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1 如图所示为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为 （
A.$18+2\sqrt{3}$
B.$12+3\sqrt{3}$
C.$12+2\sqrt{3}$
D.$11\sqrt{3}$
A
）A.$18+2\sqrt{3}$
B.$12+3\sqrt{3}$
C.$12+2\sqrt{3}$
D.$11\sqrt{3}$
答案
A
解析
【分析】
首先根据三视图还原几何体：该几何体是直三棱柱，底面为边长等于2的正三角形，棱柱的侧棱长（即平行于底面延伸的长度）为3。求解表面积的思路为：直棱柱的表面积等于2个底面三角形的面积加上3个侧面矩形的面积，我们只需要分别计算两部分面积再求和即可得到结果。
【解析】
1. 计算底面正三角形的面积：
已知正三角形边长为2，对应高为$\sqrt{3}$，单个底面面积$S_1=\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}=\sqrt{3}$，两个底面的总面积为$2S_1=2\sqrt{3}$。
2. 计算侧面矩形的总面积：
直三棱柱有3个侧面，每个侧面都是长为3、宽为2的矩形，单个侧面面积$S_2=2×3=6$，三个侧面的总面积为$3S_2=3×6=18$。
3. 计算总表面积：
总表面积$S=18+2\sqrt{3}$。
【答案】
A
【知识点】
三视图还原几何体；直棱柱表面积计算；正三角形面积计算
【点评】
本题是三视图与几何体面积计算的结合题型，解题核心是准确根据三视图判断几何体形状并获取各部分的长度参数，再代入对应公式计算即可，是空间几何部分的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
首先根据三视图还原几何体：该几何体是直三棱柱，底面为边长等于2的正三角形，棱柱的侧棱长（即平行于底面延伸的长度）为3。求解表面积的思路为：直棱柱的表面积等于2个底面三角形的面积加上3个侧面矩形的面积，我们只需要分别计算两部分面积再求和即可得到结果。
【解析】
1. 计算底面正三角形的面积：
已知正三角形边长为2，对应高为$\sqrt{3}$，单个底面面积$S_1=\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}=\sqrt{3}$，两个底面的总面积为$2S_1=2\sqrt{3}$。
2. 计算侧面矩形的总面积：
直三棱柱有3个侧面，每个侧面都是长为3、宽为2的矩形，单个侧面面积$S_2=2×3=6$，三个侧面的总面积为$3S_2=3×6=18$。
3. 计算总表面积：
总表面积$S=18+2\sqrt{3}$。
【答案】
A
【知识点】
三视图还原几何体；直棱柱表面积计算；正三角形面积计算
【点评】
本题是三视图与几何体面积计算的结合题型，解题核心是准确根据三视图判断几何体形状并获取各部分的长度参数，再代入对应公式计算即可，是空间几何部分的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
2 [2025 榆林榆阳期末]一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是
$16+12π$
（结果保留π）。答案
$16+12π$
解析
【分析】
首先根据三视图判断几何体的形状：该几何体是底面半径为2，高为4的半圆柱。接下来明确半圆柱的表面积组成：切面处的矩形面积、半圆柱的曲面侧面积、两个半圆形端面的面积之和（两个半圆可合并为1个整圆计算），分别计算各部分面积后相加即可得到总表面积。
【解析】
由三视图可知，该几何体为半圆柱：
底面半圆的半径$r=2$，半圆柱的高$h=4$，底面半圆的直径为$4$。
1. 计算切面矩形的面积：矩形长为4，宽为底面直径4，
$S_{\mathrm{矩形}}=4×4=16$；
2. 计算半圆柱的曲面侧面积：半圆弧长$l=π d÷2=4π÷2=2π$，侧面积为弧长乘半圆柱的高，
$S_{\mathrm{侧}}=l× h=2π×4=8π$；
3. 计算两个半圆形端面的面积和：两个半圆可拼成1个整圆，
$S_{\mathrm{底}}=π r^2=π×2^2=4π$；
总表面积$S=S_{\mathrm{矩形}}+S_{\mathrm{侧}}+S_{\mathrm{底}}=16+8π+4π=16+12π$。
