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11 若菱形ABCD的一条对角线的长为8，边AB的长为方程$x^2 -8x +15=0$的一个根，则菱形ABCD的周长为（
A.24
B.12
C.20
D.12或20
C
）A.24
B.12
C.20
D.12或20
答案
11. C
解析
【分析】
解题思路分为三步：①先利用因式分解法求解一元二次方程，得到边AB的可能取值；②结合菱形的性质与三角形三边关系验证，排除不符合实际的边长：菱形的四条边相等，两条邻边与对角线可构成三角形，需满足两边之和大于第三边，若边长过小则无法与长为8的对角线构成三角形；③用符合条件的边长乘4即可得到菱形周长。
【解析】
1. 求解一元二次方程：
对$x^2 -8x +15=0$因式分解，得$(x-3)(x-5)=0$，
解得$x_1=3$，$x_2=5$，即AB的长可能为3或5。
2. 验证边长是否符合要求：
菱形的四条边相等，若AB=3，则菱形四条边长均为3，此时两条邻边长度和为$3+3=6$，小于已知对角线长8，不符合三角形两边之和大于第三边的要求，无法构成三角形，故AB=3舍去。
因此AB的长只能为5。
3. 计算周长：
菱形周长=边长×4=$5×4=20$。
【答案】
C
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、菱形的性质、三角形三边关系
【点评】
本题是方程与几何性质的综合题，易错点是忽略边长需要满足三角形的构成条件，直接将方程的两个根都作为有效边长错选D，解题时要注意对求得的根结合几何性质进行验证。
【难度系数】
0.7
解题思路分为三步：①先利用因式分解法求解一元二次方程，得到边AB的可能取值；②结合菱形的性质与三角形三边关系验证，排除不符合实际的边长：菱形的四条边相等，两条邻边与对角线可构成三角形，需满足两边之和大于第三边，若边长过小则无法与长为8的对角线构成三角形；③用符合条件的边长乘4即可得到菱形周长。
【解析】
1. 求解一元二次方程：
对$x^2 -8x +15=0$因式分解，得$(x-3)(x-5)=0$，
解得$x_1=3$，$x_2=5$，即AB的长可能为3或5。
2. 验证边长是否符合要求：
菱形的四条边相等，若AB=3，则菱形四条边长均为3，此时两条邻边长度和为$3+3=6$，小于已知对角线长8，不符合三角形两边之和大于第三边的要求，无法构成三角形，故AB=3舍去。
因此AB的长只能为5。
3. 计算周长：
菱形周长=边长×4=$5×4=20$。
【答案】
C
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、菱形的性质、三角形三边关系
【点评】
本题是方程与几何性质的综合题，易错点是忽略边长需要满足三角形的构成条件，直接将方程的两个根都作为有效边长错选D，解题时要注意对求得的根结合几何性质进行验证。
【难度系数】
0.7
12 新考向 新定义题 对于实数$m,n$,定义运算“$\otimes$”如下:$m\otimes n=m^2 - 2mn$.若$(x + 1)\otimes(x - 2)=5$,则$x$的值为
0或4
.答案
12. 0或4
解析
【分析】
本题属于新定义运算类题目，解题思路分为三步：第一步，准确理解题目给出的新运算“⊗”的规则，即$m\otimes n$等于$m$的平方减去$m$与$n$乘积的2倍；第二步，将$(x+1)$看作$m$，$(x-2)$看作$n$，代入运算规则，把新运算转化为常规的整式方程；第三步，化简整理得到一元二次方程，用因式分解法求解即可得到$x$的值。
【解析】
根据新定义的运算规则$m\otimes n=m^2 - 2mn$，可得：
