8.(2025·兴化期末)如图①,在平面直角坐标系中,一次函数$y=k_1x+b$的图象与反比例函数$y=\frac{k_2}{x}$的图象交于$A(4,-2),B(-2,n)$两点,与$x$轴交于点$C$.
(1)求$k_2,n$的值;
(2)请直接写出不等式$k_1x+b＜\frac{k_2}{x}$的解集;
(3)如图②,将点$A$沿$y$轴翻折,落在点$A'$处,连接$A'B,A'C,A'B$与$x$轴交于点$D$,求$△ A'BC$的面积.

8.解:(1)将$A(4,-2)$代入$y=\frac{k_2}{x}$,得$-2=\frac{k_2}{4}$,$\therefore k_2=-8$,
$\therefore y=-\frac{8}{x}$,将$(-2,n)$代入$y=-\frac{8}{x}$,得$n=-\frac{8}{-2}=4$.
(2)根据函数图象可知,
不等式的解集为$-2＜x＜0$或$x＞4$.
(3)将$A(4,-2),B(-2,4)$代入$y=k_1x+b$,得
$\begin{cases}4k_1+b=-2,\\-2k_1+b=4,\end{cases}$解得$\begin{cases}k_1=-1,\\b=2,\end{cases}$
$\therefore$一次函数的解析式为$y=-x+2$,令$y=0$,则$-x+2=0$,
$\therefore x=2$,$\therefore C(2,0)$.
点A沿y轴翻折后,得$A'(-4,-2)$.
设直线$A'B$的函数解析式为$y=mx+n$,
将$A'(-4,-2),B(-2,4)$代入$y=mx+n$,
得$\begin{cases}-4m+n=-2,\\-2m+n=4,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=3,\\n=10,\end{cases}$
$\therefore$直线$A'B$的函数解析式为$y=3x+10$.
令$y=0$,则$3x+10=0$,解得$x=-\frac{10}{3}$,
$\therefore D(-\frac{10}{3},0)$,
$\therefore DC=2+\frac{10}{3}=\frac{16}{3}$,$S_{△ A'BC}=S_{△ A'DC}+S_{△ BDC}=\frac{1}{2}×\frac{16}{3}×2+\frac{1}{2}×\frac{16}{3}×4=16$,
$\therefore△ A'BC$的面积为16.

9. 如图, 在 $△ ABC$ 中, $AC = BC$, $∠ ACB = 90°$, $A(-2,0)$, $C(6,0)$, 反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0)$ 的图象与 $AB$ 交于点 $D(m,4)$,与 $BC$ 交于点 $E$.
(1)求 $m,k$ 的值;
(2)$P$ 为反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0)$ 图象上一动点(点 $P$ 在点 $D,E$ 之间运动,不与点 $D,E$ 重合),过点 $P$ 作 $PM // AB$,交 $y$ 轴于点 $M$,作 $PN // x$ 轴,交 $BC$ 于点 $N$,连接 $MN$,求 $△ PMN$ 面积的最大值,并求出此时点 $P$ 的坐标.

9.解:(1)$\because A(-2,0),C(6,0),\therefore AC=8$.
又$\because AC=BC=8,∠ ACB=90°,\therefore B(6,8)$.
设直线AB的函数解析式为$y=ax+b$,将$(-2,0)$,$(6,8)$代入,得
$\begin{cases}-2a+b=0,\\6a+b=8,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=1,\\b=2,\end{cases}$
$\therefore$直线AB的函数解析式为$y=x+2$,
$\therefore$将$(m,4)$代入$y=x+2$,得$m=2$,$\therefore D(2,4)$.
将$(2,4)$代入反比例函数的解析式$y=\frac{k}{x}$,得$4=\frac{k}{2}$,解得$k=8$.
(2)延长NP交y轴于点Q,交AB于点L,如答图.
$\because AC=BC,∠ BCA=90°,\therefore ∠ BAC=45°$.
$\because PN// x$轴,$\therefore ∠ BLN=∠ BAC=45°,∠ NQM=90°$.
$\because AB// MP,\therefore ∠ MPL=∠ BLP=45°$,
$\therefore ∠ QMP=∠ QPM=45°,\therefore QM=QP$.
设点P的坐标为$(t,\frac{8}{t})$,
则$PQ=t,PN=6-t,MQ=PQ=t$,
$\therefore S_{△ PMN}=\frac{1}{2}PN· MQ=\frac{1}{2}(6-t)· t=-\frac{1}{2}(t-3)^2+\frac{9}{2}$,
$\therefore$当$t=3$时,$S_{△ PMN}$有最大值,为$\frac{9}{2}$,此时$P(3,\frac{8}{3})$.