【答案】
$16+12π$
【知识点】
三视图还原几何体、半圆柱表面积计算、圆的面积公式
【点评】
本题解题关键是先根据三视图准确判断几何体的形状，再理清半圆柱表面积的组成部分，计算时需注意不要漏算切面的矩形面积。
【难度系数】
0.7
首先根据三视图判断几何体的形状：该几何体是底面半径为2，高为4的半圆柱。接下来明确半圆柱的表面积组成：切面处的矩形面积、半圆柱的曲面侧面积、两个半圆形端面的面积之和（两个半圆可合并为1个整圆计算），分别计算各部分面积后相加即可得到总表面积。
【解析】
由三视图可知，该几何体为半圆柱：
底面半圆的半径$r=2$，半圆柱的高$h=4$，底面半圆的直径为$4$。
1. 计算切面矩形的面积：矩形长为4，宽为底面直径4，
$S_{\mathrm{矩形}}=4×4=16$；
2. 计算半圆柱的曲面侧面积：半圆弧长$l=π d÷2=4π÷2=2π$，侧面积为弧长乘半圆柱的高，
$S_{\mathrm{侧}}=l× h=2π×4=8π$；
3. 计算两个半圆形端面的面积和：两个半圆可拼成1个整圆，
$S_{\mathrm{底}}=π r^2=π×2^2=4π$；
总表面积$S=S_{\mathrm{矩形}}+S_{\mathrm{侧}}+S_{\mathrm{底}}=16+8π+4π=16+12π$。
【答案】
$16+12π$
【知识点】
三视图还原几何体、半圆柱表面积计算、圆的面积公式
【点评】
本题解题关键是先根据三视图准确判断几何体的形状，再理清半圆柱表面积的组成部分，计算时需注意不要漏算切面的矩形面积。
【难度系数】
0.7
3 如图所示为一个包装纸盒的三视图(单位：cm).
(1) 这个包装纸盒的几何形状是
(2) 画出这个包装纸盒的表面展开图；
(3) 计算一个这样的包装纸盒的表面积(结果保留整数，参考数据：$\sqrt{3}\approx1.73$).
(1) 这个包装纸盒的几何形状是
正六棱柱
；(2) 画出这个包装纸盒的表面展开图；
(3) 计算一个这样的包装纸盒的表面积(结果保留整数，参考数据：$\sqrt{3}\approx1.73$).
答案
(1) 正六棱柱
(2) 画法不唯一，如图所示
(3) 由三视图，可知这个包装纸盒的上、下底面是边长为5 cm的正六边形，侧面是6个边长为5 cm的正方形，则这个包装纸盒的表面积为$6 × 5 × \sqrt{5^2 - (\frac{5}{2})^2} × \frac{1}{2} × 2 + 5 × 5 × 6 = 75\sqrt{3} + 150 \approx 280(\mathrm{cm}^2).∴$ 一个这样的包装纸盒的表面积约为$280\ \mathrm{cm}^2$
解析
【分析】
(1) 识别几何体时，先看俯视图确定底面形状，再结合主视图、左视图确定侧面和高度：俯视图为正六边形，主、左视图均为矩形，可判断为棱柱，底面是正六边形，故为正六棱柱；
(2) 正六棱柱的表面展开图由2个全等的正六边形（上下底面）和6个全等的矩形（侧面）组成，画图时保证两个正六边形分别在侧面矩形的两侧即可，画法不唯一；
(3) 计算表面积需分别算2个底面正六边形的面积和6个侧面的面积之和：先根据三视图确定正六边形边长为5cm，侧面矩形的长和宽均为5cm；正六边形可拆分为6个边长为5cm的正三角形，用勾股定理求出正三角形的高，再算单个正三角形面积、单个正六边形面积，最后加上侧面积得到总表面积，代入数值近似计算即可。
【解析】
(1) 由三视图可知，该几何体的底面是正六边形，侧面是6个矩形，符合正六棱柱的特征，故为正六棱柱；
(2) 正六棱柱的表面展开图包含两个全等的正六边形（上下底面）和六个全等的矩形（侧面），画法不唯一，参考示例图即可；
(3) 由三视图可得：该正六棱柱的底面是边长为5cm的正六边形，侧棱长为5cm。
① 计算两个底面的面积和：
正六边形可分割为6个边长为5cm的正三角形，单个正三角形的高为：$\sqrt{5^2 - (\frac{5}{2})^2} = \frac{5\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{cm}$，
单个正三角形的面积为：$\frac{1}{2} × 5 × \frac{5\sqrt{3}}{2} = \frac{25\sqrt{3}}{4}\ \mathrm{cm}^2$，
单个正六边形的面积为：$6 × \frac{25\sqrt{3}}{4} = \frac{75\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{cm}^2$，
