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12. ★★ 如图,下列每个三角形中的三个数之间均具有相同的规律,按此规律,最后一个三角形中 y 与 x 之间的表达式是
$y=x+2^{x-2}(x≥2)$
。答案
12. $y=x+2^{x-2}(x≥2)$
【点拨】根据题意得：
第1个三角形：$x=2=1+1,y=2+1=1+1+2^0$，
第2个三角形：$x=3=2+1,y=3+2=2+1+2^1$，
第3个三角形：$x=4=3+1,y=4+4=3+1+2^2$，
第4个三角形：$x=5=4+1,y=5+8=4+1+2^3$，
…
以此类推，第$n$个三角形中$x=n+1,y=n+1+2^{n-1}$，
所以$y$与$x$之间的表达式是$y=x+2^{x-2}(x≥2)$。
【点拨】根据题意得：
第1个三角形：$x=2=1+1,y=2+1=1+1+2^0$，
第2个三角形：$x=3=2+1,y=3+2=2+1+2^1$，
第3个三角形：$x=4=3+1,y=4+4=3+1+2^2$，
第4个三角形：$x=5=4+1,y=5+8=4+1+2^3$，
…
以此类推，第$n$个三角形中$x=n+1,y=n+1+2^{n-1}$，
所以$y$与$x$之间的表达式是$y=x+2^{x-2}(x≥2)$。
解析
【分析】
解题时先分别观察三角形三个位置的数字变化规律：第一步看左侧数字，依次为2、3、4、5，可知左侧的数x是从2开始的连续整数；第二步看右侧数字，依次为1、2、4、8，是2的整数次幂；第三步看下侧的数y，可发现每个三角形中y等于左侧数字加右侧数字。最后将右侧数字用含x的式子表示，即可推出y与x的表达式。
【解析】
观察各三角形内数字的规律：
第1个三角形：$x=2$，右侧的数为$1=2^0$，$y=2+1=3$；
第2个三角形：$x=3$，右侧的数为$2=2^1$，$y=3+2=5$；
第3个三角形：$x=4$，右侧的数为$4=2^2$，$y=4+4=8$；
第4个三角形：$x=5$，右侧的数为$8=2^3$，$y=5+8=13$；
……
以此类推，第$n$个三角形中，左侧的数$x=n+1$，右侧的数为$2^{n-1}$，且$y=x+$右侧的数。
将$n=x-1$代入右侧数字的表达式，得右侧的数$=2^{(x-1)-1}=2^{x-2}$，
因此$y$与$x$的表达式为$y=x+2^{x-2}\ (x≥2)$。
【答案】
$y=x+2^{x-2}(x≥2)$
【知识点】
数字规律探究，列函数解析式，整数指数幂
【点评】
本题属于规律探究类题型，重点考查观察、归纳和推理能力，解题的核心是找到不同位置数字的变化规律及数字间的运算关系，难度适中。
【难度系数】
0.6
解题时先分别观察三角形三个位置的数字变化规律：第一步看左侧数字，依次为2、3、4、5，可知左侧的数x是从2开始的连续整数；第二步看右侧数字，依次为1、2、4、8，是2的整数次幂；第三步看下侧的数y，可发现每个三角形中y等于左侧数字加右侧数字。最后将右侧数字用含x的式子表示，即可推出y与x的表达式。
【解析】
观察各三角形内数字的规律：
第1个三角形：$x=2$，右侧的数为$1=2^0$，$y=2+1=3$；
第2个三角形：$x=3$，右侧的数为$2=2^1$，$y=3+2=5$；
第3个三角形：$x=4$，右侧的数为$4=2^2$，$y=4+4=8$；
第4个三角形：$x=5$，右侧的数为$8=2^3$，$y=5+8=13$；
……
以此类推，第$n$个三角形中，左侧的数$x=n+1$，右侧的数为$2^{n-1}$，且$y=x+$右侧的数。
将$n=x-1$代入右侧数字的表达式，得右侧的数$=2^{(x-1)-1}=2^{x-2}$，
因此$y$与$x$的表达式为$y=x+2^{x-2}\ (x≥2)$。
【答案】
$y=x+2^{x-2}(x≥2)$
【知识点】
数字规律探究，列函数解析式，整数指数幂
【点评】
本题属于规律探究类题型，重点考查观察、归纳和推理能力，解题的核心是找到不同位置数字的变化规律及数字间的运算关系，难度适中。
【难度系数】
0.6
13. 跨学科题 老师告诉小红：“离地面越高，温度越低”，并给小红出示了如下表格：
根据上表，老师还给小红出了下面几个问题，请你和小红一起解答：
(1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
(2)如果用h(km)表示距离地面的高度，用t(℃)表示温度，请你用关于h的式子表示t.
