8.「2026浙江衢州期中，★☆」如图，在四边形ABCD中，AB=AD=12，BC=DC，∠A=60°，点E在AD上，连接BD，CE相交于点F，CE//AB。若CE=7，则EF的长为（）

A.6
B.5
C.4
D.3

如图,连接$AC$交$BD$于点$G$,
$\because AB=AD=12$,$∠ BAD=60°$,$\therefore △ ABD$是等边三角形,$\therefore ∠ BAD = ∠ ABD = ∠ ADB=60°$,
$\because AB=AD$,$BC=DC$,
$\therefore AC$垂直平分$BD$,
$\therefore ∠ BAC=∠ DAC=60°÷2=30°$,
$\because CE// AB$,$\therefore ∠ ACE=∠ BAC=30°=∠ DAC$,
$\therefore AE=CE=7$,$\therefore DE=AD-AE=12-7=5$,
$\because EF// AB$,$\therefore ∠ EFD=∠ ABD=60°$,$∠ FED=∠ BAD=60°$,
$\therefore △ DEF$是等边三角形,$\therefore EF=DE=5$.故选B.

9.「2026广东广州期中，★★★」如图，点B在AC上，在直线AC的同一侧分别作两个等边$△ ABD$和$△ BCE$，连接$AE$，$CD$，$BH$，$GF$，有以下结论：①$△ ABE ≌ △ DBC$；②$AG=DH$；③$HB$平分$∠ AHC$；④$△ GBF$是等边三角形。其中正确的是________（填序号）。

答案 ①③④
解析 $\because △ ABD$,$△ BCE$都是等边三角形,
$\therefore BC=BE$,$∠ ABD=∠ EBC=60°$,$BA=BD$,
$\therefore ∠ DBF=180°-∠ ABD-∠ EBC=60°$,$∠ ABE=∠ DBC$,
在$△ ABE$和$△ DBC$中,$\begin{cases} BA=BD, \\ ∠ ABE=∠ DBC, \\ BE=BC, \end{cases}$
$\therefore △ ABE≌ △ DBC(\mathrm{SAS})$,故①正确,
$\because △ ABE≌ △ DBC$,
$\therefore ∠ BAE=∠ BDC$,
在$△ AGB$和$△ DFB$中,$\begin{cases} ∠ BAG=∠ BDF, \\ AB=DB, \\ ∠ ABG=∠ DBF=60°, \end{cases}$
$\therefore △ AGB≌ △ DFB(\mathrm{ASA})$,$\therefore AG=DF＞DH$,故②错误;
如图,过点$B$作$BN⊥ CD$于点$N$,$BM⊥ AE$于点$M$,

$\because △ ABE≌ △ DBC$,$\therefore AE=CD$,$S_{△ ABE}=S_{△ DBC}$,$\because BN⊥ CD$,$BM⊥ AE$,$\therefore \frac{1}{2}AE· BM=\frac{1}{2}CD· BN$,$\therefore BM=BN$,
$\therefore HB$平分$∠ AHC$,故③正确;
$\because △ AGB≌ △ DFB$,$\therefore GB=FB$,
又$\because ∠ GBF=60°$,$\therefore △ GBF$是等边三角形,故④正确.
综上所述,结论正确的是①③④.

10. 聚焦中考 过程性学习「2026北京朝阳期中，★☆」
(1)如图①，△ABC为等边三角形，DE//BC，分别交AB，AC于点D，E.求证：△ADE为等边三角形.针对此题，有如下的证明方法：

请你用另一种方法证明此题.

(2)如图②，△ABC，△ADE都是等边三角形，连接CE，且点D，E，C在同一条直线上，连接BD，求证：BD=CE.

(1)证明 $\because △ ABC$为等边三角形,
$\therefore ∠ B=∠ C=∠ A=60°$.
$\because DE// BC$,$\therefore ∠ ADE=∠ B$,$∠ AED=∠ C$,
$\therefore ∠ ADE=∠ AED$,$\therefore AD=AE$,$\therefore △ ADE$为等腰三角形.
又$\because ∠ A=60°$,$\therefore △ ADE$为等边三角形.
(2)$\because △ ABC$,$△ ADE$都是等边三角形,
$\therefore AB=AC$,$AD=AE$,$∠ BAC=∠ DAE=60°$,
$\because ∠ DAB=∠ DAE-∠ BAE$,$∠ EAC=∠ BAC-∠ BAE$,
$\therefore ∠ DAB=∠ EAC$.
在$△ DAB$和$△ EAC$中,$\begin{cases} DA=EA, \\ ∠ DAB=∠ EAC, \\ AB=AC, \end{cases}$
$\therefore △ DAB≌ △ EAC(\mathrm{SAS})$,$\therefore BD=CE$.

11. 核心素养 几何直观 「2026广东中山期中」如图所示，$△ ABC$和$△ ACD$都是边长为4厘米的等边三角形，两个动点$P,Q$同时从$A$点出发，点$P$以1厘米/秒的速度沿$A→C→B$的方向运动，点$Q$以2厘米/秒的速度沿$A→B→C→D$的方向运动，当点$Q$运动到$D$点时，$P,Q$两点同时停止运动。设$P,Q$运动的时间为$t$秒。
(1)点$P,Q$从出发到相遇所用时间是秒。
(2)当$t$取何值时，$△ APQ$也是等边三角形？请说明理由。
(3)当$0＜t＜2$时，连接$PQ$，判断$PQ$与$AC$的位置关系。

(1)4.
(2)如图1,当$△ APQ$是等边三角形时,点$P$在$BC$上,点$Q$在$CD$上,

$\because △ ACD$是等边三角形,$\therefore AD=AC$,$∠ DAC=60°$,
$\because △ APQ$是等边三角形,$\therefore AQ=AP$,$∠ PAQ=60°$,
$\therefore ∠ DAQ=60°-∠ QAC=∠ CAP$,
在$△ ADQ$和$△ ACP$中,$\begin{cases} AD=AC, \\ ∠ DAQ=∠ CAP, \\ AQ=AP, \end{cases}$
$\therefore △ ADQ≌ △ ACP(\mathrm{SAS})$,
$\therefore CP=DQ$,即$t-4=4-(2t-8)$,解得$t=\frac{16}{3}$.
(3)$PQ$与$AC$互相垂直.理由:
当$0＜t＜2$时,点$P$在$AC$上,点$Q$在$AB$上,
如图2,取$AQ$的中点$N$,连接$PN$,则$AN=NQ$,

根据题意得$AQ=2AP$,$\therefore AP=AN=NQ$,
$\because ∠ PAQ=60°$,$\therefore △ APN$是等边三角形,
$\therefore PN=AN=NQ$,$∠ PNA=∠ APN=60°$,
$\therefore ∠ NPQ=∠ NQP=30°$,$\therefore ∠ APQ=∠ APN+∠ NPQ=90°$,即当$0＜t＜2$时,$PQ$与$AC$互相垂直.