1. 已知二次函数$y=2x^2+bx+1$（$b$为常数），当$b$取不同的值时，对应得到一系列二次函数的图象，它们的顶点都在一条抛物线上，则这条抛物线的解析式是________；如果二次函数$y=2x^2+bx+1$图象的顶点只在$x$轴上方移动，那么$b$的取值范围是________。

1. $y=-2x^2+1$，$-2\sqrt{2}＜b＜2\sqrt{2}$
解析:$\because y=2x^2+bx+1$的顶点坐标是$(-\frac{b}{4},\frac{8-b^2}{8})$,设$x=-\frac{b}{4},y=\frac{8-b^2}{8},\therefore b=-4x,y=\frac{8-b^2}{8}=-2x^2+1$.若$y=2x^2+bx+1$图象的顶点只在$x$轴上方移动,$\because a=2＞0$,$\therefore$ 抛物线与$x$轴没有交点,$\therefore \Delta =b^2-8＜0$,解得$-2\sqrt{2}＜b＜2\sqrt{2}$.

2. 改编题 如图,经过点$A(0,-6)$的抛物线$y=\frac{1}{2}x^2 -2x -6$与$x$轴相交于$B,C$两点.现将抛物线向左平移1个单位长度,再向上平移$m(m＞0)$个单位长度得到新抛物线$y_1$,若新抛物线$y_1$的顶点$P$在$△ ABC$内(不含边界),则$m$的取值范围是.

2. $3＜m＜8$
解析:将抛物线$y=\frac{1}{2}x^2-2x-6$向左平移1个单位长度,再向上平移$m(m＞0)$个单位长度得到新抛物线$y_1=\frac{1}{2}(x-1)^2-8+m$,$\therefore P(1,-8+m)$.在抛物线$y=\frac{1}{2}x^2-2x-6$中易得$C(6,0)$,$\therefore$ 直线$AC$的解析式为$y_2=x-6$,当$x=1$时,$y_2=-5$,$\therefore -5＜-8+m＜0$,解得$3＜m＜8$.

3. 如图,在平面直角坐标系中,将函数 $y=\frac{1}{2}(x-3)^2+2$ 的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象,其中点$A(1,m),B(6,n)$平移后的对应点分别为点$A',B'$.若图中的阴影部分图形的面积为10,则新函数的解析式为.

3. $y=\frac{1}{2}(x-3)^2+4$
解析:如图,连接$AB,A'B'$,$\because$ 将函数$y=\frac{1}{2}(x-3)^2+2$的图象沿$y$轴向上平移得到一条新函数的图象,其中点$A(1,m),B(6,n)$平移后的对应点分别为点$A'$,$B'$,$\therefore AA'=BB'$,$AB=A'B'$,$\therefore$ 四边形$ABB'A'$是平行四边形,$\therefore S_{阴影}=S_{平行四边形ABB'A'}$.$\because$ 图中的阴影部分图形的面积为10,且$A(1,m),B(6,n)$,$\therefore AA'×(6-1)=10$,$\therefore AA'=2$,即函数$y=\frac{1}{2}(x-3)^2+2$的图象沿$y$轴向上平移了2个单位长度,$\therefore$ 新函数的解析式为$y=\frac{1}{2}(x-3)^2+2+2$,即$y=\frac{1}{2}(x-3)^2+4$.

4. (2025·南京中考)(1)将函数$y=-x^2+2$的图象向右平移2个单位长度,平移后的函数图象与y轴交点的纵坐标是.
(2)平移函数$y=-x^2+2$的图象,在这个过程中,它的顶点都在一次函数$y=kx+2$的图象上.设平移后的函数图象的顶点P的横坐标为m,与y轴交点的纵坐标为n,n随m的变化而变化.
①若$k=2$,当$0≤m≤3$时,求n的取值范围.
②设函数$y=kx+2$的图象与x轴、y轴的交点分别为A,B,点P在线段AB上.当k取不同值时,下列关于n的变化趋势的描述:(a)n随m的增大而增大;(b)n随m的增大而减小;(c)n随m的增大先增大后减小;(d)n随m的增大先减小后增大.其中,所有可能出现的序号是.(说明:全部填对的得满分,有填错的不得分)