(3)利用(2)的结论求：
①距离地面6 km的高空温度是多少？
②当高空某处温度为－40 ℃时，求该处距离地面的高度.
根据上表，老师还给小红出了下面几个问题，请你和小红一起解答：
(1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
(2)如果用h(km)表示距离地面的高度，用t(℃)表示温度，请你用关于h的式子表示t.
(3)利用(2)的结论求：
①距离地面6 km的高空温度是多少？
②当高空某处温度为－40 ℃时，求该处距离地面的高度.
答案
13. 【解】(1)反映了温度和距离地面高度之间的关系，距离地面高度是自变量，温度是因变量。
(2)由题表中数据可知，距离地面的高度每上升1 km，温度就降低6 ℃，因此可得函数关系式为$t=20-6h$。
(3)①将$h=6$代入$t=20-6h$，得$t=20-6×6=-16$，故距离地面6 km的高空温度是$-16\ ℃$。
②将$t=-40$代入$t=20-6h$，可得$-40=20-6h$，解得$h=10$。
故当高空某处温度为$-40\ ℃$时，该处距离地面的高度是10 km。
(2)由题表中数据可知，距离地面的高度每上升1 km，温度就降低6 ℃，因此可得函数关系式为$t=20-6h$。
(3)①将$h=6$代入$t=20-6h$，得$t=20-6×6=-16$，故距离地面6 km的高空温度是$-16\ ℃$。
②将$t=-40$代入$t=20-6h$，可得$-40=20-6h$，解得$h=10$。
故当高空某处温度为$-40\ ℃$时，该处距离地面的高度是10 km。
解析
【分析】
解题时按小问逐步梳理思路：
1. 第(1)问：先观察表格的两个对应栏目，确定涉及的两个变量；再根据“自变量主动变化、因变量随自变量的变化而变化”的特点，区分两个变量的类型。
2. 第(2)问：对比相邻两组数据，找到“高度每升高1km，温度下降6℃”的变化规律，再结合高度为0时温度为20℃的初始值，推导得到t与h的关系式。
3. 第(3)问：①已知高度求温度，直接将h的取值代入解析式计算t即可；②已知温度求高度，将t的取值代入解析式，解一元一次方程即可得到h的值。
【解析】
(1) 观察表格可知，表格反映的是温度和距离地面高度两个变量之间的关系；其中距离地面高度是主动变化的，为自变量，温度随高度的变化而变化，为因变量。
(2) 分析表格数据：高度每升高1km，温度降低6℃，地面（h=0）处温度为20℃，因此温度t和高度h的关系式为$t=20-6h$。
(3) ① 求距离地面6km的高空温度，将$h=6$代入$t=20-6h$：
$t=20-6×6=20-36=-16(℃)$
② 求温度为-40℃处的高度，将$t=-40$代入$t=20-6h$，得：
$-40=20-6h$
移项计算得$6h=60$，解得$h=10(km)$
【答案】
(1) 反映了温度和距离地面高度之间的关系，距离地面高度是自变量，温度是因变量。
(2) $\boldsymbol{t=20-6h}$
(3) ① $\boldsymbol{-16℃}$；② $\boldsymbol{10\ km}$
【知识点】
变量的识别；一次函数解析式；代入求值
【点评】
本题结合气温随高度变化的生活常识出题，考查了变量的相关概念、从表格数据中找规律推导函数解析式，以及利用解析式求值、解方程的能力，解题时注意负数计算的符号问题即可。
【难度系数】
0.8
解题时按小问逐步梳理思路：
1. 第(1)问：先观察表格的两个对应栏目，确定涉及的两个变量；再根据“自变量主动变化、因变量随自变量的变化而变化”的特点，区分两个变量的类型。
2. 第(2)问：对比相邻两组数据，找到“高度每升高1km，温度下降6℃”的变化规律，再结合高度为0时温度为20℃的初始值，推导得到t与h的关系式。
