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1 已知二次函数$y=ax^2(a≠0)$的图象经过点$(-1,2)$，则必经过点 (
A.$(1,-2)$
B.$(1,2)$
C.$(2,-1)$
D.$(2,1)$
B
)A.$(1,-2)$
B.$(1,2)$
C.$(2,-1)$
D.$(2,1)$
答案
1.B 【解析】
∵ 函数$y=ax^2 (a≠0)$的图象经过点$(-1,2),∴ a=2,∴ y=2x^2$. 当 x = 1 时,y=2; 当 x=2时,y=8,
∴ 函数$y=ax^2 (a≠0)$的图象必经过点(1,2),故选 B.
∵ 函数$y=ax^2 (a≠0)$的图象经过点$(-1,2),∴ a=2,∴ y=2x^2$. 当 x = 1 时,y=2; 当 x=2时,y=8,
∴ 函数$y=ax^2 (a≠0)$的图象必经过点(1,2),故选 B.
解析
【分析】
解题有两种思路：方法一：先用待定系数法，将已知点坐标代入二次函数解析式，求出未知系数a的值，确定函数的具体表达式，再将各选项的横坐标代入解析式计算纵坐标，判断和选项给出的纵坐标是否一致即可；方法二：根据二次函数$y=ax^2$的图象性质，其对称轴是y轴，因此图象上关于y轴对称的点都在函数图象上，找到已知点关于y轴的对称点就能快速得到答案。
【解析】
方法一：
∵二次函数$y=ax^2(a≠0)$的图象经过点$(-1,2)$，
将$x=-1$，$y=2$代入解析式得：$2=a×(-1)^2$，解得$a=2$，
∴二次函数的解析式为$y=2x^2$。
分别代入各选项验证：
A. 当$x=1$时，$y=2×1^2=2≠-2$，该点不在函数图象上；
B. 当$x=1$时，$y=2×1^2=2$，该点在函数图象上；
C. 当$x=2$时，$y=2×2^2=8≠-1$，该点不在函数图象上；
D. 当$x=2$时，$y=2×2^2=8≠1$，该点不在函数图象上。
方法二：二次函数$y=ax^2(a≠0)$的图象对称轴为y轴，若点$(x,y)$在图象上，则其关于y轴的对称点$(-x,y)$也在图象上。已知点$(-1,2)$在图象上，则其对称点$(1,2)$也必在函数图象上。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数y=ax²的性质
2. 待定系数法求解析式
【点评】
本题是二次函数基础题型，利用对称性解题更快捷，既考查对二次函数基本性质的掌握，也考查待定系数法的基础应用，掌握核心性质即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题有两种思路：方法一：先用待定系数法，将已知点坐标代入二次函数解析式，求出未知系数a的值，确定函数的具体表达式，再将各选项的横坐标代入解析式计算纵坐标，判断和选项给出的纵坐标是否一致即可；方法二：根据二次函数$y=ax^2$的图象性质，其对称轴是y轴，因此图象上关于y轴对称的点都在函数图象上，找到已知点关于y轴的对称点就能快速得到答案。
【解析】
方法一：
∵二次函数$y=ax^2(a≠0)$的图象经过点$(-1,2)$，
将$x=-1$，$y=2$代入解析式得：$2=a×(-1)^2$，解得$a=2$，
∴二次函数的解析式为$y=2x^2$。
分别代入各选项验证：
A. 当$x=1$时，$y=2×1^2=2≠-2$，该点不在函数图象上；
B. 当$x=1$时，$y=2×1^2=2$，该点在函数图象上；
C. 当$x=2$时，$y=2×2^2=8≠-1$，该点不在函数图象上；
D. 当$x=2$时，$y=2×2^2=8≠1$，该点不在函数图象上。
方法二：二次函数$y=ax^2(a≠0)$的图象对称轴为y轴，若点$(x,y)$在图象上，则其关于y轴的对称点$(-x,y)$也在图象上。已知点$(-1,2)$在图象上，则其对称点$(1,2)$也必在函数图象上。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数y=ax²的性质
2. 待定系数法求解析式
【点评】
本题是二次函数基础题型，利用对称性解题更快捷，既考查对二次函数基本性质的掌握，也考查待定系数法的基础应用，掌握核心性质即可快速解题。
【难度系数】
0.9
2[2025 湖北鄂州期中]下列关于二次函数$y=2x^2$的说法中错误的是（
A.y 的最小值为 0
B.当$x＜0$时，y 随 x 的增大而增大
C.图象的对称轴是 y 轴
D.图象的顶点是原点
B
）A.y 的最小值为 0
B.当$x＜0$时，y 随 x 的增大而增大
C.图象的对称轴是 y 轴
D.图象的顶点是原点
答案
2.B 【解析】对于二次函数$y=2x^2,∵ a=2＞0,∴$ 函数图象开口向上,对称轴是 y 轴,顶点是原点,y 的最小值为 0,当 x＜0 时,y 随 x 的增大而减小,
∴ 选项A,C,D 正确,选项 B 错误.故选 B.
