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1. [2024 安徽中考]已知反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$与一次函数$y=2-x$的图象的一个交点的横坐标为3,则$k$的值为 (
A.$-3$
B.$-1$
C.$1$
D.$3$
A
)A.$-3$
B.$-1$
C.$1$
D.$3$
答案
将$x=3$代入$y=2-x$中,得$y=-1.∴$该交点的坐标为$(3,-1)$.将$(3,-1)$代入$y=\frac{k}{x}$中,得$k=3×(-1)= -3$.
2. [2025海南中考] 如图，在平面直角坐标系$xOy$中，一次函数$y_1 = kx + b$的图象与反比例函数$y_2 = \frac{m}{x}$的图象交于点$A(-1,-2), B(2,n)$，则不等式$kx + b ＞ \frac{m}{x}$的解集为 (
A.$x ＞ 2$
B.$x ＜ -1$
C.$-1 ＜ x ＜ 2$
D.$-1 ＜ x ＜ 0$或$x ＞ 2$
D
)A.$x ＞ 2$
B.$x ＜ -1$
C.$-1 ＜ x ＜ 2$
D.$-1 ＜ x ＜ 0$或$x ＞ 2$
答案
一次函数$y_1 = kx + b$的图象在反比例函数$y_2 = \frac{m}{x}$的图象上方的部分如图所示(加粗部分),故不等式$kx + b ＞ \frac{m}{x}$的解集为$-1 ＜ x ＜ 0$或$x ＞ 2$(切记:反比例函数的自变量不等于0).
3. ▶一题多解 [2026淮南大通区期末]已知关于x的一元二次方程$x^2 + 2x + 1 - k = 0$无实数根，则函数$y = kx$与$y = \frac{2}{x}$的图象交点个数为（
A.0
B.1
C.2
D.3
A
）A.0
B.1
C.2
D.3
答案
$\because$关于$x$的一元二次方程$x^2 + 2x + 1 - k = 0$无实数根,$\therefore \Delta=4-4(1-k) ＜ 0$,解得$k ＜ 0$.
通解 $\because k ＜ 0,\therefore$ 函数$y = kx$的图象经过第二、四象限,$\because$ 函数$y = \frac{2}{x}$的图象位于第一、三象限,$\therefore$ 函数$y = kx$与$y = \frac{2}{x}$的图象没有交点.
另解 联立两个函数的表达式$\begin{cases} y = kx, \\ y = \frac{2}{x}, \end{cases}$得$kx = \frac{2}{x}$,即$kx^2 - 2 = 0$,$\therefore \Delta=0-4k · (-2)=8k ＜ 0$,$\therefore$ 方程无实数根,即函数$y = kx$与$y = \frac{2}{x}$的图象没有交点.
通解 $\because k ＜ 0,\therefore$ 函数$y = kx$的图象经过第二、四象限,$\because$ 函数$y = \frac{2}{x}$的图象位于第一、三象限,$\therefore$ 函数$y = kx$与$y = \frac{2}{x}$的图象没有交点.
另解 联立两个函数的表达式$\begin{cases} y = kx, \\ y = \frac{2}{x}, \end{cases}$得$kx = \frac{2}{x}$,即$kx^2 - 2 = 0$,$\therefore \Delta=0-4k · (-2)=8k ＜ 0$,$\therefore$ 方程无实数根,即函数$y = kx$与$y = \frac{2}{x}$的图象没有交点.
4. 如图,点P在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的图象上,PA⊥x轴于点A,PB⊥y轴于点B,PA=PB.一次函数$y=x+1$的图象与PB交于点D.若D为PB的中点,则k的值为
4
.答案
由题意,可设点$P$的坐标为$(a,a)$,则$B(0,a)$.
$\because D$为$BP$的中点,$\therefore D(\frac{1}{2}a,a)$.把$(\frac{1}{2}a,a)$代入$y=x+1$,得$\frac{1}{2}a + 1 = a$,解得$a=2$.$\therefore P(2,2)$,$\therefore k=2 × 2=4$.