3. 第(3)问：①已知高度求温度，直接将h的取值代入解析式计算t即可；②已知温度求高度，将t的取值代入解析式，解一元一次方程即可得到h的值。
【解析】
(1) 观察表格可知，表格反映的是温度和距离地面高度两个变量之间的关系；其中距离地面高度是主动变化的，为自变量，温度随高度的变化而变化，为因变量。
(2) 分析表格数据：高度每升高1km，温度降低6℃，地面（h=0）处温度为20℃，因此温度t和高度h的关系式为$t=20-6h$。
(3) ① 求距离地面6km的高空温度，将$h=6$代入$t=20-6h$：
$t=20-6×6=20-36=-16(℃)$
② 求温度为-40℃处的高度，将$t=-40$代入$t=20-6h$，得：
$-40=20-6h$
移项计算得$6h=60$，解得$h=10(km)$
【答案】
(1) 反映了温度和距离地面高度之间的关系，距离地面高度是自变量，温度是因变量。
(2) $\boldsymbol{t=20-6h}$
(3) ① $\boldsymbol{-16℃}$；② $\boldsymbol{10\ km}$
【知识点】
变量的识别；一次函数解析式；代入求值
【点评】
本题结合气温随高度变化的生活常识出题，考查了变量的相关概念、从表格数据中找规律推导函数解析式，以及利用解析式求值、解方程的能力，解题时注意负数计算的符号问题即可。
【难度系数】
0.8
14. $\boldsymbol{}$ [2025 云南] 已知 $a$ 是常数，函数 $y=(x+4)(x-a^2+a-3)+1$，记 $T=\dfrac{a^2}{4}+\dfrac{4}{a^2+1}$。
(1)若 $x=-4,a=1$，求 $y$ 的值；
(2)若 $x=3a+2,y=1$，比较 $T$ 与 $3$ 的大小。
(1)若 $x=-4,a=1$，求 $y$ 的值；
(2)若 $x=3a+2,y=1$，比较 $T$ 与 $3$ 的大小。
答案
14. 【解】(1)把$x=-4,a=1$代入函数$y=(x+4)(x-a^2+a-3)+1$，得
$y=(-4+4)(-4-1^2+1-3)+1=1$。
(2)将$x=3a+2,y=1$代入函数$y=(x+4)(x-a^2+a-3)+1$，得$(3a+2+4)(3a+2-a^2+a-3)+1=1$，
整理，得$-3(a+2)(a^2-4a+1)=0$，所以$a+2=0$或$a^2-4a+1=0$。
①当$a+2=0$，即$a=-2$时，
此时$T=\dfrac{(-2)^2}{4}+\dfrac{4}{(-2)^2+1}=\dfrac{9}{5}＜3$；
②当$a^2-4a+1=0$时，$a≠0$，
则有$a^2=4a-1,a^2+1=4a$，所以$a+\dfrac{1}{a}=4$，
此时$T=\dfrac{4a-1}{4}+\dfrac{4}{4a}=a-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{a}=4-\dfrac{1}{4}=\dfrac{15}{4}＞3$。
综上所述，当$a=-2$时，$T＜3$；当$a^2-4a+1=0$时，$T＞3$。
$y=(-4+4)(-4-1^2+1-3)+1=1$。
(2)将$x=3a+2,y=1$代入函数$y=(x+4)(x-a^2+a-3)+1$，得$(3a+2+4)(3a+2-a^2+a-3)+1=1$，
整理，得$-3(a+2)(a^2-4a+1)=0$，所以$a+2=0$或$a^2-4a+1=0$。
①当$a+2=0$，即$a=-2$时，
此时$T=\dfrac{(-2)^2}{4}+\dfrac{4}{(-2)^2+1}=\dfrac{9}{5}＜3$；
②当$a^2-4a+1=0$时，$a≠0$，
则有$a^2=4a-1,a^2+1=4a$，所以$a+\dfrac{1}{a}=4$，