∴ 选项A,C,D 正确,选项 B 错误.故选 B.
解析
【分析】
本题要求判断二次函数$y=2x^2$相关说法的正误，解题思路如下：首先明确二次函数$y=ax^2$的性质由二次项系数$a$的符号决定，先确定本题中$a=2＞0$，再依次推导函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值、增减性，最后将推导结果和四个选项逐一比对，找出错误的选项即可。
【解析】
对于二次函数$y=2x^2$，二次项系数$a=2＞0$，因此函数图象为开口向上的抛物线：
1. 图象的对称轴为y轴（直线$x=0$），顶点坐标为$(0,0)$即原点，故C、D选项说法正确；
2. 由于图象开口向上，顶点是图象的最低点，因此$y$的最小值为0，故A选项说法正确；
3. 增减性规律：开口向上的抛物线，在对称轴左侧（$x＜0$时），$y$随$x$的增大而减小；在对称轴右侧（$x＞0$时），$y$随$x$的增大而增大，因此B选项说法错误。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的性质；2. 二次函数的增减性；3. 二次函数的最值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对二次函数$y=ax^2$基本性质的掌握，只要牢记开口方向、对称轴、顶点、增减性、最值这几类核心性质，就能快速判断正误。
【难度系数】
0.8
本题要求判断二次函数$y=2x^2$相关说法的正误，解题思路如下：首先明确二次函数$y=ax^2$的性质由二次项系数$a$的符号决定，先确定本题中$a=2＞0$，再依次推导函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值、增减性，最后将推导结果和四个选项逐一比对，找出错误的选项即可。
【解析】
对于二次函数$y=2x^2$，二次项系数$a=2＞0$，因此函数图象为开口向上的抛物线：
1. 图象的对称轴为y轴（直线$x=0$），顶点坐标为$(0,0)$即原点，故C、D选项说法正确；
2. 由于图象开口向上，顶点是图象的最低点，因此$y$的最小值为0，故A选项说法正确；
3. 增减性规律：开口向上的抛物线，在对称轴左侧（$x＜0$时），$y$随$x$的增大而减小；在对称轴右侧（$x＞0$时），$y$随$x$的增大而增大，因此B选项说法错误。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的性质；2. 二次函数的增减性；3. 二次函数的最值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对二次函数$y=ax^2$基本性质的掌握，只要牢记开口方向、对称轴、顶点、增减性、最值这几类核心性质，就能快速判断正误。
【难度系数】
0.8
3[2026上海闵行区期中]若抛物线$y=(a-1)x^2$（$a$为常数，$a≠1$）不经过第二象限，则$a$的取值范围是
$a＜1$
。答案
3.$a＜1$ 【解析】
∵ 抛物线$y=(a-1)x^2$($a$ 为常数,$a≠1$)不经过第二象限,$∴ a-1＜0,∴ a＜1$. 故答案为$a＜1$.
