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16. (12分)(武汉中考)如图是由小正方形组成的$9×6$网格,每个小正方形的顶点叫作格点.$△ ABC$的三个顶点都是格点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图,画图过程用虚线表示.
(1)在图①中,D,E分别是边AB,AC与网格线的交点.先将点B绕点E旋转$180°$得到点F,画出点F,再在AC上画点G,使$DG// BC$;
(2)在图②中,P是边AB上一点,$∠ BAC=α$.先将AB绕点A逆时针旋转$2α$,得到线段AH,画出线段AH,再画点Q,使P,Q两点关于直线AC对称.
(1)在图①中,D,E分别是边AB,AC与网格线的交点.先将点B绕点E旋转$180°$得到点F,画出点F,再在AC上画点G,使$DG// BC$;
(2)在图②中,P是边AB上一点,$∠ BAC=α$.先将AB绕点A逆时针旋转$2α$,得到线段AH,画出线段AH,再画点Q,使P,Q两点关于直线AC对称.
答案
16. (1)如图①所示,点F,点G即为所求.(2)如图②所示,线段AH,点Q即为所求.
17. (14分)在平面直角坐标系中，O为原点，点A(4,0)，点B(0,3)，把△ABO绕点B逆时针旋转，得△A'BO'，点A，O旋转后的对应点为A'，O'，记旋转角为α.
(1)如图①，若α=90°，求AA'的长；
(2)如图②，若α=120°，求点O'的坐标；
(3)在(2)的条件下，边OA上的一点P旋转后的对应点为P'，当O'P+BP'取得最小值时，求点P'的坐标(直接写出结果即可).
(1)如图①，若α=90°，求AA'的长；
(2)如图②，若α=120°，求点O'的坐标；
(3)在(2)的条件下，边OA上的一点P旋转后的对应点为P'，当O'P+BP'取得最小值时，求点P'的坐标(直接写出结果即可).
答案
17. (1)
∵点A(4,0),点B(0,3),
∴OA=4,OB=3,
∴AB=$\sqrt{3^2+4^2}=5$.
∵△ABO绕点B逆时针旋转90°,得△A'BO',
∴BA=BA',∠ABA'=90°,
∴△ABA'为等腰直角三角形,
∴AA'=$\sqrt{2} BA=5\sqrt{2}$.(2)如图,作O'H⊥y轴于点H,
∵△ABO绕点B逆时针旋转120°,得△A'BO',
∴BO=BO'=3,∠OBO'=120°,
∴∠HBO'=60°.在Rt△BHO'中,
∵∠BO'H=90°-∠HBO'=30°,
∴BH=$\frac{1}{2} BO'=\frac{3}{2}$,
∴O'H=$\sqrt{3} BH=\frac{3\sqrt{3}}{2}$,
∴OH=OB+BH=3+$\frac{3}{2}=\frac{9}{2}$,
∴点O'的坐标为$(\frac{3\sqrt{3}}{2},\frac{9}{2})$.
(3)$(\frac{6\sqrt{3}}{5},\frac{27}{5})$ 解析:∵△ABO绕点B逆时针旋转120°,得△A'BO',点P的对应点为P',
∴BP=BP',
∴O'P+BP'=O'P+BP.作点B关于x轴的对称点C,连接O'C交x轴于点P,如图,则O'P+BP'=O'P+PC=O'C,此时O'P+BP'的值最小.
∵点C与点B关于x轴对称,
∴C(0,-3).设直线O'C的解析式为y=kx+b,把$O'(\frac{3\sqrt{3}}{2},\frac{9}{2})$,C(0,-3)代入,得$\begin{cases} \frac{3\sqrt{3}}{2}k+b=\frac{9}{2}, \\ b=-3, \end{cases}$解得$\begin{cases} k=\frac{5\sqrt{3}}{3}, \\ b=-3, \end{cases}$
∴直线O'C的解析式为$y=\frac{5\sqrt{3}}{3}x-3$.当y=0时,$\frac{5\sqrt{3}}{3}x-3=0$,解得$x=\frac{3\sqrt{3}}{5}$,则$P(\frac{3\sqrt{3}}{5},0)$,
∴$OP=\frac{3\sqrt{3}}{5}$,
∴$O'P'=OP=\frac{3\sqrt{3}}{5}$.作P'D⊥O'H于点D,
∵∠BO'A'=∠BOA=90°,∠BO'H=30°,
∴∠DP'O'=30°,
∴O'D=$\frac{1}{2} O'P'=\frac{3\sqrt{3}}{10}$,
∴P'D=$\sqrt{3} O'D=\frac{9}{10}$,
∴DH=O'H-O'D=$\frac{3\sqrt{3}}{2}-\frac{3\sqrt{3}}{10}=\frac{6\sqrt{3}}{5}$,$HO+DP'=\frac{9}{2}+\frac{9}{10}=\frac{27}{5}$.