$\because D$为$BP$的中点,$\therefore D(\frac{1}{2}a,a)$.把$(\frac{1}{2}a,a)$代入$y=x+1$,得$\frac{1}{2}a + 1 = a$,解得$a=2$.$\therefore P(2,2)$,$\therefore k=2 × 2=4$.
5. [2025安徽中考]如图,在平面直角坐标系$xOy$中,一次函数$y = ax + 4(a≠0)$与反比例函数$y = \frac{k}{x}(k≠0)$的图象交于$A,B$两点.已知点$A$和$B$的横坐标分别为6和2.
(1)求$a$与$k$的值;
(2)设直线$AB$与$x$轴、$y$轴的交点分别为点$C,D$,求$△ COD$的面积.
(1)求$a$与$k$的值;
(2)设直线$AB$与$x$轴、$y$轴的交点分别为点$C,D$,求$△ COD$的面积.
答案
解:(1)由题意,得$\begin{cases} 6a + 4 = \frac{k}{6}, \\ 2a + 4 = \frac{k}{2}, \end{cases}$
解得$\begin{cases} a = -\frac{1}{2}, \\ k = 6. \end{cases}$
(2)由(1)知,直线$AB$的函数表达式为$y = -\frac{1}{2}x + 4$.
令$y=0$,则$-\frac{1}{2}x + 4 = 0$,解得$x=8$,$\therefore C(8,0)$,$\therefore OC=8$.
令$x=0$,则$y=4$,$\therefore D(0,4)$,$\therefore OD=4$,
$\therefore △ COD$的面积为$\frac{1}{2}OC · OD = \frac{1}{2} × 8 × 4=16$.
解得$\begin{cases} a = -\frac{1}{2}, \\ k = 6. \end{cases}$
(2)由(1)知,直线$AB$的函数表达式为$y = -\frac{1}{2}x + 4$.
令$y=0$,则$-\frac{1}{2}x + 4 = 0$,解得$x=8$,$\therefore C(8,0)$,$\therefore OC=8$.
令$x=0$,则$y=4$,$\therefore D(0,4)$,$\therefore OD=4$,
$\therefore △ COD$的面积为$\frac{1}{2}OC · OD = \frac{1}{2} × 8 × 4=16$.
6. 跨学科·物理 [2025 湖北中考]
已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流$ I $（单位：A）与电阻$ R $（单位：$\Omega$）是反比例函数关系，它的图象如图
所示。当电阻$ R $大于$ 9\Omega $时，电流$ I $可能是（
A.3 A
B.4 A
C.5 A
D.6 A
已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流$ I $（单位：A）与电阻$ R $（单位：$\Omega$）是反比例函数关系，它的图象如图
所示。当电阻$ R $大于$ 9\Omega $时，电流$ I $可能是（A
）A.3 A
B.4 A
C.5 A
D.6 A
答案
根据函数图象,知当$R＞9$时,$I＜4$,故选项A符合题意.
7. 跨学科·音乐 [2024 湖南中考] 在一定条件下，乐器中弦振动的频率$f$(赫兹)与弦长$l$(米)成反比例关系，即$f=\frac{k}{l}$($k$为常数，$k≠0$)。若某乐器的弦长$l$为0.9米，振动频率$f$为200赫兹，则$k$的值为
180
。答案
由题意,得$k=200 × 0.9=180$.
8. [2024山西中考]机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置,其最快移动速度v(m/s)是载重后总质量m(kg)的反比例函数.已知一款机器狗载重后总质量m=60 kg时,它的最快移动速度v=6 m/s.当其载重后总质量m=90 kg时,它的最快移动速度v=
4
m/s.答案
设$v=\frac{k}{m}$.$\because$ 当$m=60$时,$v=6$,$\therefore k=360$,$\therefore$ 当$m=90$时,$v=\frac{360}{90}=4$,故当其载重后总质量$m=90$ kg时,它的最快移动速度为4 m/s.