∵ 抛物线$y=(a-1)x^2$($a$ 为常数,$a≠1$)不经过第二象限,$∴ a-1＜0,∴ a＜1$. 故答案为$a＜1$.
解析
【分析】
首先回忆二次函数$y=ax^2$的图象性质：该类抛物线顶点恒在原点$(0,0)$，对称轴为y轴，开口方向由二次项系数的符号决定：系数大于0时开口向上，图象除原点外分布在第一、二象限；系数小于0时开口向下，图象除原点外分布在第三、四象限。题目要求抛物线不经过第二象限，说明开口必须向下，因此只需列不等式求解a的范围即可。
【解析】
解：
∵ 抛物线$y=(a-1)x^2$的顶点为原点$(0,0)$，对称轴为y轴，
若抛物线不经过第二象限，则抛物线开口必须向下，
∴ 二次项系数小于0，即$a-1＜0$，
解得：$a＜1$。
【答案】
$a＜1$
【知识点】
1.二次函数$y=ax^2$的图象性质
2.一元一次不等式的解法
【点评】
本题考查二次函数开口方向与二次项系数的对应关系，解题的关键是明确$y=ax^2$的顶点固定在原点，结合象限限制即可快速判断开口方向，属于基础概念应用题。
【难度系数】
0.8
首先回忆二次函数$y=ax^2$的图象性质：该类抛物线顶点恒在原点$(0,0)$，对称轴为y轴，开口方向由二次项系数的符号决定：系数大于0时开口向上，图象除原点外分布在第一、二象限；系数小于0时开口向下，图象除原点外分布在第三、四象限。题目要求抛物线不经过第二象限，说明开口必须向下，因此只需列不等式求解a的范围即可。
【解析】
解：
∵ 抛物线$y=(a-1)x^2$的顶点为原点$(0,0)$，对称轴为y轴，
若抛物线不经过第二象限，则抛物线开口必须向下，
∴ 二次项系数小于0，即$a-1＜0$，
解得：$a＜1$。
【答案】
$a＜1$
【知识点】
1.二次函数$y=ax^2$的图象性质
2.一元一次不等式的解法
【点评】
本题考查二次函数开口方向与二次项系数的对应关系，解题的关键是明确$y=ax^2$的顶点固定在原点，结合象限限制即可快速判断开口方向，属于基础概念应用题。
【难度系数】
0.8
4[2026安徽淮北调研]如图,若某抛物线形沙丘满足的函数表达式为$y=-\frac{4}{9}x^2$,则最低点B(18, h)到最高点O的垂直高度为
144
.答案
4.144 【解析】当 x = 18 时,$y=-\frac{4}{9}x^2=-\frac{4}{9}×18^2 =-144$,则最低点 B( 18, -144 ),
∴ 最低点 B( 18,-144 )到最高点 O 的垂直高度为 144,故答案为 144.
∴ 最低点 B( 18,-144 )到最高点 O 的垂直高度为 144,故答案为 144.