$(x+1)\otimes(x-2)=(x+1)^2 - 2(x+1)(x-2)$
已知$(x + 1)\otimes(x - 2)=5$，因此列方程：
$(x+1)^2 - 2(x+1)(x-2)=5$
展开并化简方程左边：
首先计算$(x+1)^2=x^2+2x+1$，
再计算$2(x+1)(x-2)=2(x^2 - x - 2)=2x^2 - 2x - 4$，
代入方程得：
$x^2+2x+1 - (2x^2 - 2x - 4)=5$
去括号、合并同类项：
$x^2+2x+1 - 2x^2 + 2x + 4=5$
$-x^2 + 4x + 5=5$
移项整理得：
$x^2 - 4x=0$
因式分解得：
$x(x-4)=0$
解得$x_1=0$，$x_2=4$。
【答案】
0或4
【知识点】
1.新定义运算 2.整式化简 3.因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题结合新定义运算考查一元二次方程的求解，解题核心是正确理解新运算的规则，将陌生的新运算转化为熟悉的整式运算，再按照一元二次方程的解法求解即可，是新定义类题型中的基础考法。
【难度系数】
0.7
本题属于新定义运算类题目，解题思路分为三步：第一步，准确理解题目给出的新运算“⊗”的规则，即$m\otimes n$等于$m$的平方减去$m$与$n$乘积的2倍；第二步，将$(x+1)$看作$m$，$(x-2)$看作$n$，代入运算规则，把新运算转化为常规的整式方程；第三步，化简整理得到一元二次方程，用因式分解法求解即可得到$x$的值。
【解析】
根据新定义的运算规则$m\otimes n=m^2 - 2mn$，可得：
$(x+1)\otimes(x-2)=(x+1)^2 - 2(x+1)(x-2)$
已知$(x + 1)\otimes(x - 2)=5$，因此列方程：
$(x+1)^2 - 2(x+1)(x-2)=5$
展开并化简方程左边：
首先计算$(x+1)^2=x^2+2x+1$，
再计算$2(x+1)(x-2)=2(x^2 - x - 2)=2x^2 - 2x - 4$，
代入方程得：
$x^2+2x+1 - (2x^2 - 2x - 4)=5$
去括号、合并同类项：
$x^2+2x+1 - 2x^2 + 2x + 4=5$
$-x^2 + 4x + 5=5$
移项整理得：
$x^2 - 4x=0$
因式分解得：
$x(x-4)=0$
解得$x_1=0$，$x_2=4$。
【答案】
0或4
【知识点】
1.新定义运算 2.整式化简 3.因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题结合新定义运算考查一元二次方程的求解，解题核心是正确理解新运算的规则，将陌生的新运算转化为熟悉的整式运算，再按照一元二次方程的解法求解即可，是新定义类题型中的基础考法。
【难度系数】
0.7
13 数形结合思想 如图，数轴上点A对应的数为$3x+1$，点B对应的数为$x^2+2x$。若$AB=5$，且点A在原点的左侧，则x的值为
-2
。答案
13. $-2$
【解析】根据题意,得$x^2+2x-(3x+1)=5$.整理,得$x^2-x-6=0$,解得$x_1=-2,x_2=3$.当$x=-2$时,$3x+1=-5＜0$,符合题意;当$x=3$时,$3x+1=10＞0$,不合题意,舍去.
$\therefore x$的值为$-2$.
【解析】根据题意,得$x^2+2x-(3x+1)=5$.整理,得$x^2-x-6=0$,解得$x_1=-2,x_2=3$.当$x=-2$时,$3x+1=-5＜0$,符合题意;当$x=3$时,$3x+1=10＞0$,不合题意,舍去.
$\therefore x$的值为$-2$.
