13.(2025·盐城期末)关于$x$的一元二次方程$x^2 + x - k = 0$有两个不相等的实数根$x_1,x_2$.
(1)求$k$的取值范围；
(2)若两根$x_1,x_2$满足$x_1x_2 - 2(x_1 + x_2) = k^2$,求$k$的值.

13.解:(1)$\because$关于$x$的一元二次方程$x^2+x-k=0$有两个不相等的实数根$x_1,x_2$,
$\therefore\Delta=1^2-4×1×(-k)＞0$,解得$k＞-\frac{1}{4}$.
(2)$\because$关于$x$的一元二次方程$x^2+x-k=0$有两个不相等的实数根$x_1,x_2$,
$\therefore x_1+x_2=-1$,$x_1x_2=-k$.
$\because x_1x_2-2(x_1+x_2)=k^2$,$\therefore -k-2×(-1)=k^2$,
整理,得$k^2+k-2=0$,
$\therefore (k-1)(k+2)=0$,$\therefore k-1=0$或$k+2=0$,
解得$k_1=1$,$k_2=-2$(舍去).

14.已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - px +1=0$($p$为常数)有两个不相等的实数根$x_1$和$x_2$.
(1)填空:$x_1+x_2=$,$x_1x_2=$;
(2)求$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$,$x_1+\frac{1}{x_1}$的值;
(3)已知$x_1^2 +x_2^2=2p+1$,求$p$的值.

14.(1)$p\quad 1$
(2)解:$\because x_1+x_2=p$,$x_1x_2=1$,
$\therefore \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_2+x_1}{x_1x_2}=\frac{p}{1}=p$.
$\because$关于$x$的一元二次方程$x^2-px+1=0$($p$为常数)有两个不相等的实数根$x_1$和$x_2$,
$\therefore x_1^2-px_1+1=0$,$\therefore x_1-p+\frac{1}{x_1}=0$,即$x_1+\frac{1}{x_1}=p$.
(3)解:$\because x_1+x_2=p$,$x_1x_2=1$,
$x_1^2+x_2^2=2p+1$,$\therefore (x_1+x_2)^2-2x_1x_2=2p+1$,
$\therefore p^2-2=2p+1$,解得$p_1=3$,$p_2=-1$.
当$p=3$时,$\Delta=p^2-4=9-4=5＞0$;
当$p=-1$时,$\Delta=p^2-4=-3＜0$,$\therefore p=3$.