\dfrac{a^2 - 4a + 4}{a^2 + 2a + 1} · \dfrac{a + 1}{a^2 - 4}$。
(1) $-\dfrac{2x^3 z}{9y^2} · \dfrac{3y^2}{4x z^2}$；
(2)(天门中考) $\dfrac{4a + 4b}{5ab} · \dfrac{15a^2 b}{a^2 - b^2}$；
(3) $\dfrac{a^2 - 4a + 4}{a^2 + 2a + 1} · \dfrac{a + 1}{a^2 - 4}$。
答案
4.(1)原式$=-\frac{x^2}{6z}$ (2)原式$=\frac{12a}{a-b}$ (3)原式$=\frac{a-2}{(a+1)(a+2)}$
解析
【分析】
分式乘法的解题思路可分为两类：①若分子、分母是单项式，先确定运算符号，再将系数、同底数幂分别对应运算，最后约去公因式得到最简结果；②若分子、分母含多项式，先对多项式进行因式分解，再按照“分子相乘的积作新分子，分母相乘的积作新分母”的规则计算，计算过程中优先约分可简化运算，最终结果需化为最简分式或整式。
【解析】
(1) 原式$=-\dfrac{2x^3 z · 3y^2}{9y^2 · 4x z^2}$
约去分子分母的公因式$6xy^2 z$，可得：
$=-\dfrac{x^2}{6z}$
(2) 先对多项式因式分解：$4a+4b=4(a+b)$，$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，代入原式得：
原式$=\dfrac{4(a+b)}{5ab} · \dfrac{15a^2 b}{(a+b)(a-b)}$
约去公因式$5ab(a+b)$，可得：
$=\dfrac{4× 3a}{a-b}$
$=\dfrac{12a}{a-b}$
(3) 先对多项式因式分解：$a^2-4a+4=(a-2)^2$，$a^2+2a+1=(a+1)^2$，$a^2-4=(a+2)(a-2)$，代入原式得：
原式$=\dfrac{(a-2)^2}{(a+1)^2} · \dfrac{a+1}{(a+2)(a-2)}$
约去公因式$(a+1)(a-2)$，可得：
$=\dfrac{a-2}{(a+1)(a+2)}$
【答案】
(1)$-\dfrac{x^2}{6z}$；(2)$\dfrac{12a}{a-b}$；(3)$\dfrac{a-2}{(a+1)(a+2)}$
【知识点】
分式的乘法、因式分解、约分
【点评】
本题属于分式乘法的基础运算题，解题关键是正确对多项式因式分解，约分要彻底，运算过程中注意符号不要出错，最终结果必须为最简形式。
【难度系数】
0.7
分式乘法的解题思路可分为两类：①若分子、分母是单项式，先确定运算符号，再将系数、同底数幂分别对应运算，最后约去公因式得到最简结果；②若分子、分母含多项式，先对多项式进行因式分解，再按照“分子相乘的积作新分子，分母相乘的积作新分母”的规则计算，计算过程中优先约分可简化运算，最终结果需化为最简分式或整式。
【解析】
(1) 原式$=-\dfrac{2x^3 z · 3y^2}{9y^2 · 4x z^2}$
约去分子分母的公因式$6xy^2 z$，可得：
$=-\dfrac{x^2}{6z}$
(2) 先对多项式因式分解：$4a+4b=4(a+b)$，$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，代入原式得：
原式$=\dfrac{4(a+b)}{5ab} · \dfrac{15a^2 b}{(a+b)(a-b)}$
约去公因式$5ab(a+b)$，可得：
$=\dfrac{4× 3a}{a-b}$
$=\dfrac{12a}{a-b}$
(3) 先对多项式因式分解：$a^2-4a+4=(a-2)^2$，$a^2+2a+1=(a+1)^2$，$a^2-4=(a+2)(a-2)$，代入原式得：
原式$=\dfrac{(a-2)^2}{(a+1)^2} · \dfrac{a+1}{(a+2)(a-2)}$
约去公因式$(a+1)(a-2)$，可得：
$=\dfrac{a-2}{(a+1)(a+2)}$
【答案】
(1)$-\dfrac{x^2}{6z}$；(2)$\dfrac{12a}{a-b}$；(3)$\dfrac{a-2}{(a+1)(a+2)}$
【知识点】
分式的乘法、因式分解、约分
【点评】
本题属于分式乘法的基础运算题，解题关键是正确对多项式因式分解，约分要彻底，运算过程中注意符号不要出错，最终结果必须为最简形式。
【难度系数】
0.7
5.计算:
(1)$\frac{a^2}{a-3} ÷ \frac{3a}{3-a}=$
(2)$\frac{x^2 -1}{x^2 -2x +1} ÷ \frac{x+1}{2x -2}=$
(1)$\frac{a^2}{a-3} ÷ \frac{3a}{3-a}=$
$-\frac{a}{3}$
;(2)$\frac{x^2 -1}{x^2 -2x +1} ÷ \frac{x+1}{2x -2}=$
$2$
.答案
5.(1)$-\frac{a}{3}$ (2)2
解析
【分析】
解决分式除法运算题的核心思路是：先根据分式除法法则，将除法转化为乘法（除以一个分式等于乘这个分式的倒数），再对分子、分母中的多项式进行因式分解，注意互为相反数的因式变形时的符号处理，最后约去所有公因式得到最简结果。第(1)题转换除法为乘法后，注意3-a和a-3互为相反数，变形时要添加负号，再约去公因式即可；第(2)题先对每个分式的分子、分母因式分解，再转换除法为乘法，约去公因式即可得到结果。
【解析】
(1) 根据分式除法法则，将除法转化为乘法：
$\frac{a^2}{a-3} ÷ \frac{3a}{3-a} = \frac{a^2}{a-3} × \frac{3-a}{3a}$
将$3-a$变形为$-(a-3)$，代入得：
$=\frac{a^2}{a-3} × \frac{-(a-3)}{3a}$
约去公因式$a-3$和$a$（$a≠0$且$a≠3$），得：
$=-\frac{a}{3}$
(2) 先对各部分因式分解：
$x^2-1=(x+1)(x-1)$，$x^2-2x+1=(x-1)^2$，$2x-2=2(x-1)$
代入原式后转换除法为乘法：
$\frac{x^2 -1}{x^2 -2x +1} ÷ \frac{x+1}{2x -2} = \frac{(x+1)(x-1)}{(x-1)^2} × \frac{2(x-1)}{x+1}$
约去公因式$x+1$、$(x-1)$（$x≠±1$），得：
$=2$
【答案】
(1)$-\frac{a}{3}$；(2)$2$
【知识点】
分式的乘除运算，因式分解，分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，解题时需注意两个易错点：一是除法转乘法时要正确写出除式的倒数，二是互为相反数的因式变形时不要漏写负号，同时要保证因式分解准确，才能彻底约分，运算时还要注意隐含的分母不为0的条件。
【难度系数】
0.8
解决分式除法运算题的核心思路是：先根据分式除法法则，将除法转化为乘法（除以一个分式等于乘这个分式的倒数），再对分子、分母中的多项式进行因式分解，注意互为相反数的因式变形时的符号处理，最后约去所有公因式得到最简结果。第(1)题转换除法为乘法后，注意3-a和a-3互为相反数，变形时要添加负号，再约去公因式即可；第(2)题先对每个分式的分子、分母因式分解，再转换除法为乘法，约去公因式即可得到结果。
【解析】
(1) 根据分式除法法则，将除法转化为乘法：
$\frac{a^2}{a-3} ÷ \frac{3a}{3-a} = \frac{a^2}{a-3} × \frac{3-a}{3a}$
将$3-a$变形为$-(a-3)$，代入得：
$=\frac{a^2}{a-3} × \frac{-(a-3)}{3a}$
约去公因式$a-3$和$a$（$a≠0$且$a≠3$），得：
$=-\frac{a}{3}$
(2) 先对各部分因式分解：
$x^2-1=(x+1)(x-1)$，$x^2-2x+1=(x-1)^2$，$2x-2=2(x-1)$
代入原式后转换除法为乘法：
$\frac{x^2 -1}{x^2 -2x +1} ÷ \frac{x+1}{2x -2} = \frac{(x+1)(x-1)}{(x-1)^2} × \frac{2(x-1)}{x+1}$
约去公因式$x+1$、$(x-1)$（$x≠±1$），得：
$=2$
【答案】
(1)$-\frac{a}{3}$；(2)$2$
【知识点】
分式的乘除运算，因式分解，分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，解题时需注意两个易错点：一是除法转乘法时要正确写出除式的倒数，二是互为相反数的因式变形时不要漏写负号，同时要保证因式分解准确，才能彻底约分，运算时还要注意隐含的分母不为0的条件。
【难度系数】
0.8
6.(教材P147例2变式)计算：
(1)$\frac{12x^2 y}{5z^2} ÷ \frac{4xy^2}{15z^2}$；
(2)$\frac{2x - 6}{x^2 - 4x + 4} ÷ \frac{x - 3}{x^2 - 4}$.