解析
【分析】
解题时首先回忆数轴的性质：数轴上右侧的点对应的数大于左侧的点对应的数，两点之间的距离等于右侧点对应数减去左侧点对应数。本题已知AB=5，可据此列出关于x的一元二次方程，求解得到候选解后，再结合“点A在原点左侧”即A对应数小于0的限制条件，对解进行检验，舍去不符合要求的解，即可得到最终结果。
【解析】
根据数轴上两点距离的计算规则，列方程：
$x^2+2x-(3x+1)=5$
整理得：
$x^2 - x - 6 = 0$
因式分解变形为：
$(x-3)(x+2)=0$
解得：$x_1=3$，$x_2=-2$
检验解的合理性：
当$x=3$时，点A对应数$3x+1=3×3+1=10＞0$，不符合点A在原点左侧的要求，舍去；
当$x=-2$时，点A对应数$3x+1=3×(-2)+1=-5＜0$，符合题意。
【答案】
$-2$
【知识点】
数轴两点距离计算，一元二次方程求解，根的合理性检验
【点评】
本题是数形结合的基础题型，同时考查数轴性质和一元二次方程的解法，解题时需注意题干的限制条件，避免遗漏验根步骤导致错误。
【难度系数】
0.6
解题时首先回忆数轴的性质：数轴上右侧的点对应的数大于左侧的点对应的数，两点之间的距离等于右侧点对应数减去左侧点对应数。本题已知AB=5，可据此列出关于x的一元二次方程，求解得到候选解后，再结合“点A在原点左侧”即A对应数小于0的限制条件，对解进行检验，舍去不符合要求的解，即可得到最终结果。
【解析】
根据数轴上两点距离的计算规则，列方程：
$x^2+2x-(3x+1)=5$
整理得：
$x^2 - x - 6 = 0$
因式分解变形为：
$(x-3)(x+2)=0$
解得：$x_1=3$，$x_2=-2$
检验解的合理性：
当$x=3$时，点A对应数$3x+1=3×3+1=10＞0$，不符合点A在原点左侧的要求，舍去；
当$x=-2$时，点A对应数$3x+1=3×(-2)+1=-5＜0$，符合题意。
【答案】
$-2$
【知识点】
数轴两点距离计算，一元二次方程求解，根的合理性检验
【点评】
本题是数形结合的基础题型，同时考查数轴性质和一元二次方程的解法，解题时需注意题干的限制条件，避免遗漏验根步骤导致错误。
【难度系数】
0.6
14 新考向 阅读理解题 阅读材料：
解方程$(x^2 -1)^2 -5(x^2 -1)+4=0$时，
我们可以将$x^2 -1$视为一个整体，设$x^2 -1=y$，则$(x^2 -1)^2=y^2$。$\therefore$原方程可化为$y^2 -5y +4=0$①，解得$y_1=1,y_2=4$。当$y=1$时，$x^2 -1=1,\therefore x^2=2.\therefore x=\pm\sqrt{2}$。当$y=4$时，$x^2 -1=4,\therefore x^2=5.\therefore x=\pm\sqrt{5}$。$\therefore$原方程的根为$x_1=\sqrt{2},x_2=-\sqrt{2},x_3=\sqrt{5},x_4=-\sqrt{5}$。
根据材料解答下面的问题：
（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用
（2）解方程：$x^4 -x^2 -6=0$。
解方程$(x^2 -1)^2 -5(x^2 -1)+4=0$时，
我们可以将$x^2 -1$视为一个整体，设$x^2 -1=y$，则$(x^2 -1)^2=y^2$。$\therefore$原方程可化为$y^2 -5y +4=0$①，解得$y_1=1,y_2=4$。当$y=1$时，$x^2 -1=1,\therefore x^2=2.\therefore x=\pm\sqrt{2}$。当$y=4$时，$x^2 -1=4,\therefore x^2=5.\therefore x=\pm\sqrt{5}$。$\therefore$原方程的根为$x_1=\sqrt{2},x_2=-\sqrt{2},x_3=\sqrt{5},x_4=-\sqrt{5}$。
根据材料解答下面的问题：