∴点P'的坐标为$(\frac{6\sqrt{3}}{5},\frac{27}{5})$.
18. (14分)(郴州中考)如图①,△ABC是边长为4 cm的等边三角形,边AB在射线OM上,且OA=6 cm,点D从O点出发,沿OM的方向以1 cm/s的速度运动,当点D不与点A重合时,将△ACD绕点C按逆时针方向旋转60°得到△BCE,连接DE.
(1)求证:△CDE是等边三角形.
(2)如图②,当6＜t＜10时,△BDE的周长是否存在最小值?若存在,求出△BDE的最小周长;若不存在,请说明理由.
(3)如图③,当点D在射线OM上运动时,是否存在以D,E,B为顶点的三角形是直角三角形?若存在,求出此时的t值;若不存在,请说明理由.
(1)求证:△CDE是等边三角形.
(2)如图②,当6＜t＜10时,△BDE的周长是否存在最小值?若存在,求出△BDE的最小周长;若不存在,请说明理由.
(3)如图③,当点D在射线OM上运动时,是否存在以D,E,B为顶点的三角形是直角三角形?若存在,求出此时的t值;若不存在,请说明理由.
答案
18. (1)
∵将△ACD绕点C按逆时针方向旋转60°得到△BCE,
∴∠DCE=60°,DC=EC,
∴△CDE是等边三角形.(2)存在.当6＜t＜10时,由旋转的性质,得BE=AD,
∴$C_{△DBE}=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE$.由(1)知,△CDE是等边三角形,
∴DE=CD,
∴$C_{△DBE}=CD+4$.由垂线段最短可知,当CD⊥AB时,△BDE的周长最小,此时$CD=2\sqrt{3}$ cm,
∴△BDE的最小周长为$CD+4=(2\sqrt{3}+4)$cm.(3)存在.①
∵当点D与点B重合时,点D,B,E不能构成三角形,
∴当点D与点B重合时,不符合题意;②当0≤t＜6时,由旋转可知,∠ABE=60°,∠BDE＜60°,
∴∠BED=90°.由(1)可知,△CDE是等边三角形,
∴∠DEC=60°,
∴∠CEB=30°.
∵∠CEB=∠CDA,
∴∠CDA=30°.
∵∠CAB=60°,
∴∠ACD=∠ADC=30°,
∴DA=CA=4 cm,
∴OD=OA-DA=6-4=2(cm),
∴t=2÷1=2(s);③当6＜t＜10时,
∵∠DBE=120°＞90°,
∴此时不符合题意;④当t＞10时,由旋转的性质可知,∠DBE=60°,又由(1)知∠CDE=60°,
∴∠BDE=∠CDE+∠BDC=60°+∠BDC.而∠BDC＞0°,
∴∠BDE＞60°,
∴只能是∠BDE=90°,从而∠BCD=∠BDC=30°,
∴BD=BC=4 cm,
∴OD=14 cm,
∴t=14÷1=14(s).综上所述,当t=2 s或14 s时,以D,E,B为顶点的三角形是直角三角形.
∵将△ACD绕点C按逆时针方向旋转60°得到△BCE,
∴∠DCE=60°,DC=EC,
∴△CDE是等边三角形.(2)存在.当6＜t＜10时,由旋转的性质,得BE=AD,
∴$C_{△DBE}=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE$.由(1)知,△CDE是等边三角形,
∴DE=CD,
∴$C_{△DBE}=CD+4$.由垂线段最短可知,当CD⊥AB时,△BDE的周长最小,此时$CD=2\sqrt{3}$ cm,
∴△BDE的最小周长为$CD+4=(2\sqrt{3}+4)$cm.(3)存在.①
∵当点D与点B重合时,点D,B,E不能构成三角形,
∴当点D与点B重合时,不符合题意;②当0≤t＜6时,由旋转可知,∠ABE=60°,∠BDE＜60°,
∴∠BED=90°.由(1)可知,△CDE是等边三角形,
∴∠DEC=60°,
∴∠CEB=30°.
∵∠CEB=∠CDA,
∴∠CDA=30°.
∵∠CAB=60°,
∴∠ACD=∠ADC=30°,
∴DA=CA=4 cm,
∴OD=OA-DA=6-4=2(cm),
∴t=2÷1=2(s);③当6＜t＜10时,
∵∠DBE=120°＞90°,
∴此时不符合题意;④当t＞10时,由旋转的性质可知,∠DBE=60°,又由(1)知∠CDE=60°,
∴∠BDE=∠CDE+∠BDC=60°+∠BDC.而∠BDC＞0°,
∴∠BDE＞60°,
∴只能是∠BDE=90°,从而∠BCD=∠BDC=30°,
∴BD=BC=4 cm,
∴OD=14 cm,
∴t=14÷1=14(s).综上所述,当t=2 s或14 s时,以D,E,B为顶点的三角形是直角三角形.
