9. [2025山东中考]如图,在平面直角坐标系中,A,C两点在坐标轴上,四边形OABC是面积为4的正方形.若函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象经过点B,则满足$y≥2$的x的取值范围为 ()


A.$0＜x≤2$
B.$x≥2$
C.$0＜x≤4$
D.$x≥4$

设点B的坐标为$(b,b)$,
∵ 四边形OABC是面积为4的正方形,
∴ $b^2=4$,解得b=2(负值舍去),
∴ 点B的坐标为$(2,2)$.
∵ 当x＞0时,y随x的增大而减小,
∴ 满足y≥2的x的取值范围为0 ＜ x ≤ 2.

10. 一题多解 教材P57T5变式 函数$y=\frac{k}{x}$与$y=-kx^2 -k$（$k≠0$）在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）

通解 当k＞0时,-k＜0,所以反比例函数的图象位于第一、三象限,二次函数的图象开口向下,且与y轴的交点位于原点下方,故选项B错误,选项D正确;当k＜0时,-k＞0,所以反比例函数的图象位于第二、四象限,二次函数的图象开口向上,且与y轴的交点位于原点上方,故选项A,C错误.
另解 对于选项A,C,函数$y=\frac{k}{x}$的图象位于第二、四象限,所以k＜0,此时函数$y=-kx^2 -k$的图象应开口向上,故选项A,C错误;对于选项B,D,$y=\frac{k}{x}$的图象位于第一、三象限,所以k＞0,此时$y=-kx^2 -k$的图象应开口向下,故选项B错误,选项D正确.

11. [2026北京四中段考]反比例函数$y_1=\frac{k_1}{x}(x＞0)$，$y_2=\frac{k_2}{x}(x＞0)$，$y_3=\frac{k_3}{x}(x＜0)$在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则$k_1,k_2,k_3$的大小关系为.(用“＜”连接)

如图,
∵ 反比例函数$y_3=\frac{k_3}{x}(x＜0)$的图象位于第三象限,
∴ $k_3＞0$;作直线x=1分别与反比例函数$y_1=\frac{k_1}{x}(x＞0)$,$y_2=\frac{k_2}{x}(x＞0)$的图象相交,观察交点的纵坐标可知,$k_1 ＜ k_2 ＜ 0$,
∴ $k_1 ＜ k_2 ＜ k_3$.(数形结合思想)

12. ▶一题多解 在平面直角坐标系中,反比例函数$y_1=\dfrac{1}{x}(x＞0)$与$y_2=\dfrac{k}{x}(x＞0)$的图象如图所示,点C是y轴上一点,直线AB平行于y轴,且分别与函数$y_1,y_2$的图象交于点A,B,连接AC,BC.若$△ ABC$的面积为$\dfrac{3}{2}$,则$k=$.

通解 连接OA,OB,设直线AB与x轴交于点P,则$S_{△BOP}=\frac{1}{2}×k=\frac{k}{2}$,$S_{△AOP}=\frac{1}{2}×1=\frac{1}{2}$,
∴ $S_{△ABC}=S_{△ABO}=S_{△BOP}-S_{△AOP}=\frac{k}{2}-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$,解得k=4.
另解 设直线AB与x轴的交点为P(m,0),则OP=m,$PA=\frac{1}{m}$,$PB=\frac{k}{m}$,
∴ $AB=PB-PA=\frac{k}{m}-\frac{1}{m}=\frac{k-1}{m}$.
∵ $S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB·OP$,
∴ $\frac{1}{2}·\frac{k-1}{m}·m=\frac{3}{2}$,解得k=4.

13. 新考法 [2024青岛中考] 如图，点$A_1,A_2,A_3,\dots,A_n,A_{n+1}$为反比例函数$y=\frac{k}{x}$$(k＞0,x＞0)$图象上的点，其横坐标依次为$1,2,3,\dots,n,n+1$. 过点$A_1,A_2,A_3,\dots,A_n$作$x$轴的垂线，垂足分别为$H_1,H_2,H_3,\dots,H_n$；过点$A_2$作$A_2B_1 ⊥ A_1H_1$于点$B_1$，过点$A_3$作$A_3B_2 ⊥ A_2H_2$于点$B_2,\dots$,过点$A_{n+1}$作$A_{n+1}B_n ⊥ A_nH_n$于点$B_n$. 记$△ A_1B_1A_2$的面积为$S_1$，$△ A_2B_2A_3$的面积为$S_2,\dots,△ A_nB_nA_{n+1}$的面积为$S_n$.

(1)当$k=2$时，点$B_1$的坐标为________，
$S_1 + S_2 = \_\_\_\_\_\_$，
$S_1 + S_2 + S_3 = \_\_\_\_\_\_$，
$S_1 + S_2 + S_3 + \dots + S_n = \_\_\_\_\_\_$（用含$n$的代数式表示）；
(2)当$k=3$时，$S_1 + S_2 + S_3 + \dots + S_n = \_\_\_\_\_\_$（用含$n$的代数式表示）.