解析
【分析】
要计算最低点B到最高点O的垂直高度，首先明确最高点O是坐标原点(0,0)，已知点B的横坐标为18，我们可以先将x=18代入抛物线的函数表达式，求出点B的纵坐标，再结合垂直高度为两点纵坐标差值的绝对值（高度为正数），即可算出结果。
【解析】
已知抛物线的函数表达式为$y=-\frac{4}{9}x^2$，点B的横坐标为18，
将$x=18$代入函数表达式得：
$y=-\frac{4}{9}×18^2=-\frac{4}{9}×324=-144$，
即点B的坐标为$(18,-144)$，
又因为最高点O为坐标原点$(0,0)$，
所以B到O的垂直高度为$|0 - (-144)|=144$。
【答案】
144
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；二次函数$y=ax^2$的性质
【点评】
本题是二次函数的基础应用题，解题的核心是掌握二次函数图象上的点满足函数解析式，同时要明确垂直高度是正数，需对纵坐标的差值取绝对值，整体难度较低。
【难度系数】
0.9
要计算最低点B到最高点O的垂直高度，首先明确最高点O是坐标原点(0,0)，已知点B的横坐标为18，我们可以先将x=18代入抛物线的函数表达式，求出点B的纵坐标，再结合垂直高度为两点纵坐标差值的绝对值（高度为正数），即可算出结果。
【解析】
已知抛物线的函数表达式为$y=-\frac{4}{9}x^2$，点B的横坐标为18，
将$x=18$代入函数表达式得：
$y=-\frac{4}{9}×18^2=-\frac{4}{9}×324=-144$，
即点B的坐标为$(18,-144)$，
又因为最高点O为坐标原点$(0,0)$，
所以B到O的垂直高度为$|0 - (-144)|=144$。
【答案】
144
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；二次函数$y=ax^2$的性质
【点评】
本题是二次函数的基础应用题，解题的核心是掌握二次函数图象上的点满足函数解析式，同时要明确垂直高度是正数，需对纵坐标的差值取绝对值，整体难度较低。
【难度系数】
0.9
5 如图是四个二次函数的图象,则a,b,c,d的大小关系为
$d＜c＜b＜a$
.(用“＜”连接)答案
5.$d＜c＜b＜a$ 【解析】
∵ 抛物线$y=ax^2,y=bx^2$ 的开口向上,且抛物线$y=ax^2$ 的开口更小,$∴ a＞b＞0.∵$ 抛物线$y=cx^2,y=dx^2$ 的开口向下,且抛物线$y=dx^2$ 的开口更小,$∴ 0＞c＞d$. 故 $d＜c＜b＜a$.
∵ 抛物线$y=ax^2,y=bx^2$ 的开口向上,且抛物线$y=ax^2$ 的开口更小,$∴ a＞b＞0.∵$ 抛物线$y=cx^2,y=dx^2$ 的开口向下,且抛物线$y=dx^2$ 的开口更小,$∴ 0＞c＞d$. 故 $d＜c＜b＜a$.
解析
【分析】
解题时首先回忆二次函数$y=ax^2$的核心性质：一是$a$的符号决定开口方向，$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下；二是$|a|$的大小决定开口宽窄，$|a|$越大，抛物线开口越窄。先把四个函数按开口方向分为开口向上、向下两组，分别比较每组内系数的大小，再整合四个系数的整体排序即可。
【解析】
解：①判断$a$、$b$的大小关系：
抛物线$y=ax^2$、$y=bx^2$开口向上，因此$a＞0$，$b＞0$；
又$y=ax^2$的开口比$y=bx^2$更窄，说明$|a|＞|b|$，因此$a＞b＞0$。
②判断$c$、$d$的大小关系：
抛物线$y=cx^2$、$y=dx^2$开口向下，因此$c＜0$，$d＜0$；
又$y=dx^2$的开口比$y=cx^2$更窄，说明$|d|＞|c|$，根据负数绝对值越大数值越小，可得$d＜c＜0$。
③整合四者大小关系：结合以上结论，可得$d＜c＜b＜a$。
【答案】
$d＜c＜b＜a$
【知识点】
$y=ax^2$的图象性质；开口与$a$符号的关系；开口宽窄与$|a|$的关系
【点评】
本题是二次函数图象的基础考查题，核心是掌握二次项系数$a$对抛物线开口的影响，解题时注意负数比较大小时，不要混淆绝对值和数值大小的对应关系。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆二次函数$y=ax^2$的核心性质：一是$a$的符号决定开口方向，$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下；二是$|a|$的大小决定开口宽窄，$|a|$越大，抛物线开口越窄。先把四个函数按开口方向分为开口向上、向下两组，分别比较每组内系数的大小，再整合四个系数的整体排序即可。
【解析】
解：①判断$a$、$b$的大小关系：
抛物线$y=ax^2$、$y=bx^2$开口向上，因此$a＞0$，$b＞0$；
又$y=ax^2$的开口比$y=bx^2$更窄，说明$|a|＞|b|$，因此$a＞b＞0$。
②判断$c$、$d$的大小关系：
抛物线$y=cx^2$、$y=dx^2$开口向下，因此$c＜0$，$d＜0$；
又$y=dx^2$的开口比$y=cx^2$更窄，说明$|d|＞|c|$，根据负数绝对值越大数值越小，可得$d＜c＜0$。
③整合四者大小关系：结合以上结论，可得$d＜c＜b＜a$。
【答案】
$d＜c＜b＜a$
【知识点】
$y=ax^2$的图象性质；开口与$a$符号的关系；开口宽窄与$|a|$的关系
【点评】
本题是二次函数图象的基础考查题，核心是掌握二次项系数$a$对抛物线开口的影响，解题时注意负数比较大小时，不要混淆绝对值和数值大小的对应关系。
【难度系数】
0.8
6 已知点$A(-1,y_1)$,$B(2,y_2)$都在二次函数$y=-2x^2+1$的图象上,则$y_1$,$y_2$的大小关系是（
B
）答案
6.B 【解析】
∵ 函数$y=-2x^2+1$ 的图象的对称轴为 y轴,$∴ A(-1,y_1),B(2,y_2)$ 在对称轴两侧.