(1)$\frac{12x^2 y}{5z^2} ÷ \frac{4xy^2}{15z^2}$；
(2)$\frac{2x - 6}{x^2 - 4x + 4} ÷ \frac{x - 3}{x^2 - 4}$.
答案
6.(1)原式$=\frac{9x}{y}$ (2)原式$=\frac{2x+4}{x-2}$
解析
【分析】
解决分式除法运算的核心思路是先将除法转化为乘法，再通过约分化简得到结果：①如果分式的分子分母均为单项式，直接转化为乘法后，分别对系数、相同字母的幂次约分即可；②如果分子分母含有多项式，先对多项式进行因式分解，再将除法转化为乘法，约去公因式，最终化简为最简分式。
【解析】
(1) 先将除法转化为乘以除式的倒数：
原式$=\frac{12x^2 y}{5z^2} × \frac{15z^2}{4xy^2}$
分别约分系数与同底数幂：
系数部分：$\frac{12×15}{5×4}=9$，
字母部分：$\frac{x^2}{x}=x$，$\frac{y}{y^2}=\frac{1}{y}$，$z^2$相互约去，
因此化简得$\frac{9x}{y}$。
(2) 先对各多项式因式分解：
$2x-6=2(x-3)$，$x^2-4x+4=(x-2)^2$，$x^2-4=(x+2)(x-2)$，
代入原式并将除法转化为乘法：
原式$=\frac{2(x-3)}{(x-2)^2} × \frac{(x+2)(x-2)}{x-3}$
约去公因式$(x-3)$和$(x-2)$，得：
$\frac{2(x+2)}{x-2}=\frac{2x+4}{x-2}$。
【答案】
(1)$\frac{9x}{y}$；(2)$\frac{2x+4}{x-2}$
【知识点】
1.分式乘除法则 2.因式分解 3.分式约分
【点评】
本题是分式乘除的基础运算题，解题的关键是牢记分式除法的运算规则，遇到多项式要先因式分解再约分，注意约分要彻底，最终结果需为最简分式。
【难度系数】
0.8
解决分式除法运算的核心思路是先将除法转化为乘法，再通过约分化简得到结果：①如果分式的分子分母均为单项式，直接转化为乘法后，分别对系数、相同字母的幂次约分即可；②如果分子分母含有多项式，先对多项式进行因式分解，再将除法转化为乘法，约去公因式，最终化简为最简分式。
【解析】
(1) 先将除法转化为乘以除式的倒数：
原式$=\frac{12x^2 y}{5z^2} × \frac{15z^2}{4xy^2}$
分别约分系数与同底数幂：
系数部分：$\frac{12×15}{5×4}=9$，
字母部分：$\frac{x^2}{x}=x$，$\frac{y}{y^2}=\frac{1}{y}$，$z^2$相互约去，
因此化简得$\frac{9x}{y}$。
(2) 先对各多项式因式分解：
$2x-6=2(x-3)$，$x^2-4x+4=(x-2)^2$，$x^2-4=(x+2)(x-2)$，
代入原式并将除法转化为乘法：
原式$=\frac{2(x-3)}{(x-2)^2} × \frac{(x+2)(x-2)}{x-3}$
约去公因式$(x-3)$和$(x-2)$，得：
$\frac{2(x+2)}{x-2}=\frac{2x+4}{x-2}$。
【答案】
(1)$\frac{9x}{y}$；(2)$\frac{2x+4}{x-2}$
【知识点】
1.分式乘除法则 2.因式分解 3.分式约分
【点评】
本题是分式乘除的基础运算题，解题的关键是牢记分式除法的运算规则，遇到多项式要先因式分解再约分，注意约分要彻底，最终结果需为最简分式。
【难度系数】
0.8
7. 情境题 现实生活 甲、乙两个工程队合修一条公路，已知甲工程队每天修$(a^2 - 4)$米，乙工程队每天修$(a - 2)^2$米（其中$a＞2$），则甲工程队修900米所用时间是乙工程队修600米所用时间的多少倍？
答案