（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用
换元
法达到降次的目的，体现了转化
的数学思想；（2）解方程：$x^4 -x^2 -6=0$。
答案
14. (1) 换元 转化
(2) 设$x^2=y$,则$x^4=y^2$.$\therefore$ 原方程可化为$y^2-y-6=0$,解得$y_1=3,y_2=-2$.当$y=3$时,$x^2=3$,
$\therefore x=\pm\sqrt{3}$.当$y=-2$时,$x^2=-2$,没有实数根.$\therefore$ 原方程的根为$x_1=\sqrt{3},x_2=-\sqrt{3}$
(2) 设$x^2=y$,则$x^4=y^2$.$\therefore$ 原方程可化为$y^2-y-6=0$,解得$y_1=3,y_2=-2$.当$y=3$时,$x^2=3$,
$\therefore x=\pm\sqrt{3}$.当$y=-2$时,$x^2=-2$,没有实数根.$\therefore$ 原方程的根为$x_1=\sqrt{3},x_2=-\sqrt{3}$
解析
【分析】
（1）观察材料的解方程过程，是将$x^2-1$这个整体替换为新未知数$y$，把四次方程转化为二次方程降低求解难度，该方法为换元法，核心是将陌生的高次方程问题转化为熟悉的低次方程问题，体现转化的数学思想。
（2）待解方程$x^4 -x^2 -6=0$是四次方程，类比材料的方法，可将$x^2$看作整体设为$y$，则$x^4=y^2$，原方程即可转化为关于$y$的一元二次方程，先求$y$的值，再结合$x^2$的非负性筛选有效$y$值，最后求出对应$x$的解即可。
【解析】
(1) 原方程通过将$x^2-1$替换为$y$实现降次，该方法是换元法，将高次方程问题转化为低次方程求解，体现了转化的数学思想，故两空依次填换元、转化。
(2) 解：设$x^2=y$，则$x^4=(x^2)^2=y^2$，
$\therefore$ 原方程可化为$y^2-y-6=0$，
解得$y_1=3,y_2=-2$。
当$y=3$时，$x^2=3$，$\therefore x=\pm\sqrt{3}$；
当$y=-2$时，$x^2=-2$，不符合实数平方的非负性，没有实数根，舍去。
$\therefore$ 原方程的根为$x_1=\sqrt{3},x_2=-\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 换元；转化
(2) 原方程的根为$x_1=\sqrt{3},x_2=-\sqrt{3}$
【知识点】
换元法、解一元二次方程、转化思想
【点评】
本题是材料阅读类题型，重点考查方法迁移应用能力，解题核心是掌握换元降次的思路，同时要注意求出换元后的未知数的值后，需结合原方程的隐含条件（如本题中平方的非负性）筛选有效解，避免产生增根。
【难度系数】
0.7
（1）观察材料的解方程过程，是将$x^2-1$这个整体替换为新未知数$y$，把四次方程转化为二次方程降低求解难度，该方法为换元法，核心是将陌生的高次方程问题转化为熟悉的低次方程问题，体现转化的数学思想。
（2）待解方程$x^4 -x^2 -6=0$是四次方程，类比材料的方法，可将$x^2$看作整体设为$y$，则$x^4=y^2$，原方程即可转化为关于$y$的一元二次方程，先求$y$的值，再结合$x^2$的非负性筛选有效$y$值，最后求出对应$x$的解即可。
【解析】
(1) 原方程通过将$x^2-1$替换为$y$实现降次，该方法是换元法，将高次方程问题转化为低次方程求解，体现了转化的数学思想，故两空依次填换元、转化。
(2) 解：设$x^2=y$，则$x^4=(x^2)^2=y^2$，
$\therefore$ 原方程可化为$y^2-y-6=0$，
解得$y_1=3,y_2=-2$。
当$y=3$时，$x^2=3$，$\therefore x=\pm\sqrt{3}$；
当$y=-2$时，$x^2=-2$，不符合实数平方的非负性，没有实数根，舍去。