∵ 抛物线开口向下,且$|-1|＜|2|,∴ y_1＞y_2$. 故选 B.
∵ 函数$y=-2x^2+1$ 的图象的对称轴为 y轴,$∴ A(-1,y_1),B(2,y_2)$ 在对称轴两侧.
∵ 抛物线开口向下,且$|-1|＜|2|,∴ y_1＞y_2$. 故选 B.
解析
【分析】
要比较二次函数图象上两点的函数值大小，可利用二次函数的性质求解：首先确定二次函数的开口方向与对称轴，开口向下的抛物线上的点，距离对称轴越远，对应的函数值越小。本题中二次函数$y=-2x^2+1$的对称轴为y轴，因此只需比较两点横坐标的绝对值（即点到y轴的距离），结合开口方向即可快速判断$y_1$、$y_2$的大小关系，也可直接代入横坐标计算函数值后比较。
【解析】
∵ 二次函数$y=-2x^2+1$中$a=-2＜0$，
∴ 抛物线开口向下，且图象的对称轴为y轴。
抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的函数值越小，点$A(-1,y_1)$到y轴的距离为$|-1|=1$，点$B(2,y_2)$到y轴的距离为$|2|=2$，
∵ $1＜2$，即点A离对称轴更近，
∴ $y_1＞y_2$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象性质；二次函数对称性；函数值比较
【点评】
本题属于二次函数性质的基础考查题，解题方法灵活，既可以直接代入计算函数值比较，也可以结合抛物线的开口方向和对称性快速判断，熟练掌握二次函数的基本性质可提升解题效率。
【难度系数】
0.8
要比较二次函数图象上两点的函数值大小，可利用二次函数的性质求解：首先确定二次函数的开口方向与对称轴，开口向下的抛物线上的点，距离对称轴越远，对应的函数值越小。本题中二次函数$y=-2x^2+1$的对称轴为y轴，因此只需比较两点横坐标的绝对值（即点到y轴的距离），结合开口方向即可快速判断$y_1$、$y_2$的大小关系，也可直接代入横坐标计算函数值后比较。
【解析】
∵ 二次函数$y=-2x^2+1$中$a=-2＜0$，
∴ 抛物线开口向下，且图象的对称轴为y轴。
抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的函数值越小，点$A(-1,y_1)$到y轴的距离为$|-1|=1$，点$B(2,y_2)$到y轴的距离为$|2|=2$，
∵ $1＜2$，即点A离对称轴更近，
∴ $y_1＞y_2$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象性质；二次函数对称性；函数值比较
【点评】
本题属于二次函数性质的基础考查题，解题方法灵活，既可以直接代入计算函数值比较，也可以结合抛物线的开口方向和对称性快速判断，熟练掌握二次函数的基本性质可提升解题效率。
【难度系数】
0.8
7[2025 山东淄博期末]下列图象中,可能是函数$y=ax^2 - a(a≠0)$的图象的是（
C
）答案
7.C 【解析】当 a＞0 时,$-a＜0$,函数$y=ax^2 -a(a≠0)$的图象开口向上,顶点在 y 轴的负半轴; 当 a＜0时,$-a＞0$,函数$y=ax^2 -a(a≠0)$ 的图象开口向下,顶点在 y 轴的正半轴. 故选 C.
