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1. 教材P26练习T1变式 [2025合肥庐阳中学二模]已知一次函数$y=(m-n)x + n$的图象如图所示，则二次函数$y=mx^2 + nx$的图象大致是（
A
B
C
D
C
）A
B
C
D
答案
由一次函数的图象可知 $m-n＜0,n＜0,\therefore m＜0,n＜0$,
$\therefore$ 抛物线 $y=mx^2 + nx$ 的开口向下,对称轴为直线 $x= -\frac{n}{2m}＜0$,在 $y$ 轴的左侧,且当 $x= -1$ 时,$y= m - n ＜ 0$,$\therefore$ 满足条件的函数图象只有选项 C.
$\therefore$ 抛物线 $y=mx^2 + nx$ 的开口向下,对称轴为直线 $x= -\frac{n}{2m}＜0$,在 $y$ 轴的左侧,且当 $x= -1$ 时,$y= m - n ＜ 0$,$\therefore$ 满足条件的函数图象只有选项 C.
2. [2026合肥瑶海区段考] 在同一平面直角坐标系中,函数$y=kx+1$与$y=kx^2 -2kx +1$的图象大致是 (
D
)答案
对于 $y=kx+1$,当 $x=0$ 时,$y=1$;对于 $y=kx^2 -2kx +1$,当 $x=0$ 时,$y=1$,$\therefore$ 直线 $y=kx+1$ 和抛物线 $y=kx^2 -2kx +1$ 交于点 $(0,1)$,故选项 A,C 不符合题意.$\because$ 抛物线 $y=kx^2 -2kx +1(k≠0)$ 的对称轴为直线 $x= -\frac{-2k}{2k}=1$,位于 $y$ 轴的右侧,$\therefore$ 选项 B 不符合题意,选项 D 符合题意.
3. 教材P24例5变式[2026阜阳段考] 如图,已知二次函数$y=ax^2(a≠0)$与一次函数$y=kx-2$的图象相交于A,B两点,其中$A(-1,-1)$.
(1)求一次函数和二次函数的表达式.
(2)求点B的坐标.
(3)求$△ OAB$的面积.
(1)求一次函数和二次函数的表达式.
(2)求点B的坐标.
(3)求$△ OAB$的面积.
答案
解:(1)$\because$ 一次函数 $y=kx-2$ 的图象过点 $A( - 1, - 1)$,
$\therefore -1 = - k - 2$,解得 $k = - 1$,
$\therefore$ 一次函数的表达式为 $y = - x - 2$.
$\because y=ax^2$ 过点 $A( - 1, - 1)$,$\therefore -1 = a × 1$,解得 $a = - 1$,
$\therefore$ 二次函数的表达式为 $y = - x^2$.
(2)由题意可列方程组 $\begin{cases}y = - x - 2,\\y = - x^2,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x = - 1,\\y = - 1\end{cases}$ 或 $\begin{cases}x = 2,\\y = - 4.\end{cases}$
$\because A( - 1, - 1),\therefore B(2, - 4)$.
(3)设 $AB$ 与 $y$ 轴的交点为点 $G$,在 $y = - x - 2$ 中,令 $x = 0$,得 $y = - 2$,$\therefore G(0, - 2)$,$\therefore OG = 2$,
$\therefore S_{△ OAB}=S_{△ OAG}+S_{△ OBG}=\frac{1}{2}OG·|x_A|+\frac{1}{2}OG·|x_B|=\frac{1}{2}×2×1+\frac{1}{2}×2×2=1+2=3$.
$\therefore -1 = - k - 2$,解得 $k = - 1$,
$\therefore$ 一次函数的表达式为 $y = - x - 2$.
$\because y=ax^2$ 过点 $A( - 1, - 1)$,$\therefore -1 = a × 1$,解得 $a = - 1$,
$\therefore$ 二次函数的表达式为 $y = - x^2$.
(2)由题意可列方程组 $\begin{cases}y = - x - 2,\\y = - x^2,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x = - 1,\\y = - 1\end{cases}$ 或 $\begin{cases}x = 2,\\y = - 4.\end{cases}$
$\because A( - 1, - 1),\therefore B(2, - 4)$.