$\therefore$ 原方程的根为$x_1=\sqrt{3},x_2=-\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 换元；转化
(2) 原方程的根为$x_1=\sqrt{3},x_2=-\sqrt{3}$
【知识点】
换元法、解一元二次方程、转化思想
【点评】
本题是材料阅读类题型，重点考查方法迁移应用能力，解题核心是掌握换元降次的思路，同时要注意求出换元后的未知数的值后，需结合原方程的隐含条件（如本题中平方的非负性）筛选有效解，避免产生增根。
【难度系数】
0.7
微专题
用“十字相乘法”解一元二次方程
解方程$x^2+2x-35=0$，我们可以按下面的方法解答：
上述这种解一元二次方程的方法叫作十字相乘法.请参考以上方法解下列方程：
(1) $x^2 -5x -6=0$；(2) $x^2 +2x -24=0$；(3) $x^2 -6x +8=3$；(4) $3x^2 +5x -2=0$
用“十字相乘法”解一元二次方程
解方程$x^2+2x-35=0$，我们可以按下面的方法解答：
上述这种解一元二次方程的方法叫作十字相乘法.请参考以上方法解下列方程：
(1) $x^2 -5x -6=0$；(2) $x^2 +2x -24=0$；(3) $x^2 -6x +8=3$；(4) $3x^2 +5x -2=0$
答案
微专题 用“十字相乘法”解一元二次方程
(1) 因式分解,得$(x-6)(x+1)=0,\therefore x-6=0$或$x+1=0$,解得$x_1=-1,x_2=6$
(2) 因式分解,得$(x+6)(x-4)=0$,
$\therefore x+6=0$或$x-4=0$,解得$x_1=-6,x_2=4$
(3) 因式分解,得$(x-5)(x-1)=0,\therefore x-5=0$或$x-1=0$,解得$x_1=5,x_2=1$
(4) 因式分解,得$(x+2)(3x-1)=0,\therefore x+2=0$或$3x-1=0$,解得$x_1=-2,x_2=\dfrac{1}{3}$
(1) 因式分解,得$(x-6)(x+1)=0,\therefore x-6=0$或$x+1=0$,解得$x_1=-1,x_2=6$
(2) 因式分解,得$(x+6)(x-4)=0$,
$\therefore x+6=0$或$x-4=0$,解得$x_1=-6,x_2=4$
(3) 因式分解,得$(x-5)(x-1)=0,\therefore x-5=0$或$x-1=0$,解得$x_1=5,x_2=1$
(4) 因式分解,得$(x+2)(3x-1)=0,\therefore x+2=0$或$3x-1=0$,解得$x_1=-2,x_2=\dfrac{1}{3}$
解析
【分析】
解这类一元二次方程，核心思路是用十字相乘法将方程左边的二次三项式因式分解为两个一次因式的乘积，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程求解。解题步骤如下：①先将方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的标准形式；②拆分二次项和常数项，交叉相乘验证所得和等于一次项系数，完成十字相乘因式分解；③令每个因式分别为0，解两个一元一次方程即可得到原方程的解。
【解析】
(1) 解方程$x^2 -5x -6=0$：
拆分二次项$x^2=x· x$，常数项$-6=(-6)×1$，交叉相乘得$x·1 + x·(-6)=-5x$，与一次项系数一致，
因此原方程因式分解为$(x-6)(x+1)=0$，
$\therefore x-6=0$或$x+1=0$，
解得$x_1=6,x_2=-1$。
(2) 解方程$x^2 +2x -24=0$：
拆分二次项$x^2=x· x$，常数项$-24=6×(-4)$，交叉相乘得$x·(-4)+x·6=2x$，与一次项系数一致，
因此原方程因式分解为$(x+6)(x-4)=0$，
$\therefore x+6=0$或$x-4=0$，
解得$x_1=-6,x_2=4$。
(3) 解方程$x^2 -6x +8=3$：
先将方程整理为标准形式，移项得$x^2 -6x +5=0$，