解析
【分析】
本题考查二次函数图象的判断，解题时可围绕二次函数$y=ax^2+c$的核心性质展开：首先，二次项系数$a$的符号决定图象的开口方向；其次，该类函数的对称轴为y轴，顶点坐标为$(0,c)$，本题中$c=-a$，因此顶点纵坐标与$a$符号相反。我们可分$a＞0$和$a＜0$两种情况讨论，结合各选项图象特征逐一排除错误选项即可。
【解析】
函数$y=ax^2 -a(a≠0)$属于二次函数$y=ax^2+c$的类型，对称轴为y轴，顶点坐标为$(0,-a)$，分两种情况分析：
1. 当$a＞0$时，$-a＜0$，此时函数图象开口向上，顶点在y轴负半轴；令$y=0$，可得$ax^2 -a=0$，解得$x=\pm1$，即图象与x轴有2个交点。选项A开口向上但顶点在y轴正半轴、与x轴无交点，不符合要求，排除。
2. 当$a＜0$时，$-a＞0$，此时函数图象开口向下，顶点在y轴正半轴，且图象与x轴有2个交点。选项D开口向下但顶点在y轴负半轴，不符合要求，排除；只有选项C符合该情况的图象特征。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数$y=ax^2+c$的图象与性质、分类讨论思想
【点评】
本题是二次函数图象判断的基础题型，解题的关键是掌握二次项系数对开口方向的影响，以及常数项与顶点纵坐标的对应关系，结合函数与x轴的交点特征可快速排除干扰项。
【难度系数】
0.7
本题考查二次函数图象的判断，解题时可围绕二次函数$y=ax^2+c$的核心性质展开：首先，二次项系数$a$的符号决定图象的开口方向；其次，该类函数的对称轴为y轴，顶点坐标为$(0,c)$，本题中$c=-a$，因此顶点纵坐标与$a$符号相反。我们可分$a＞0$和$a＜0$两种情况讨论，结合各选项图象特征逐一排除错误选项即可。
【解析】
函数$y=ax^2 -a(a≠0)$属于二次函数$y=ax^2+c$的类型，对称轴为y轴，顶点坐标为$(0,-a)$，分两种情况分析：
1. 当$a＞0$时，$-a＜0$，此时函数图象开口向上，顶点在y轴负半轴；令$y=0$，可得$ax^2 -a=0$，解得$x=\pm1$，即图象与x轴有2个交点。选项A开口向上但顶点在y轴正半轴、与x轴无交点，不符合要求，排除。
2. 当$a＜0$时，$-a＞0$，此时函数图象开口向下，顶点在y轴正半轴，且图象与x轴有2个交点。选项D开口向下但顶点在y轴负半轴，不符合要求，排除；只有选项C符合该情况的图象特征。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数$y=ax^2+c$的图象与性质、分类讨论思想
【点评】
本题是二次函数图象判断的基础题型，解题的关键是掌握二次项系数对开口方向的影响，以及常数项与顶点纵坐标的对应关系，结合函数与x轴的交点特征可快速排除干扰项。
【难度系数】
0.7
8 已知二次函数$y=3x^2 -5$，当$-1≤ x≤4$时，$y$的最小值为
-5
。答案
8.-5 【解析】
∵ 二次函数$y=3x^2 -5$ 的图象开口向上,对称轴为 y 轴,顶点在 y 轴的负半轴,
∴ 当$-1≤ x≤4$ 且 y 取最小值时,$x=0$,
∴ y 的最小值为-5,故答案为-5.
∵ 二次函数$y=3x^2 -5$ 的图象开口向上,对称轴为 y 轴,顶点在 y 轴的负半轴,
∴ 当$-1≤ x≤4$ 且 y 取最小值时,$x=0$,
∴ y 的最小值为-5,故答案为-5.
