10. (2026·大连期末)如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=70°,P是BC边上任意一点,以点A为中心,把△ABP逆时针旋转得到△ACQ,则∠PAQ=°.

10. 40 解析:
∵AB=AC,∠B=70°,
∴∠BAC=180°-2∠B=40°,由旋转得∠CAQ=∠BAP,
∴∠CAQ+∠CAP=∠BAP+∠CAP,即∠PAQ=∠BAC,
∴∠PAQ=40°.

11.(2026·信阳期中)如图,等腰直角三角形ABC与等腰直角三角形DBE关于点B中心对称,P为AC的中点,Q为点P的对称点.若AC=4,则P,Q两点间的距离为.

11. 4 解析:由题意知,点P和点Q关于点B对称,连接PQ,则PQ一定过点B,且BP=BQ.
∵△ABC和△DBE是等腰直角三角形,P为AC的中点,
∴BP=$\frac{1}{2}$ AC=2,由对称性知BQ=$\frac{1}{2}$ DE=2,
∴PQ=2BP=4.

12.（烟台中考改编）如图，A点的坐标为(-1,5),B点的坐标为(3,3),C点的坐标为(5,3),D点的坐标为(3,-1),小明发现:线段AB与线段CD存在一种特殊关系,即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段,你认为这个旋转中心的坐标是.

（第12题）（第13题）

12. (1,1)或(4,4) 解析:①当点A的对应点为点C时,分别作线段AC,BD的垂直平分线交于点E,如图①所示,
∴此时旋转中心的坐标为(1,1);②当点A的对应点为点D时,分别作线段AD,BC的垂直平分线交于点M,如图②所示,
∴此时旋转中心的坐标为(4,4).

13.（宿迁中考）如图，$△ ABC$是正三角形，点A在第一象限，点$B(0,0),C(1,0)$.将线段$CA$绕点C按顺时针方向旋转$120°$至$CP_1$；将线段$BP_1$绕点B按顺时针方向旋转$120°$至$BP_2$；将线段$AP_2$绕点A按顺时针方向旋转$120°$至$AP_3$；将线段$CP_3$绕点C按顺时针方向旋转$120°$至$CP_4$……以此类推，则点$P_{99}$的坐标是________.

13. $(-49,50\sqrt{3})$ 解析:如图①所示,由图象可得,点$P_1,P_4$在x轴的正半轴上,
∴旋转3次为一个循环.
∵99÷3=33,
∴点$P_{99}$在射线CA上,
∴点$P_{100}$在x轴的正半轴上.
∵C(1,0),△ABC是正三角形,
∴由旋转的性质可得,AC=CP₁=1,
∴BP₁=OC+CP₁=2,
∴P₁(2,0),
∴BP₂=BP₁=2,
∴AP₃=AP₂=OP₂+AO=3,
∴CP₄=CP₃=CA+AP₃=1+3=4,
∴BP₄=BC+CP₄=5,
∴P₄(5,0),
∴同理可得,P₇(8,0),P₁₀(11,0),
∴$P_{100}(101,0)$,
∴$BP_{100}=101$,
∴$CP_{100}=101-1=100$,
∴由旋转的性质可得,$CP_{99}=100$.如图②所示,过点$P_{99}$作$P_{99}E⊥x$轴于点E,
∵∠ACB=60°,
∴∠EP₉₉C=30°,
∴EC=$\frac{1}{2} P_{99}C=50$,
∴EO=EC-OC=49,$P_{99}E=\sqrt{P_{99}C^2-EC^2}=50\sqrt{3}$,
∴点$P_{99}$的坐标是$(-49,50\sqrt{3})$.

14. (2024·盐城中考)如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AC=BC=2\sqrt{2}$,点D是AC的中点,连接BD,将$△ BCD$绕点B旋转,得到$△ BEF$.连接CF,当$CF// AB$时,$CF=$.

14. $2+\sqrt{6}$或$\sqrt{6}-2$ 解析:
∵在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=$2\sqrt{2}$,
∴∠CAB=∠CBA=45°,AB=$\sqrt{2} AC=4$.
∵点D是AC的中点,
∴AD=CD=$\frac{1}{2} AC=\sqrt{2}$,
∴在Rt△BCD中,$BD=\sqrt{CD^2+BC^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2+(2\sqrt{2})^2}=\sqrt{10}$.
∵将△BCD绕点B旋转得到△BEF,
∴△BCD≌△BEF,
∴BD=BF=$\sqrt{10}$,EF=CD=$\sqrt{2}$,BC=BE=$2\sqrt{2}$.分情况讨论:如图①所示,过点B作BG⊥CF,垂足为G,
∵CF//AB,
∴∠FCB=∠CBA=45°,
∴△BCG是等腰直角三角形,且BC=$2\sqrt{2}$,
∴CG=BG=$\frac{\sqrt{2}}{2} BC=\frac{\sqrt{2}}{2} ×2\sqrt{2}=2$.在Rt△BFG中,$FG=\sqrt{BF^2-BG^2}=\sqrt{(\sqrt{10})^2-2^2}=\sqrt{6}$,
∴CF=CG+FG=$2+\sqrt{6}$;如图②所示,当点D运动到点F'时,此时CF'//AB,同理可得,GF'=$\sqrt{6}$,CG=2,
∴CF'=$\sqrt{6}-2$.

三、解答题(共52分)
15.(12分)(临沂中考改编)将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α(0°＜α＜180°),得到矩形AEFG.
(1)如图,当点E在BD上时,求证:FD=CD.
(2)当α为何值时,GC=GB?画出图形,并说明理由.

备用图

15. (1)由旋转可得,AE=AB,∠AEF=∠ABC=∠DAB=90°,EF=BC=AD,
∴∠AEB=∠ABE.又
∵∠ABE+∠EDA=90°=∠AEB+∠DEF,
∴∠EDA=∠DEF.又
∵DE=ED,
∴△AED≌△FDE,
∴AE=FD.又
∵AE=AB=CD,
∴FD=CD.(2)如图,当α=60°时,GC=GB,理由如下:取BC的中点H,连接GH交AD于点M,连接GD.
∵GC=GB,
∴GH⊥BC,
∴四边形ABHM是矩形,
∴AM=BH=$\frac{1}{2} AD=\frac{1}{2} AG$,
∴GM垂直平分AD,
∴GD=GA=DA,
∴△ADG是等边三角形,
∴∠DAG=60°,
∴旋转角α=60°.