此时$T=\dfrac{4a-1}{4}+\dfrac{4}{4a}=a-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{a}=4-\dfrac{1}{4}=\dfrac{15}{4}＞3$。
综上所述，当$a=-2$时，$T＜3$；当$a^2-4a+1=0$时，$T＞3$。
解析
【分析】
(1) 第一问是已知自变量和参数值求函数值的基础题型，直接将$x=-4$、$a=1$代入$y$的表达式计算即可，观察到因式$x+4$代入$x=-4$后为0，可快速简化运算。
(2) 第二问先将$x=3a+2$、$y=1$代入函数表达式，得到关于$a$的方程，化简后可得到$a$的两类取值条件，再分类代入$T$的表达式计算结果，与3比较大小即可；遇到$a^2-4a+1=0$的情况时，用整体代入法可简化计算，无需解出$a$的具体值。
【解析】
(1) 把$x=-4,a=1$代入函数$y=(x+4)(x-a^2+a-3)+1$，得：
$y=(-4+4)×(-4-1^2+1-3)+1=0×(-7)+1=1$
(2) 将$x=3a+2,y=1$代入函数表达式，得：
$(3a+2+4)(3a+2-a^2+a-3)+1=1$
整理得：$(3a+6)(-a^2+4a-1)=0$，即$-3(a+2)(a^2-4a+1)=0$
$\therefore a+2=0$ 或 $a^2-4a+1=0$，分两种情况讨论：
① 当$a+2=0$，即$a=-2$时：
$T=\dfrac{(-2)^2}{4}+\dfrac{4}{(-2)^2+1}=\dfrac{4}{4}+\dfrac{4}{5}=\dfrac{9}{5}$，$\dfrac{9}{5}＜3$，即$T＜3$；
② 当$a^2-4a+1=0$时，$a≠0$，整理得$a^2=4a-1$，$a^2+1=4a$，两边同除以$a$得$a+\dfrac{1}{a}=4$，代入$T$得：
$T=\dfrac{4a-1}{4}+\dfrac{4}{4a}=a-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{a}=(a+\dfrac{1}{a})-\dfrac{1}{4}=4-\dfrac{1}{4}=\dfrac{15}{4}$，$\dfrac{15}{4}＞3$，即$T＞3$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=1}$；
(2) 当$a=-2$时，$\boldsymbol{T＜3}$；当$a^2-4a+1=0$时，$\boldsymbol{T＞3}$。
【知识点】
代数式求值；因式分解；分类讨论
【点评】
本题侧重考查基础运算能力和数学思想的应用，第二问需要先通过因式分解得到参数的所有可能情况，避免漏解，灵活运用整体代入法可简化分式运算，降低计算出错概率。
【难度系数】
0.65
(1) 第一问是已知自变量和参数值求函数值的基础题型，直接将$x=-4$、$a=1$代入$y$的表达式计算即可，观察到因式$x+4$代入$x=-4$后为0，可快速简化运算。
(2) 第二问先将$x=3a+2$、$y=1$代入函数表达式，得到关于$a$的方程，化简后可得到$a$的两类取值条件，再分类代入$T$的表达式计算结果，与3比较大小即可；遇到$a^2-4a+1=0$的情况时，用整体代入法可简化计算，无需解出$a$的具体值。
【解析】
(1) 把$x=-4,a=1$代入函数$y=(x+4)(x-a^2+a-3)+1$，得：
$y=(-4+4)×(-4-1^2+1-3)+1=0×(-7)+1=1$
(2) 将$x=3a+2,y=1$代入函数表达式，得：
$(3a+2+4)(3a+2-a^2+a-3)+1=1$