两个底面的面积和为：$2 × \frac{75\sqrt{3}}{2} = 75\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$；
② 计算侧面积：
侧面是6个边长为5cm的正方形，侧面积为：$6 × 5 × 5 = 150\ \mathrm{cm}^2$；
③ 总表面积：$75\sqrt{3} + 150 ≈ 75×1.73 + 150 = 279.75 ≈ 280\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) 正六棱柱
(2) 画法不唯一，如图所示
(3) 一个这样的包装纸盒的表面积约为$280\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
三视图判断几何体；正多边形面积计算；几何体表面积计算
【点评】
本题结合三视图考查了棱柱的相关知识，需要学生掌握常见几何体的三视图特征，会将正六边形拆分转化为正三角形计算面积，计算表面积时注意不要遗漏上下底面，数值计算时要按要求保留整数。
【难度系数】
0.7
(1) 识别几何体时，先看俯视图确定底面形状，再结合主视图、左视图确定侧面和高度：俯视图为正六边形，主、左视图均为矩形，可判断为棱柱，底面是正六边形，故为正六棱柱；
(2) 正六棱柱的表面展开图由2个全等的正六边形（上下底面）和6个全等的矩形（侧面）组成，画图时保证两个正六边形分别在侧面矩形的两侧即可，画法不唯一；
(3) 计算表面积需分别算2个底面正六边形的面积和6个侧面的面积之和：先根据三视图确定正六边形边长为5cm，侧面矩形的长和宽均为5cm；正六边形可拆分为6个边长为5cm的正三角形，用勾股定理求出正三角形的高，再算单个正三角形面积、单个正六边形面积，最后加上侧面积得到总表面积，代入数值近似计算即可。
【解析】
(1) 由三视图可知，该几何体的底面是正六边形，侧面是6个矩形，符合正六棱柱的特征，故为正六棱柱；
(2) 正六棱柱的表面展开图包含两个全等的正六边形（上下底面）和六个全等的矩形（侧面），画法不唯一，参考示例图即可；
(3) 由三视图可得：该正六棱柱的底面是边长为5cm的正六边形，侧棱长为5cm。
① 计算两个底面的面积和：
正六边形可分割为6个边长为5cm的正三角形，单个正三角形的高为：$\sqrt{5^2 - (\frac{5}{2})^2} = \frac{5\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{cm}$，
单个正三角形的面积为：$\frac{1}{2} × 5 × \frac{5\sqrt{3}}{2} = \frac{25\sqrt{3}}{4}\ \mathrm{cm}^2$，
单个正六边形的面积为：$6 × \frac{25\sqrt{3}}{4} = \frac{75\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{cm}^2$，
两个底面的面积和为：$2 × \frac{75\sqrt{3}}{2} = 75\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$；
② 计算侧面积：
侧面是6个边长为5cm的正方形，侧面积为：$6 × 5 × 5 = 150\ \mathrm{cm}^2$；
③ 总表面积：$75\sqrt{3} + 150 ≈ 75×1.73 + 150 = 279.75 ≈ 280\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) 正六棱柱
(2) 画法不唯一，如图所示
(3) 一个这样的包装纸盒的表面积约为$280\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
三视图判断几何体；正多边形面积计算；几何体表面积计算
【点评】
本题结合三视图考查了棱柱的相关知识，需要学生掌握常见几何体的三视图特征，会将正六边形拆分转化为正三角形计算面积，计算表面积时注意不要遗漏上下底面，数值计算时要按要求保留整数。
【难度系数】
0.7
4 [2025青岛崂山期中]如图所示为一个几何体的三视图，其中主视图是直角梯形，左视图和俯视图都是矩形，那么这个几何体的体积是
$\frac{3}{2}$
，表面积是$7+\sqrt{2}$
。答案