7.$\frac{900}{a^2-4} ÷ \frac{600}{(a-2)^2} = \frac{3a-6}{2a+4}$，即甲工程队修900米所用时间是乙工程队修600米所用时间的$\frac{3a-6}{2a+4}$倍
解析
【分析】
解题时首先回忆工程问题的基本数量关系：工作时间=工作总量÷工作效率。第一步先分别表示出甲工程队修900米的工作时间、乙工程队修600米的工作时间；第二步求甲的时间是乙的多少倍，用甲的时间除以乙的时间即可；第三步对分式的分子分母因式分解（$a^2-4$用平方差公式分解为$(a+2)(a-2)$），再将分式除法转化为乘法，最后约分得到最简结果即可。
【解析】
1. 分别表示两个工程队的工作时间：
甲工程队修900米所用时间为：$\frac{900}{a^2 - 4}$天
乙工程队修600米所用时间为：$\frac{600}{(a - 2)^2}$天
2. 计算倍数关系，即两个时间相除：
先对$a^2-4$因式分解：$a^2-4=(a+2)(a-2)$，再按照分式除法法则计算：
$\begin{aligned}\frac{900}{a^2 - 4} ÷ \frac{600}{(a - 2)^2} &= \frac{900}{(a+2)(a-2)} × \frac{(a-2)^2}{600} \\&= \frac{900 · (a-2)^2}{600 · (a+2)(a-2)} \\&= \frac{3(a-2)}{2(a+2)} \\&= \frac{3a - 6}{2a + 4}\end{aligned}$
【答案】
甲工程队修900米所用时间是乙工程队修600米所用时间的$\frac{3a-6}{2a+4}$倍
【知识点】
分式乘除运算、因式分解、工程问题公式
【点评】
本题结合实际工程场景考查分式的运算，解题核心是先根据工程问题的基本公式正确列出对应时间的分式，再通过因式分解、约分完成分式的化简计算，运算过程中要注意分式除法转为乘法时，要乘除式的倒数，不要颠倒分子分母的位置。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆工程问题的基本数量关系：工作时间=工作总量÷工作效率。第一步先分别表示出甲工程队修900米的工作时间、乙工程队修600米的工作时间；第二步求甲的时间是乙的多少倍，用甲的时间除以乙的时间即可；第三步对分式的分子分母因式分解（$a^2-4$用平方差公式分解为$(a+2)(a-2)$），再将分式除法转化为乘法，最后约分得到最简结果即可。
【解析】
1. 分别表示两个工程队的工作时间：
甲工程队修900米所用时间为：$\frac{900}{a^2 - 4}$天
乙工程队修600米所用时间为：$\frac{600}{(a - 2)^2}$天
2. 计算倍数关系，即两个时间相除：
先对$a^2-4$因式分解：$a^2-4=(a+2)(a-2)$，再按照分式除法法则计算：
$\begin{aligned}\frac{900}{a^2 - 4} ÷ \frac{600}{(a - 2)^2} &= \frac{900}{(a+2)(a-2)} × \frac{(a-2)^2}{600} \\&= \frac{900 · (a-2)^2}{600 · (a+2)(a-2)} \\&= \frac{3(a-2)}{2(a+2)} \\&= \frac{3a - 6}{2a + 4}\end{aligned}$
【答案】
甲工程队修900米所用时间是乙工程队修600米所用时间的$\frac{3a-6}{2a+4}$倍
【知识点】
分式乘除运算、因式分解、工程问题公式
【点评】
本题结合实际工程场景考查分式的运算，解题核心是先根据工程问题的基本公式正确列出对应时间的分式，再通过因式分解、约分完成分式的化简计算，运算过程中要注意分式除法转为乘法时，要乘除式的倒数，不要颠倒分子分母的位置。
【难度系数】
0.7