(3)设 $AB$ 与 $y$ 轴的交点为点 $G$,在 $y = - x - 2$ 中,令 $x = 0$,得 $y = - 2$,$\therefore G(0, - 2)$,$\therefore OG = 2$,
$\therefore S_{△ OAB}=S_{△ OAG}+S_{△ OBG}=\frac{1}{2}OG·|x_A|+\frac{1}{2}OG·|x_B|=\frac{1}{2}×2×1+\frac{1}{2}×2×2=1+2=3$.
4. [2025合肥瑶海区期中]如图,在平面直角坐标系中,二次函数$y=-x^2 +2x +c$的图象与x轴交于点A(3,0),与y轴交于点C,直线l:$y=kx +b$经过A,C两点.
(1)求二次函数的表达式.
(2)求点C的坐标及直线l的表达式.
(3)在直线AC上方的抛物线上有一动点P,过点P作$PD ⊥ x$轴,交AC于点D,请求出线段PD的最大值.
(1)求二次函数的表达式.
(2)求点C的坐标及直线l的表达式.
(3)在直线AC上方的抛物线上有一动点P,过点P作$PD ⊥ x$轴,交AC于点D,请求出线段PD的最大值.
答案
解:(1)将 $A(3,0)$ 代入 $y = - x^2 + 2x + c$,
得 $0 = - 3^2 + 2 × 3 + c$,解得 $c = 3$,
$\therefore$ 二次函数的表达式为 $y = - x^2 + 2x + 3$.
(2)在 $y = - x^2 + 2x + 3$ 中,令 $x = 0$,则 $y = 3$,$\therefore C(0,3)$.
$\because$ 直线 $l$:$y = kx + b$ 经过 $A,C$ 两点,
$\therefore \begin{cases}0 = 3k + b,\\3 = b,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k = - 1,\\b = 3,\end{cases}$
$\therefore$ 直线 $l$ 的表达式为 $y = - x + 3$.
(3)设 $P(m, - m^2 + 2m + 3)$,其中 $0 ＜ m ＜ 3$,
则 $D(m, - m + 3)$,
$\therefore PD = - m^2 + 2m + 3 - ( - m + 3) = -(m - \frac{3}{2})^2 + \frac{9}{4}$,
$\therefore$ 线段 $PD$ 的最大值为 $\frac{9}{4}$.
得 $0 = - 3^2 + 2 × 3 + c$,解得 $c = 3$,
$\therefore$ 二次函数的表达式为 $y = - x^2 + 2x + 3$.
(2)在 $y = - x^2 + 2x + 3$ 中,令 $x = 0$,则 $y = 3$,$\therefore C(0,3)$.
$\because$ 直线 $l$:$y = kx + b$ 经过 $A,C$ 两点,
$\therefore \begin{cases}0 = 3k + b,\\3 = b,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k = - 1,\\b = 3,\end{cases}$
$\therefore$ 直线 $l$ 的表达式为 $y = - x + 3$.
(3)设 $P(m, - m^2 + 2m + 3)$,其中 $0 ＜ m ＜ 3$,
则 $D(m, - m + 3)$,
$\therefore PD = - m^2 + 2m + 3 - ( - m + 3) = -(m - \frac{3}{2})^2 + \frac{9}{4}$,
$\therefore$ 线段 $PD$ 的最大值为 $\frac{9}{4}$.
5. 一题多解 在平面直角坐标系中,已知点$A(1,2),B(2,3),C(2,1)$,直线$y=x+m$经过点$A$,抛物线$y=ax^2 + bx + 1$恰好经过$A,B,C$三点中的两点.
(1)判断点$B$是否在直线$y=x+m$上,并说明理由.
(2)求$a,b$的值.
(3)平移抛物线$y=ax^2 + bx + 1$,使其顶点仍在直线$y=x+m$上,求平移后所得抛物线与$y$轴交点纵坐标的最大值.
(1)判断点$B$是否在直线$y=x+m$上,并说明理由.
(2)求$a,b$的值.
(3)平移抛物线$y=ax^2 + bx + 1$,使其顶点仍在直线$y=x+m$上,求平移后所得抛物线与$y$轴交点纵坐标的最大值.