拆分二次项$x^2=x· x$，常数项$5=(-5)×(-1)$，交叉相乘得$x·(-1)+x·(-5)=-6x$，与一次项系数一致，
因此方程因式分解为$(x-5)(x-1)=0$，
$\therefore x-5=0$或$x-1=0$，
解得$x_1=5,x_2=1$。
(4) 解方程$3x^2 +5x -2=0$：
拆分二次项$3x^2=3x· x$，常数项$-2=(-1)×2$，交叉相乘得$3x·2 + x·(-1)=5x$，与一次项系数一致，
因此原方程因式分解为$(3x-1)(x+2)=0$，
$\therefore 3x-1=0$或$x+2=0$，
解得$x_1=\frac{1}{3},x_2=-2$。
【答案】
(1) $x_1=-1,x_2=6$
(2) $x_1=-6,x_2=4$
(3) $x_1=5,x_2=1$
(4) $x_1=-2,x_2=\dfrac{1}{3}$
【知识点】
十字相乘法因式分解；因式分解法解一元二次方程；解一元一次方程
【点评】
本题重点考查十字相乘法在解一元二次方程中的应用，解题时需先将方程化为一般形式，再通过十字相乘拆分二次三项式，将二次方程降次为一元一次方程求解，熟练掌握十字相乘的拆分、验证技巧是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解这类一元二次方程，核心思路是用十字相乘法将方程左边的二次三项式因式分解为两个一次因式的乘积，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程求解。解题步骤如下：①先将方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的标准形式；②拆分二次项和常数项，交叉相乘验证所得和等于一次项系数，完成十字相乘因式分解；③令每个因式分别为0，解两个一元一次方程即可得到原方程的解。
【解析】
(1) 解方程$x^2 -5x -6=0$：
拆分二次项$x^2=x· x$，常数项$-6=(-6)×1$，交叉相乘得$x·1 + x·(-6)=-5x$，与一次项系数一致，
因此原方程因式分解为$(x-6)(x+1)=0$，
$\therefore x-6=0$或$x+1=0$，
解得$x_1=6,x_2=-1$。
(2) 解方程$x^2 +2x -24=0$：
拆分二次项$x^2=x· x$，常数项$-24=6×(-4)$，交叉相乘得$x·(-4)+x·6=2x$，与一次项系数一致，
因此原方程因式分解为$(x+6)(x-4)=0$，
$\therefore x+6=0$或$x-4=0$，
解得$x_1=-6,x_2=4$。
(3) 解方程$x^2 -6x +8=3$：
先将方程整理为标准形式，移项得$x^2 -6x +5=0$，
拆分二次项$x^2=x· x$，常数项$5=(-5)×(-1)$，交叉相乘得$x·(-1)+x·(-5)=-6x$，与一次项系数一致，
因此方程因式分解为$(x-5)(x-1)=0$，
$\therefore x-5=0$或$x-1=0$，
解得$x_1=5,x_2=1$。
(4) 解方程$3x^2 +5x -2=0$：
拆分二次项$3x^2=3x· x$，常数项$-2=(-1)×2$，交叉相乘得$3x·2 + x·(-1)=5x$，与一次项系数一致，
因此原方程因式分解为$(3x-1)(x+2)=0$，
$\therefore 3x-1=0$或$x+2=0$，
解得$x_1=\frac{1}{3},x_2=-2$。
【答案】
(1) $x_1=-1,x_2=6$
(2) $x_1=-6,x_2=4$
(3) $x_1=5,x_2=1$
(4) $x_1=-2,x_2=\dfrac{1}{3}$
【知识点】
十字相乘法因式分解；因式分解法解一元二次方程；解一元一次方程
【点评】
本题重点考查十字相乘法在解一元二次方程中的应用，解题时需先将方程化为一般形式，再通过十字相乘拆分二次三项式，将二次方程降次为一元一次方程求解，熟练掌握十字相乘的拆分、验证技巧是解题的关键。
【难度系数】
0.7