4. (1) $-2$
解析:由“左加右减”的原则可知,将函数$y=-x^2+2$的图象向右平移2个单位长度,所得函数的解析式为$y=-(x-2)^2+2$,令$x=0$,则$y=-2$,即平移后的图象与$y$轴交点的坐标为$(0,-2)$.
(2)①由题意得平移后顶点$P$的坐标为$(m,km+2)$,
$\therefore$ 平移后的函数解析式为$y=-(x-m)^2+km+2$,
当$x=0$时,与$y$轴交点的纵坐标$n=-m^2+km+2$,
若$k=2$,则$n=-m^2+2m+2=-(m-1)^2+3$,
$\therefore n$是关于$m$的二次函数,二次函数的开口向下,对称轴为直线$m=1$.
$\because m=3$时,$n=-(3-1)^2+3=-1$,$m=1$时,$n=3$,
$\therefore$ 当$0≤ m≤ 3$时,$n$的取值范围是$-1≤ n≤ 3$.
②$(a)(b)$
解析:$\because$ 函数$y=kx+2$的图象与$x$轴、$y$轴的交点分别为$A,B$,$\therefore A(-\frac{2}{k},0)$,$B(0,2)$,$\therefore$ 当$k＜0$时,$0≤ m≤ -\frac{2}{k}$.$\because n=-m^2+km+2$,$\therefore$ 对称轴为直线$m=\frac{k}{2}＜0$,
$\therefore$ 当$m＞\frac{k}{2}$时,$n$随$m$的增大而减小.$\because \frac{k}{2}＜0≤ m$,$\therefore n$随$m$的增大而减小;当$k＞0$时,$-\frac{2}{k}≤ m≤ 0$,$\because n=-m^2+km+2$,
$\therefore$ 对称轴为直线$m=\frac{k}{2}＞0$.$\because m≤ 0＜\frac{k}{2}$,$\therefore n$随$m$的增大而增大.故可能的序号是$(a)(b)$.

5. 如图,将二次函数$y=|x^2 - m|(m＞0)$的图象记为$y_1$,一次函数$y=x+b$的图象记为$y_2$,则以下说法:①当$m=1$,且$y_1$与$y_2$恰好有三个交点时,$b$有唯一值为1;②当$b=2$,且$y_1$与$y_2$恰有两个交点时,$m＞4$或$0＜m＜\frac{7}{4}$;③当$m=b$时,$y_1$与$y_2$至少有两个交点,且其中一个为$(0,m)$;④当$m=-b$时,$y_1$与$y_2$一定有交点.其中正确说法的序号为.

5. ②③
解析:如图,$y_1=\begin{cases}x^2-m(x＞\sqrt{m}或x＜-\sqrt{m}),\\-x^2+m(-\sqrt{m}＜x＜\sqrt{m}),\end{cases}$ $y_2=x+b$.
①当$m=1$,直线与抛物线相切时也有三个交点,此时$b=\frac{5}{4}$,$\therefore b=1$或$b=\frac{5}{4}$,故①错误;②当$b=2$,$y_1$与$y_2$恰有两个交点时,由图象可知,有两种情况,一种是直线$y_2$与$y=x^2-m$有一个交点,且与$y=-x^2+m$有一个交点,此时$m＞4$,另一种是$y_2$与$y=x^2-m$有两个交点,联立方程,利用根的判别式得$0＜m＜\frac{7}{4}$,故②正确;③当$m=b$时,$y_1$与$y_2$均与$y$轴相交于点$(0,m)$,由图象可知$y_1$与$y_2$至少有两个交点,故③正确;④当$m=-b$时,$\because m＞0$,$\therefore b＜0$,由图象可知$y_1$与$y_2$不一定有交点(也可联立方程,用根的判别式来求),故④错误.