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10 (2026·宿迁泗阳期中)如图，AB是$\odot O$的弦，AB=4，点P在$\overset{\frown}{AMB}$上运动，且$∠ APB=45°$。
(1)求$\odot O$的半径；
(2)设点P到直线AB的距离为x，图中阴影部分的面积为y，求y与x之间的函数关系，并写出自变量x的取值范围。
(1)求$\odot O$的半径；
(2)设点P到直线AB的距离为x，图中阴影部分的面积为y，求y与x之间的函数关系，并写出自变量x的取值范围。
答案
(1)$\because ∠APB=45°,\therefore ∠AOB=90°$. 又$OA=OB$,$OA^2+OB^2=AB^2$,$AB=4$,$\therefore 2OA^2=16$,$\therefore OA=2\sqrt{2}$(负值舍去),$\therefore \odot O$的半径是$2\sqrt{2}$.
(2)$\because$ 点 P 到直线 AB 的距离为 x,
$\therefore △ PAB$的面积为$\frac{1}{2}×4×x=2x$.
$\because$ 弓形 AB 的面积=扇形 AOB 的面积$-△ AOB$的面积
$=\frac{90π×(2\sqrt{2})^2}{360}-\frac{1}{2}×(2\sqrt{2})^2=2π-4$.
$\therefore y=2x+2π-4(0＜x≤2+2\sqrt{2})$.
(2)$\because$ 点 P 到直线 AB 的距离为 x,
$\therefore △ PAB$的面积为$\frac{1}{2}×4×x=2x$.
$\because$ 弓形 AB 的面积=扇形 AOB 的面积$-△ AOB$的面积
$=\frac{90π×(2\sqrt{2})^2}{360}-\frac{1}{2}×(2\sqrt{2})^2=2π-4$.
$\therefore y=2x+2π-4(0＜x≤2+2\sqrt{2})$.
11 新情境 数学与生活融合 某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，如图是水平放置的破裂管道有水部分的截面。
(1)若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16 cm，水面最深地方的高度为4 cm，求这个圆形截面的半径。
(2)在(1)的条件下，小明把一只宽12 cm的方形小木船放在修好后的圆柱形水管里，已知船高出水面13 cm，问此小船能顺利通过这个管道吗？
（第11题）
(1)若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16 cm，水面最深地方的高度为4 cm，求这个圆形截面的半径。
(2)在(1)的条件下，小明把一只宽12 cm的方形小木船放在修好后的圆柱形水管里，已知船高出水面13 cm，问此小船能顺利通过这个管道吗？
（第11题）答案
(1)如图(1),点 O 为圆心,过点 O 作$OE⊥AB$于点 D,交弧 AB 于点 E,连接 OB.
$\because OE⊥AB,\therefore BD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×16=8(\mathrm{cm})$.
由题意可知,$ED=4\ \mathrm{cm}$.
设半径为 x cm,则$OD=(x-4)\mathrm{cm}$.
在$\mathrm{Rt}△ BOD$中,由勾股定理,得$OD^2+BD^2=OB^2$,
$\therefore (x-4)^2+8^2=x^2$,解得$x=10$.
故这个圆形截面的半径为 10 cm.
(2)小船能顺利通过这个管道.理由如下:
由(1)可知$OD=6\ \mathrm{cm}$.
如图(2),由题意,得$MN=12\ \mathrm{cm}$,连接 OM,作$EF⊥MN$,
$\therefore OM=10\ \mathrm{cm}$,$MF=\frac{1}{2}MN=6\ \mathrm{cm}$,
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ MOF$中,$OF=\sqrt{OM^2-MF^2}=8\ \mathrm{cm}$,
$\therefore DF=OF+OD=8+6=14(\mathrm{cm})$.
$\because 14\ \mathrm{cm}＞13\ \mathrm{cm}$,$\therefore$ 小船能顺利通过这个管道.
12 (2025·汕尾陆丰一模)如图(1)中的某种冰激凌的外包装可以视为圆锥(如图(2))，制作这种外包装需要用如图(3)所示的等腰三角形材料，其中$AB=AC$，$AD ⊥ BC$。将扇形$AEF$围成圆锥时，$AE$，$AF$恰好重合，已知这种加工材料的顶角$∠ BAC=90°$。
(1)求图(2)中圆锥底面圆直径$ED$与母线$AD$长的比值；
(2)若圆锥底面圆的直径$ED$为5 cm，求加工材料剩余部分(图(3)中阴影部分)的面积。(结果保留$π$)
(1)求图(2)中圆锥底面圆直径$ED$与母线$AD$长的比值；
(2)若圆锥底面圆的直径$ED$为5 cm，求加工材料剩余部分(图(3)中阴影部分)的面积。(结果保留$π$)
答案
(1)根据题意得$π· DE=\frac{90· π· AD}{180}$,
$\therefore DE=\frac{1}{2}AD$,$\therefore ED$与母线 AD 长的比值为$\frac{1}{2}$.
(2)$\because ∠BAC=90°$,$AB=AC$,$AD⊥BC$,
而$AD=2DE=10\ \mathrm{cm}$,$\therefore BC=2AD=20\ \mathrm{cm}$,
$\therefore S_{\mathrm{阴影部分}}=S_{△ ABC}-S_{\mathrm{扇形}EAF}$
$=\frac{1}{2}×10×20-\frac{90×π×10^2}{360}=(100-25π)\ \mathrm{cm}^2$.
故加工材料剩余部分的面积为$(100-25π)\ \mathrm{cm}^2$.
知识拓展 本题考查了圆锥的计算:圆锥的侧面展开图为一扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长,扇形的半径等于圆锥的母线长.也考查了等腰直角三角形的性质.
$\therefore DE=\frac{1}{2}AD$,$\therefore ED$与母线 AD 长的比值为$\frac{1}{2}$.
(2)$\because ∠BAC=90°$,$AB=AC$,$AD⊥BC$,
而$AD=2DE=10\ \mathrm{cm}$,$\therefore BC=2AD=20\ \mathrm{cm}$,
$\therefore S_{\mathrm{阴影部分}}=S_{△ ABC}-S_{\mathrm{扇形}EAF}$
$=\frac{1}{2}×10×20-\frac{90×π×10^2}{360}=(100-25π)\ \mathrm{cm}^2$.
故加工材料剩余部分的面积为$(100-25π)\ \mathrm{cm}^2$.
知识拓展 本题考查了圆锥的计算:圆锥的侧面展开图为一扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长,扇形的半径等于圆锥的母线长.也考查了等腰直角三角形的性质.
