1[2025内蒙古呼和浩特质检,中]已知正方形ABCD的对称中心在坐标原点,顶点A,B,C,D按逆时针方向依次排列,若点A的坐标为$(2,\sqrt{3})$,则点B与点D的坐标分别为 ()

A.$(-2,\sqrt{3}),(2,-\sqrt{3})$
B.$(-\sqrt{3},2),(\sqrt{3},-2)$
C.$(-\sqrt{3},2),(2,-\sqrt{3})$
D.$(-\frac{\sqrt{7}}{2},\frac{\sqrt{21}}{2}),(\frac{\sqrt{7}}{2},-\frac{\sqrt{21}}{2})$

1. B 【解析】根据题意画出正方形 $ABCD$,如图,连接 $OA,OD$,过点 $A$ 作 $AF⊥x$ 轴于点 $F$,过点 $D$ 作 $DE⊥x$ 轴于点 $E$,易证 $△AFO≌△OED. ∵ A(2,\sqrt{3}), ∴ OE = AF = \sqrt{3}$, $DE=OF=2,∴ D(\sqrt{3},-2). ∵ B,D$ 关于原点对称,
∴ $B(-\sqrt{3},2)$. 故选 B.

思路分析
连接 $OA,OD$,过点 $A$ 作 $AF⊥x$ 轴于点 $F$,过点 $D$ 作 $DE⊥x$ 轴于点 $E$,易证$△AFO≌△OED$,则 $OE = AF,DE = OF$,进而可得点 $D$ 的坐标,根据 $B,D$ 关于原点对称,可得点 $B$ 的坐标.

2[中]在平面直角坐标系中，一颗棋子从点$P(-3,2)$处开始跳动，第1次跳到点$P$关于$x$轴的对称点$P_1$处，第2次跳到点$P_1$关于$y$轴的对称点$P_2$处，第3次跳到点$P_2$关于原点的对称点$P_3$处，…，如此循环下去，那么跳动2026次时，棋子落点处的坐标是。

2. $(-3,-2)$ 【解析】点 $P$ 的坐标是 $(-3,2)$,第 1 次跳到点 $P$ 关于 $x$ 轴的对称点 $P_1$ 处,即 $P_1(-3,-2)$,第 2 次跳到点 $P_1$ 关于 $y$ 轴的对称点 $P_2$ 处,即 $P_2(3,-2)$,第 3 次跳到点 $P_2$ 关于原点的对称点 $P_3$ 处,即 $P_3(-3,2)$,…,如此循环下去,发现每跳 3 次为一个循环. 又
∵ $2026÷3=675······1$,
∴ 跳动 2 026 次时,棋子落点处的坐标为点 $P_1$ 的坐标,
∴ 落点处的坐标是 $(-3,-2)$.
关键点拨
解答本题的关键是找到循环的规律,然后进行计算.

3[2026广东佛山期末,中]如图,在平面直角坐标系中,A(2,7),B(-5,0),C(0,-1).
(1)请画出△ABC.
(2)请画出△ABC关于原点对称的△A₁B₁C₁.
(3)根据画出的图形,回答下列问题:
①△ABC的面积是;
②若点P(a,b)在△ABC的内部,则它在△A₁B₁C₁内部的对应点的坐标为;
③△ABC和△A₁B₁C₁重叠部分的面积为.

刷素养 走向重高

3.【解】(1)如图,$△ABC$ 即为所求.

(2)如图,$△A_1B_1C_1$ 即为所求.
(3)①$7×8-\dfrac{1}{2}×2×8-\dfrac{1}{2}×7×7-\dfrac{1}{2}×5×1=56-8-24.5-2.5=21$,
∴ $△ABC$ 的面积是 21,故答案为 21.
②根据关于原点对称的点的坐标特征可知,若点 $P(a,b)$ 在 $△ABC$ 的内部,则它在 $△A_1B_1C_1$ 内部的对应点的坐标为 $(-a,-b)$,故答案为 $(-a,-b)$.
③如图,设直线 $AC$ 与直线 $B_1C_1$ 的交点为 $K$. 由 $A(2,7),C(0,-1)$ 易得直线 $AC$ 的解析式为 $y=4x-1$,由 $B_1(5,0),C_1(0,1)$ 易得直线 $B_1C_1$ 的解析式为 $y=-\dfrac{1}{5}x+1$,联立 $\begin{cases}y=4x-1,\\y=-\dfrac{1}{5}x+1,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x=\dfrac{10}{21},\\y=\dfrac{19}{21},\end{cases}$
∴ $K(\dfrac{10}{21},\dfrac{19}{21})$.
∵ $C(0,-1),C_1(0,1)$,
∴ $CC_1=2,∴ S_{△KCC_1}=\dfrac{1}{2}×2×\dfrac{10}{21}=\dfrac{10}{21}$. 由对称性可知, $△ABC$ 和 $△A_1B_1C_1$ 重叠部分的面积为 $2×\dfrac{10}{21}=\dfrac{20}{21}$,故答案为 $\dfrac{20}{21}$.

4 思想方法数形结合[较难]定义:若两个函数的图象关于某一点Q中心对称,则称这两个函数关于点Q互为"对称函数".例如,函数$y=x^2$与$y=-x^2$关于原点O互为"对称函数".
(1)函数$y=-x+1$关于原点O的"对称函数"的函数解析式为,函数$y=(x-2)^2+1$关于原点O的"对称函数"的函数解析式为;
(2)已知函数$y=x^2-2x$与函数G关于点Q(0,1)互为"对称函数",若函数$y=x^2-2x$与函数G的函数值y都随自变量x的增大而减小,求x的取值范围;
(3)已知点A(0,1),点B(4,1),点C(2,0),二次函数$y=ax^2-2ax-3a(a＞0)$与函数N关于点C互为"对称函数",将二次函数$y=ax^2-2ax-3a(a＞0)$与函数N的图象组成的图形记为W,若图形W与线段AB恰有2个公共点,求a的取值范围.