$\frac{3}{2}$ $7+\sqrt{2}$
【解析】画出该几何的示意图如图所示
.该几何体的体积为$(1+2)×1÷2×1=\frac{3}{2}$,表面积为$1×1×2+1×2+(1+2)×1÷2×2+1×\sqrt{1^2+1^2}=7+\sqrt{2}$.解析
【分析】
首先根据三视图还原几何体，可知该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱。求解时分为两步：1. 求体积：直棱柱体积公式为“底面积×侧棱长”，先计算底面直角梯形的面积，再乘直棱柱的侧棱长即可；2. 求表面积：直棱柱表面积为2个底面面积加所有侧面的面积之和，先确定各个面的形状和边长，分别计算面积后相加即可，其中斜侧面的边长可由勾股定理求得。
【解析】
该几何体的示意图如下：
1. 计算体积：
底面是主视图所示的直角梯形，上底长为1，下底长为2，高为1，直棱柱的侧棱长（即垂直底面方向的长度）为1。
底面梯形面积 = $\frac{(1+2)×1}{2}$ = $\frac{3}{2}$
体积 = 底面积×侧棱长 = $\frac{3}{2}×1$ = $\frac{3}{2}$
2. 计算表面积：
① 2个底面（直角梯形）的面积和：$2×\frac{(1+2)×1}{2}=3$
② 侧面面积：两个边长为1的正方形面积和为$1×1×2=2$，长为2、宽为1的矩形面积为$1×2=2$，斜侧面的矩形长为直角梯形的斜腰长，由勾股定理得$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，该侧面面积为$1×\sqrt{2}=\sqrt{2}$
总表面积 = $3+2+2+\sqrt{2}=7+\sqrt{2}$
【答案】
$\frac{3}{2}$；$7+\sqrt{2}$
【知识点】
三视图还原几何体；直棱柱体积计算；直棱柱表面积计算
【点评】
本题核心是通过三视图正确判断几何体的形状，解题时需要熟练掌握直棱柱的体积、表面积公式，计算斜侧边长时要正确运用勾股定理，注意不要漏算任何一个面的面积。
【难度系数】
0.7
首先根据三视图还原几何体，可知该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱。求解时分为两步：1. 求体积：直棱柱体积公式为“底面积×侧棱长”，先计算底面直角梯形的面积，再乘直棱柱的侧棱长即可；2. 求表面积：直棱柱表面积为2个底面面积加所有侧面的面积之和，先确定各个面的形状和边长，分别计算面积后相加即可，其中斜侧面的边长可由勾股定理求得。
【解析】
该几何体的示意图如下：
1. 计算体积：
底面是主视图所示的直角梯形，上底长为1，下底长为2，高为1，直棱柱的侧棱长（即垂直底面方向的长度）为1。
底面梯形面积 = $\frac{(1+2)×1}{2}$ = $\frac{3}{2}$
体积 = 底面积×侧棱长 = $\frac{3}{2}×1$ = $\frac{3}{2}$
2. 计算表面积：
① 2个底面（直角梯形）的面积和：$2×\frac{(1+2)×1}{2}=3$
② 侧面面积：两个边长为1的正方形面积和为$1×1×2=2$，长为2、宽为1的矩形面积为$1×2=2$，斜侧面的矩形长为直角梯形的斜腰长，由勾股定理得$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，该侧面面积为$1×\sqrt{2}=\sqrt{2}$
总表面积 = $3+2+2+\sqrt{2}=7+\sqrt{2}$
【答案】
$\frac{3}{2}$；$7+\sqrt{2}$
【知识点】
三视图还原几何体；直棱柱体积计算；直棱柱表面积计算
【点评】
本题核心是通过三视图正确判断几何体的形状，解题时需要熟练掌握直棱柱的体积、表面积公式，计算斜侧边长时要正确运用勾股定理，注意不要漏算任何一个面的面积。
【难度系数】
0.7
5 如图所示为一个几何体的三视图(单位:cm).
(1) 请说明组成这个几何体的两个部分分别是什么几何体；
(2) 求这个几何体的体积(参考数据:π≈3.14)；
(3) 若制作这个几何体的木料的密度为360 kg/m³,则这个几何体的质量约是多少千克(结果精确到0.1 kg)?
(1) 请说明组成这个几何体的两个部分分别是什么几何体；
(2) 求这个几何体的体积(参考数据:π≈3.14)；
(3) 若制作这个几何体的木料的密度为360 kg/m³,则这个几何体的质量约是多少千克(结果精确到0.1 kg)?