答案
解:(1)点 $B$ 在直线 $y=x+m$ 上. 理由如下:
因为直线 $y=x+m$ 过点 $A(1,2)$,所以 $2 = 1 + m$,解得 $m = 1$.
故直线对应的函数表达式为 $y = x + 1$.
又因为点 $B$ 的坐标 $(2,3)$ 满足该表达式,即 $3 = 2 + 1$,
所以点 $B$ 在这条直线上.
(2)因为抛物线 $y=ax^2 + bx + 1$ 与直线 $AB$ 都经过点 $(0,1)$,
且 $B,C$ 两点横坐标相同,
所以此抛物线经过 $A,C$ 两点.
将 $A,C$ 两点的坐标分别代入 $y=ax^2 + bx + 1$,
得 $\begin{cases}a + b + 1 = 2,\\4a + 2b + 1 = 1.\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a = - 1,\\b = 2.\end{cases}$
(3)通解 设平移后所得抛物线对应的函数表达式为 $y = - x^2 + px + q$,其顶点坐标为 $(\frac{p}{2},\frac{p^2}{4}+q)$.
因为平移后所得抛物线的顶点在直线 $y = x + 1$ 上,
所以 $\frac{p}{2} + 1 = \frac{p^2}{4} + q$,
所以平移后所得抛物线与 $y$ 轴交点的纵坐标 $q = -\frac{p^2}{4} + \frac{p}{2} + 1 = -\frac{1}{4}(p - 1)^2 + \frac{5}{4}$,
所以平移后所得抛物线与 $y$ 轴交点的纵坐标的最大值为 $\frac{5}{4}$.
另解 设平移后所得抛物线对应的函数表达式为 $y = -(x - h)^2 + k$.
因为该抛物线的顶点在直线 $y = x + 1$ 上,
所以 $k = h + 1$.
易得平移后的抛物线与 $y$ 轴交点的纵坐标为 $-h^2 + h + 1$.
因为 $-h^2 + h + 1 = -(h - \frac{1}{2})^2 + \frac{5}{4}$,
所以平移后所得抛物线与 $y$ 轴交点的纵坐标的最大值为 $\frac{5}{4}$.
因为直线 $y=x+m$ 过点 $A(1,2)$,所以 $2 = 1 + m$,解得 $m = 1$.
故直线对应的函数表达式为 $y = x + 1$.
又因为点 $B$ 的坐标 $(2,3)$ 满足该表达式,即 $3 = 2 + 1$,
所以点 $B$ 在这条直线上.
(2)因为抛物线 $y=ax^2 + bx + 1$ 与直线 $AB$ 都经过点 $(0,1)$,
且 $B,C$ 两点横坐标相同,
所以此抛物线经过 $A,C$ 两点.
将 $A,C$ 两点的坐标分别代入 $y=ax^2 + bx + 1$,
得 $\begin{cases}a + b + 1 = 2,\\4a + 2b + 1 = 1.\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a = - 1,\\b = 2.\end{cases}$
(3)通解 设平移后所得抛物线对应的函数表达式为 $y = - x^2 + px + q$,其顶点坐标为 $(\frac{p}{2},\frac{p^2}{4}+q)$.
因为平移后所得抛物线的顶点在直线 $y = x + 1$ 上,
所以 $\frac{p}{2} + 1 = \frac{p^2}{4} + q$,
所以平移后所得抛物线与 $y$ 轴交点的纵坐标 $q = -\frac{p^2}{4} + \frac{p}{2} + 1 = -\frac{1}{4}(p - 1)^2 + \frac{5}{4}$,
所以平移后所得抛物线与 $y$ 轴交点的纵坐标的最大值为 $\frac{5}{4}$.
另解 设平移后所得抛物线对应的函数表达式为 $y = -(x - h)^2 + k$.
因为该抛物线的顶点在直线 $y = x + 1$ 上,
所以 $k = h + 1$.
易得平移后的抛物线与 $y$ 轴交点的纵坐标为 $-h^2 + h + 1$.
因为 $-h^2 + h + 1 = -(h - \frac{1}{2})^2 + \frac{5}{4}$,
所以平移后所得抛物线与 $y$ 轴交点的纵坐标的最大值为 $\frac{5}{4}$.
