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8.(2025·临颍模拟)已知a是一元二次方程$x^2 -3x -5=0$的较小的根，则下面对a的估值正确的是（
A.$-1.5 ＜ a ＜ -1$
B.$2 ＜ a ＜ 3$
C.$-4 ＜ a ＜ -3$
D.$4 ＜ a ＜ 5$
A
）A.$-1.5 ＜ a ＜ -1$
B.$2 ＜ a ＜ 3$
C.$-4 ＜ a ＜ -3$
D.$4 ＜ a ＜ 5$
答案
8.A
9. 已知$a^2 - 2ab - b^2 = 0(a≠0,b≠0)$，则代数式$\frac{a}{b}$的值为
$1±\sqrt{2}$
。答案
9.$1±\sqrt{2}$
10.用公式法解下列方程：
(1)$3x^2 - 1 = 4x$；
(2)$(x+1)(x-1)=2\sqrt{2}x$；
(3)$3x^2 + 2x=(x+2)^2$。
(1)$3x^2 - 1 = 4x$；
(2)$(x+1)(x-1)=2\sqrt{2}x$；
(3)$3x^2 + 2x=(x+2)^2$。
答案
10.解:(1)原方程化为$3x^2-4x-1=0$.
∵$b^2-4ac=(-4)^2-4×3×(-1)=28$,
∴$x=\frac{4±\sqrt{28}}{2×3}=\frac{2±\sqrt{7}}{3}$,
∴$x_1=\frac{2+\sqrt{7}}{3},x_2=\frac{2-\sqrt{7}}{3}$.
(2)原方程化为$x^2-2\sqrt{2}x-1=0$.
∵$b^2-4ac=(-2\sqrt{2})^2-4×1×(-1)=12$,
∴$x=\frac{2\sqrt{2}±\sqrt{12}}{2}$,
∴$x_1=\sqrt{2}+\sqrt{3},x_2=\sqrt{2}-\sqrt{3}$.
(3)原方程化为$x^2-x-2=0$.
∵$b^2-4ac=(-1)^2-4×1×(-2)=9$,
∴$x=\frac{1±\sqrt{9}}{2}$,
∴$x_1=2,x_2=-1$.
∵$b^2-4ac=(-4)^2-4×3×(-1)=28$,
∴$x=\frac{4±\sqrt{28}}{2×3}=\frac{2±\sqrt{7}}{3}$,
∴$x_1=\frac{2+\sqrt{7}}{3},x_2=\frac{2-\sqrt{7}}{3}$.
(2)原方程化为$x^2-2\sqrt{2}x-1=0$.
∵$b^2-4ac=(-2\sqrt{2})^2-4×1×(-1)=12$,
∴$x=\frac{2\sqrt{2}±\sqrt{12}}{2}$,
∴$x_1=\sqrt{2}+\sqrt{3},x_2=\sqrt{2}-\sqrt{3}$.
(3)原方程化为$x^2-x-2=0$.
∵$b^2-4ac=(-1)^2-4×1×(-2)=9$,
∴$x=\frac{1±\sqrt{9}}{2}$,
∴$x_1=2,x_2=-1$.
11. 用公式法解下列方程并求根的近似值.(结果精确到0.01,参考数据:$\sqrt{2}\approx1.414,\sqrt{3}\approx1.732,\sqrt{5}\approx2.236$)
(1)$x^2 - x -1=0$;
(2)$x^2 +2\sqrt{2}x -1=0.$
(1)$x^2 - x -1=0$;
(2)$x^2 +2\sqrt{2}x -1=0.$
答案
11.解:(1)
∵$b^2-4ac=(-1)^2-4×1×(-1)=5$,
∴$x=\frac{1±\sqrt{5}}{2}$,
∴$x_1≈1.62,x_2≈-0.62$.
(2)
∵$b^2-4ac=(2\sqrt{2})^2-4×1×(-1)=8+4=12$,
∴$x=\frac{-2\sqrt{2}±\sqrt{12}}{2}=-\sqrt{2}±\sqrt{3}$,
∴$x_1≈0.32,x_2≈-3.15$.
∵$b^2-4ac=(-1)^2-4×1×(-1)=5$,
∴$x=\frac{1±\sqrt{5}}{2}$,
∴$x_1≈1.62,x_2≈-0.62$.
(2)
∵$b^2-4ac=(2\sqrt{2})^2-4×1×(-1)=8+4=12$,
∴$x=\frac{-2\sqrt{2}±\sqrt{12}}{2}=-\sqrt{2}±\sqrt{3}$,
∴$x_1≈0.32,x_2≈-3.15$.
12. 我们规定一种运算：$\begin{vmatrix} a & c \\ b & d \end{vmatrix}=ad-bc$，例如，$\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{vmatrix}=2×5 - 3×4=10-12=-2$。当$\begin{vmatrix} x & 0.5 - x \\ 1 & 2x \end{vmatrix}=0$时，求$x$的值。
答案
12.解:由题意,得 $2x^2-1×(0.5-x)=0$,
整理,得 $4x^2+2x-1=0$,
解得 $x=\frac{-1+\sqrt{5}}{4}$或$x=\frac{-1-\sqrt{5}}{4}$.
整理,得 $4x^2+2x-1=0$,
解得 $x=\frac{-1+\sqrt{5}}{4}$或$x=\frac{-1-\sqrt{5}}{4}$.
13. 新定义 对于两个不相等的实数$a,b$，我们规定符号$\max\{a,b\}$表示$a,b$中的较大值，例如，$\max\{2,5\}=5$。按照这个规定，若$\max\{1,x\}=x^2 - 3$，求$x$的值。
答案
13.解:当$x＜1$时,由$\max\{1,x\}=x^2-3$,得$x^2-3=1$,
即$x^2=4$,
解得$x_1=2$(不合题意,舍去),$x_2=-2$.
当$x＞1$时,由$\max\{1,x\}=x^2-3$,得$x^2-3=x$,
即$x^2-x-3=0$,
解得$x_1=\frac{1+\sqrt{13}}{2},x_2=\frac{1-\sqrt{13}}{2}$(不合题意,舍去),
∴$x=-2$或$x=\frac{1+\sqrt{13}}{2}$.
即$x^2=4$,
解得$x_1=2$(不合题意,舍去),$x_2=-2$.
当$x＞1$时,由$\max\{1,x\}=x^2-3$,得$x^2-3=x$,
即$x^2-x-3=0$,
解得$x_1=\frac{1+\sqrt{13}}{2},x_2=\frac{1-\sqrt{13}}{2}$(不合题意,舍去),
∴$x=-2$或$x=\frac{1+\sqrt{13}}{2}$.