答案
(1) 下面的部分是长方体，上面的部分是圆柱
(2) 这个几何体的体积为$30 × 25 × 40 + π × (20 ÷ 2)^2 × 32 = 30\ 000 + 3\ 200π ≈ 40\ 048(\mathrm{cm}^3)$
(3) $40\ 048 ÷ 10^6 = 0.040\ 048(\mathrm{m}^3)$，$360 × 0.040\ 048 ≈ 14.4(\mathrm{kg})$，
∴ 这个几何体的质量约是14.4 kg
(2) 这个几何体的体积为$30 × 25 × 40 + π × (20 ÷ 2)^2 × 32 = 30\ 000 + 3\ 200π ≈ 40\ 048(\mathrm{cm}^3)$
(3) $40\ 048 ÷ 10^6 = 0.040\ 048(\mathrm{m}^3)$，$360 × 0.040\ 048 ≈ 14.4(\mathrm{kg})$，
∴ 这个几何体的质量约是14.4 kg
解析
【分析】
解决本题分三步思考：①判断几何体类型：先观察三视图特征，俯视图是长方形内有圆形，主视图和左视图均为上下两个矩形，说明下方是底面为长方形的柱体即长方体，上方是底面为圆形的柱体即圆柱；②计算总体积：几何体体积为长方体和圆柱体积之和，先从三视图中提取对应尺寸：长方体长30cm、宽25cm、高40cm，圆柱底面直径20cm、高32cm，分别按体积公式计算后相加；③计算质量：先将体积单位从立方厘米转换为立方米（匹配密度单位），再根据“质量=密度×体积”计算结果，注意按要求保留精度。
【解析】
(1) 结合三视图特征分析：下方几何体的俯视图为长方形，主视图、左视图为矩形，因此是长方体；上方几何体的俯视图为圆形，主视图、左视图为矩形，因此是圆柱。
(2) 分别计算两部分体积再求和：
长方体体积：$V_{\mathrm{长}}=长×宽×高=30×25×40=30000(\mathrm{cm}^3)$
圆柱底面半径$r=20÷2=10\mathrm{cm}$，圆柱体积：$V_{\mathrm{柱}}=π r^2h=3.14×10^2×32=10048(\mathrm{cm}^3)$
总体积：$V=V_{\mathrm{长}}+V_{\mathrm{柱}}=30000+10048=40048(\mathrm{cm}^3)$
(3) 先统一单位：$1\mathrm{m}^3=10^6\mathrm{cm}^3$，因此$40048\mathrm{cm}^3=40048÷10^6=0.040048\mathrm{m}^3$
根据质量公式计算：$m=\rho V=360×0.040048\approx14.4(\mathrm{kg})$
【答案】
(1) 下面的部分是长方体，上面的部分是圆柱
(2) 这个几何体的体积约为$40048\mathrm{cm}^3$
(3) 这个几何体的质量约是$14.4\mathrm{kg}$
【知识点】
由三视图判断几何体、长方体体积计算、圆柱体积计算
【点评】
本题将三视图识别和体积、质量计算结合考查，解题核心是准确从三视图中提取各几何体的对应尺寸，计算过程中需注意单位的统一，避免单位换算错误。
【难度系数】
0.7
解决本题分三步思考：①判断几何体类型：先观察三视图特征，俯视图是长方形内有圆形，主视图和左视图均为上下两个矩形，说明下方是底面为长方形的柱体即长方体，上方是底面为圆形的柱体即圆柱；②计算总体积：几何体体积为长方体和圆柱体积之和，先从三视图中提取对应尺寸：长方体长30cm、宽25cm、高40cm，圆柱底面直径20cm、高32cm，分别按体积公式计算后相加；③计算质量：先将体积单位从立方厘米转换为立方米（匹配密度单位），再根据“质量=密度×体积”计算结果，注意按要求保留精度。
【解析】
(1) 结合三视图特征分析：下方几何体的俯视图为长方形，主视图、左视图为矩形，因此是长方体；上方几何体的俯视图为圆形，主视图、左视图为矩形，因此是圆柱。
(2) 分别计算两部分体积再求和：
长方体体积：$V_{\mathrm{长}}=长×宽×高=30×25×40=30000(\mathrm{cm}^3)$
圆柱底面半径$r=20÷2=10\mathrm{cm}$，圆柱体积：$V_{\mathrm{柱}}=π r^2h=3.14×10^2×32=10048(\mathrm{cm}^3)$
总体积：$V=V_{\mathrm{长}}+V_{\mathrm{柱}}=30000+10048=40048(\mathrm{cm}^3)$
(3) 先统一单位：$1\mathrm{m}^3=10^6\mathrm{cm}^3$，因此$40048\mathrm{cm}^3=40048÷10^6=0.040048\mathrm{m}^3$
根据质量公式计算：$m=\rho V=360×0.040048\approx14.4(\mathrm{kg})$
【答案】
(1) 下面的部分是长方体，上面的部分是圆柱
(2) 这个几何体的体积约为$40048\mathrm{cm}^3$
(3) 这个几何体的质量约是$14.4\mathrm{kg}$
【知识点】
由三视图判断几何体、长方体体积计算、圆柱体积计算
【点评】
本题将三视图识别和体积、质量计算结合考查，解题核心是准确从三视图中提取各几何体的对应尺寸，计算过程中需注意单位的统一，避免单位换算错误。
【难度系数】
0.7