整理得：$(3a+6)(-a^2+4a-1)=0$，即$-3(a+2)(a^2-4a+1)=0$
$\therefore a+2=0$ 或 $a^2-4a+1=0$，分两种情况讨论：
① 当$a+2=0$，即$a=-2$时：
$T=\dfrac{(-2)^2}{4}+\dfrac{4}{(-2)^2+1}=\dfrac{4}{4}+\dfrac{4}{5}=\dfrac{9}{5}$，$\dfrac{9}{5}＜3$，即$T＜3$；
② 当$a^2-4a+1=0$时，$a≠0$，整理得$a^2=4a-1$，$a^2+1=4a$，两边同除以$a$得$a+\dfrac{1}{a}=4$，代入$T$得：
$T=\dfrac{4a-1}{4}+\dfrac{4}{4a}=a-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{a}=(a+\dfrac{1}{a})-\dfrac{1}{4}=4-\dfrac{1}{4}=\dfrac{15}{4}$，$\dfrac{15}{4}＞3$，即$T＞3$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=1}$；
(2) 当$a=-2$时，$\boldsymbol{T＜3}$；当$a^2-4a+1=0$时，$\boldsymbol{T＞3}$。
【知识点】
代数式求值；因式分解；分类讨论
【点评】
本题侧重考查基础运算能力和数学思想的应用，第二问需要先通过因式分解得到参数的所有可能情况，避免漏解，灵活运用整体代入法可简化分式运算，降低计算出错概率。
【难度系数】
0.65
15. ★★★ 初高衔接 [南通市竞赛] 如果记 $ y = \frac{x^2}{1+x^2} = f(x) $，并且 $ f(1) $ 表示当 $ x=1 $ 时 $ y $ 的值，即 $ f(1) = \frac{1^2}{1+1^2} = \frac{1}{2} $，同理 $ f( \frac{1}{2} ) $ 表示当 $ x=\frac{1}{2} $ 时 $ y $ 的值，即 $ f( \frac{1}{2} ) = \frac{( \frac{1}{2} )^2}{1+( \frac{1}{2} )^2} = \frac{1}{5}, ··· $，那么 $ f(1) + f(2) + f( \frac{1}{2} ) + f(3) + f( \frac{1}{3} ) + ··· + f(n) + f( \frac{1}{n} ) = \underline{\hspace{3em}} $。(结果用含有 $ n $ 的代数式表示，$ n $ 为正整数)
答案
15. $n-\dfrac{1}{2}$
【点拨】因为$f(2)=\dfrac{2^2}{1+2^2}=\dfrac{4}{5},f(\dfrac{1}{2})=\dfrac{1}{5}$，
所以$f(2)+f(\dfrac{1}{2})=1$。同理可知，$f(3)+f(\dfrac{1}{3})=f(4)+f(\dfrac{1}{4})=…=f(n)+f(\dfrac{1}{n})=1$，故原式$=\dfrac{1}{2}+\underbrace{1+…+1}_{(n-1)个"1"}=\dfrac{1}{2}+(n-1)=n-\dfrac{1}{2}$。
【点拨】因为$f(2)=\dfrac{2^2}{1+2^2}=\dfrac{4}{5},f(\dfrac{1}{2})=\dfrac{1}{5}$，
所以$f(2)+f(\dfrac{1}{2})=1$。同理可知，$f(3)+f(\dfrac{1}{3})=f(4)+f(\dfrac{1}{4})=…=f(n)+f(\dfrac{1}{n})=1$，故原式$=\dfrac{1}{2}+\underbrace{1+…+1}_{(n-1)个"1"}=\dfrac{1}{2}+(n-1)=n-\dfrac{1}{2}$。