(1)$(1,1)$；$\frac{2}{3}$；$\frac{3}{4}$；$\frac{n}{n+1}$；(2)$\frac{3n}{2n+2}$
(1)当k=2时,$y=\frac{2}{x}$,当x=1时,y=2;当x=2时,y=1,
∴ $A_1(1,2)$,$A_2(2,1)$,
∴ $A_1H_1=2$,$A_2H_2=1$,易知四边形$B_1H_1H_2A_2$是矩形,
∴ $B_1H_1=A_2H_2=1$,$A_2B_1=2-1=1$,
∴ $B_1(1,1)$,$A_1B_1=A_1H_1-B_1H_1=2-1$,
∴ $S_1=\frac{1}{2}A_2B_1·A_1B_1=\frac{1}{2}×1×(2-1)$,同理,$S_2=\frac{1}{2}A_3B_2·A_2B_2=\frac{1}{2}×1×(1-\frac{2}{3})$,$S_3=\frac{1}{2}A_4B_3·A_3B_3=\frac{1}{2}×1×(\frac{2}{3}-\frac{2}{4})$,$\dots$,$S_n=\frac{1}{2}A_{n+1}B_n·A_nB_n=\frac{1}{2}×1×(\frac{2}{n}-\frac{2}{n+1})$,
∴ $S_1+S_2=\frac{1}{2}×1×(2-1+1-\frac{2}{3})=\frac{1}{2}×1×(2-\frac{2}{3})=\frac{2}{3}$;$S_1+S_2+S_3=\frac{1}{2}×1×(2-1+1-\frac{2}{3}+\frac{2}{3}-\frac{2}{4})=\frac{1}{2}×1×(2-\frac{2}{4})=\frac{3}{4}$;$\dots$;$S_1+S_2+S_3+\dots+S_n=\frac{1}{2}×1×(2-1+1-\frac{2}{3}+\frac{2}{3}-\frac{2}{4}+\dots+\frac{2}{n-1}-\frac{2}{n}+\frac{2}{n}-\frac{2}{n+1})=\frac{1}{2}×1×(2-\frac{2}{n+1})=\frac{n}{n+1}$.(2)当k=3时,同理可得$S_1+S_2+S_3+\dots+S_n=\frac{1}{2}×1×(3-\frac{3}{n+1})=\frac{3n}{2n+2}$.

14. 推理能力 函数$y=\frac{k}{x+a}$的图象可以由函数$y=\frac{k}{x}$的图象左右平移得到.
(1)将函数$y=\frac{1}{x}$的图象向右平移4个单位长度得到函数$y=\frac{1}{x+a}$的图象，则$a=$.
(2)给出关于函数$y=\frac{1}{x+a}$的性质:①图象关于点$(-a,0)$对称;②$y$随$x$的增大而减小;③图象关于直线$y=-x+a$对称;④$y$的取值范围为$y≠0$.其中说法正确的是(填写序号).
(3)根据(1)中$a$的值,写出不等式$\frac{1}{x+a}＞\frac{1}{x}$的解集:.

(1)-4
(2)①④
解法提示:函数$y=\frac{1}{x+a}$的图象可以看作是由函数$y=\frac{1}{x}$的图象向左平移$a(a＞0)$(或向右平移$|a|(a＜0)$)个单位长度得到的.逐项分析如下.
|序号|分析|正误|
| ---- | ---- | ---- |
|①|
∵ 函数$y=\frac{1}{x}$的图象的对称中心为点$(0,0)$,
∴ 函数$y=\frac{1}{x+a}$的图象的对称中心为点$(-a,0)$.|√|
|②|
∵ 对于函数$y=\frac{1}{x}$,当x＞0时,y随x的增大而减小,当x＜0时,y随x的增大而减小,
∴ 对于函数$y=\frac{1}{x+a}$,当x ＞ -a时,y随x的增大而减小,当x ＜ -a时,y随x的增大而减小.|×|
|③|
∵ 函数$y=\frac{1}{x}$的图象关于直线$y=-x$对称,
∴ 函数$y=\frac{1}{x+a}$的图象关于直线$y=-(x+a)=-x-a$对称.|×|
|④|易得函数$y=\frac{1}{x+a}$的图象与x轴无交点,故y≠0.|√|
(3)x ＜ 0或x ＞ 4
解法提示:由(1)可知函数$y=\frac{1}{x+a}$的表达式为$y=\frac{1}{x-4}$.画函数$y=\frac{1}{x-4}$和$y=\frac{1}{x}$的图象如图所示,由函数图象可知,当x ＜ 0或x ＞ 4时,$\frac{1}{x-4}＞\frac{1}{x}$.