4.【解】(1)根据题意得互为“对称函数”的两个函数图象上的点分别关于某一点成中心对称. 设函数 $y=-x+1$ 图象上的任一点为 $(x,y)$,则它关于原点 $O$ 的对称点为 $(-x,-y)$. 将 $(-x,-y)$ 代入函数 $y=-x+1$ 得 $-y=x+1$,
∴ $y=-x-1$,
∴ 函数 $y=-x+1$ 关于原点 $O$ 的“对称函数”的函数解析式为 $y=-x-1$. 同理,设函数 $y=(x-2)^2+1$ 图象上的任一点为 $(x,y)$,则它关于原点 $O$ 的对称点为 $(-x,-y)$. 将 $(-x,-y)$ 代入函数 $y=(x-2)^2+1$ 得 $y=-(x+2)^2-1$,
∴ 函数 $y=(x-2)^2+1$ 关于原点 $O$ 的“对称函数”的函数解析式为 $y=-(x+2)^2-1$.
故答案为 $y=-x-1$,$y=-(x+2)^2-1$.
(2)函数 $y=x^2-2x$ 图象的顶点坐标为 $(1,-1)$,点 $(1,-1)$ 关于点 $Q(0,1)$ 的对称点为 $(-1,3)$.
∵ 函数 $y=x^2-2x$ 与函数 $G$ 关于点 $Q(0,1)$ 互为“对称函数”,
∴ 函数 $G$ 的解析式为 $y=-(x+1)^2+3$. 如图(1),函数 $y=x^2-2x$ 与函数 $G$ 的图象如图所示.

∵ 函数 $G$ 的图象开口向下,
∴ 在对称轴的右侧 $y$ 随自变量 $x$ 的增大而减小.
∵ 函数 $y=x^2-2x$ 的图象开口向上,
∴ 在对称轴的左侧 $y$ 随自变量 $x$ 的增大而减小,
∴ 函数 $y=x^2-2x$ 与函数 $G$ 的函数值 $y$ 都随自变量 $x$ 的增大而减小时,自变量 $x$ 的取值范围为 $-1＜x＜1$.
(3)对于 $y=ax^2-2ax-3a$,令 $y=0$,则 $ax^2-2ax-3a=0$,解得 $x_1=-1$,$x_2=3$,
∴ 二次函数 $y=ax^2-2ax-3a(a＞0)$ 的图象与 $x$ 轴的交点为 $(-1,0)$ 和 $(3,0)$.
①当函数 $N$ 的图象的顶点在线段 $AB$ 上时,如图(2).

∵ $y=ax^2-2ax-3a=a(x-1)^2-4a$,
∴ 二次函数 $y=ax^2-2ax-3a$ 的图象的对称轴为直线 $x=1$.
∵ 点 $C(2,0)$ 为对称中心,
∴ 函数 $N$ 的图象的对称轴为直线 $x=3$,
∴ 函数 $N$ 的图象的顶点坐标为 $(3,1)$.
∵ 点 $(3,1)$ 关于点 $C(2,0)$ 对称的点为 $(1,-1)$,
∴ 将 $(1,-1)$ 代入 $y=ax^2-2ax-3a$ 得 $a-2a-3a=-1$,
∴ $a=\dfrac{1}{4}$.
②当两个函数图象的交点在线段 $AB$ 上时,如图(3).
∵ 二次函数 $y=ax^2-2ax-3a$ 的图象与 $x$ 轴的交点为 $(-1,0)$ 和 $(3,0)$,点 $C(2,0)$ 为对称中心,
∴ 函数 $N$ 的图象与 $x$ 轴的交点为 $(5,0)$ 和 $(1,0)$,
∴ 函数 $N$ 的解析式为 $y=-ax^2+6ax-5a$.
当 $y=1$ 时,$\begin{cases}ax^2-2ax-3a=1,\\-ax^2+6ax-5a=1,\end{cases}$
∴ $a=\dfrac{\sqrt{3}}{6}$.

③当函数 $N$ 的图象经过点 $B$ 时,如图(4).

将 $B(4,1)$ 代入 $y=-ax^2+6ax-5a$,得 $1=-a×16+6a×4-5a$,解得 $a=\dfrac{1}{3}$.
综上,图形 $W$ 与线段 $AB$ 恰有 2 个公共点时,$a$ 的取值范围为 $a=\dfrac{1}{4}$ 或 $a=\dfrac{\sqrt{3}}{6}$ 或 $a＞\dfrac{1}{3}$.
思路分析
(3)利用分类讨论的方法分三种情况讨论:①当函数$N$的图象的顶点在线段$AB$上时,求得函数$N$的图象的顶点坐标,利用对称性求得对称点的坐标,利用待定系数法即可求解;②当两个函数图象的交点在线段$AB$上时,利用函数$N$的图象与$x$轴的交点坐标,求出函数$N$的解析式,令$y=1$,即可求得$a$值;③当函数$N$的图象经过点$B$时,将点$B$的坐标代入函数$N$的解析式,并结合图象即可确定$a$的取值范围.