解析
【分析】
拿到这类新定义运算的求和题，首先不要直接逐一计算所有项，先观察所求式子中项的特征：除了$f(1)$外，其余项都是成对出现的，即$f(k)$和$f(\frac{1}{k})$（$k≥2$）。我们可以先计算一对$f(x)$和$f(\frac{1}{x})$的和，看是否存在固定值，再统计总共有多少对这样的组合，结合单独的$f(1)$的值就能算出最终结果。
【解析】
第一步：推导$f(x) + f(\frac{1}{x})$的结果：
已知$f(x)=\frac{x^2}{1+x^2}$，则$f(\frac{1}{x})=\frac{(\frac{1}{x})^2}{1+(\frac{1}{x})^2}$，对$f(\frac{1}{x})$化简：
分子分母同乘$x^2$得：$f(\frac{1}{x})=\frac{1}{x^2 + 1}$
因此$f(x)+f(\frac{1}{x})=\frac{x^2}{1+x^2}+\frac{1}{1+x^2}=\frac{x^2+1}{1+x^2}=1$
第二步：统计所求式子的项：
所求式子中，$f(1)=\frac{1^2}{1+1^2}=\frac{1}{2}$，剩下的项从$f(2)$到$f(\frac{1}{n})$共有$(n-1)$对，每对的和为1，总和为$(n-1)×1=n-1$
第三步：计算最终结果：
原式$=\frac{1}{2} + (n-1) = n - \frac{1}{2}$
【答案】
$n-\dfrac{1}{2}$
【知识点】
新定义运算，分式化简，规律探究
【点评】
本题属于新定义类的规律探究题，解题核心是先通过代数运算得出$f(x)$与$f(\frac{1}{x})$的和为定值1的规律，再采用分组求和的方法简化计算，避免了逐一计算各项的繁琐，很好地考察了观察归纳能力与代数运算能力。
【难度系数】
0.6
拿到这类新定义运算的求和题，首先不要直接逐一计算所有项，先观察所求式子中项的特征：除了$f(1)$外，其余项都是成对出现的，即$f(k)$和$f(\frac{1}{k})$（$k≥2$）。我们可以先计算一对$f(x)$和$f(\frac{1}{x})$的和，看是否存在固定值，再统计总共有多少对这样的组合，结合单独的$f(1)$的值就能算出最终结果。
【解析】
第一步：推导$f(x) + f(\frac{1}{x})$的结果：
已知$f(x)=\frac{x^2}{1+x^2}$，则$f(\frac{1}{x})=\frac{(\frac{1}{x})^2}{1+(\frac{1}{x})^2}$，对$f(\frac{1}{x})$化简：
分子分母同乘$x^2$得：$f(\frac{1}{x})=\frac{1}{x^2 + 1}$
因此$f(x)+f(\frac{1}{x})=\frac{x^2}{1+x^2}+\frac{1}{1+x^2}=\frac{x^2+1}{1+x^2}=1$
第二步：统计所求式子的项：
所求式子中，$f(1)=\frac{1^2}{1+1^2}=\frac{1}{2}$，剩下的项从$f(2)$到$f(\frac{1}{n})$共有$(n-1)$对，每对的和为1，总和为$(n-1)×1=n-1$
第三步：计算最终结果：
原式$=\frac{1}{2} + (n-1) = n - \frac{1}{2}$
【答案】
$n-\dfrac{1}{2}$
【知识点】
新定义运算，分式化简，规律探究
【点评】
本题属于新定义类的规律探究题，解题核心是先通过代数运算得出$f(x)$与$f(\frac{1}{x})$的和为定值1的规律，再采用分组求和的方法简化计算，避免了逐一计算各项的繁琐，很好地考察了观察归纳能力与代数运算能力。
【难度系数】
0.6