解析
【分析】
解决本题需先结合二次函数$y=ax^2+c$的性质逐步推导：首先由$a$的正负判断函数的开口方向，再确定对称轴，然后判断对称轴是否落在给定的自变量取值范围内。开口向上的二次函数，离对称轴越近函数值越小，若对称轴在取值区间内，最小值就在对称轴处取得，最后代入计算即可得到最小值。
【解析】
∵ 二次函数$y=3x^2 -5$中，$a=3＞0$，
∴ 函数图象开口向上，对称轴为y轴（即直线$x=0$），顶点坐标为$(0,-5)$。
∵ 给定自变量的取值范围是$-1≤ x≤4$，对称轴$x=0$在该区间内，
∴ 当$x=0$时，$y$取得最小值，代入函数得：$y=3×0^2-5=-5$。
【答案】
-5
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2+c$的性质 2. 二次函数区间最值求解
【点评】
本题属于二次函数最值的基础考查题，解题核心是掌握开口方向、对称轴与二次函数函数值变化规律的关系，注意求解区间最值时要先判断对称轴是否在给定的自变量区间内。
【难度系数】
0.8
解决本题需先结合二次函数$y=ax^2+c$的性质逐步推导：首先由$a$的正负判断函数的开口方向，再确定对称轴，然后判断对称轴是否落在给定的自变量取值范围内。开口向上的二次函数，离对称轴越近函数值越小，若对称轴在取值区间内，最小值就在对称轴处取得，最后代入计算即可得到最小值。
【解析】
∵ 二次函数$y=3x^2 -5$中，$a=3＞0$，
∴ 函数图象开口向上，对称轴为y轴（即直线$x=0$），顶点坐标为$(0,-5)$。
∵ 给定自变量的取值范围是$-1≤ x≤4$，对称轴$x=0$在该区间内，
∴ 当$x=0$时，$y$取得最小值，代入函数得：$y=3×0^2-5=-5$。
【答案】
-5
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2+c$的性质 2. 二次函数区间最值求解
【点评】
本题属于二次函数最值的基础考查题，解题核心是掌握开口方向、对称轴与二次函数函数值变化规律的关系，注意求解区间最值时要先判断对称轴是否在给定的自变量区间内。
【难度系数】
0.8
9[2025江苏无锡期中]把抛物线$y=x^2 -1$向上平移3个单位长度可得到抛物线（
A.$y=x^2+3$
B.$y=(x+3)^2 -1$
C.$y=x^2+2$
D.$y=(x-3)^2 -1$
C
）A.$y=x^2+3$
B.$y=(x+3)^2 -1$
C.$y=x^2+2$
D.$y=(x-3)^2 -1$
答案
9.C 【解析】由题知,把抛物线$y=x^2 -1$ 向上平移 3个单位可得抛物线$y=x^2 -1+3=x^2 +2$. 故选 C.
解析
【分析】
解决本题首先要明确二次函数图象的平移规律：上下平移时调整函数的常数项，遵循“上加下减”的规则；左右平移时调整自变量x，遵循“左加右减”的规则。本题是向上平移3个单位，只需在原抛物线解析式的基础上给常数部分加3即可，无需调整x项，先排除对x进行加减操作的B、D选项，再计算即可得到正确结果。
【解析】
根据二次函数图象上下平移“上加下减”的规律，将抛物线$y=x^2 -1$向上平移3个单位长度时，只需在原解析式末尾加上平移的单位长度3，可得新抛物线的解析式为：
$y=x^2 -1 + 3 = x^2 + 2$
因此选项C符合要求。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数图象平移规律
2. 二次函数解析式确定
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，核心考查对平移规则的理解与应用，解题的关键是区分上下平移和左右平移的操作对象，避免混淆“上加下减”和“左加右减”的适用场景，熟练掌握规则即可快速解题。
【难度系数】
0.85
解决本题首先要明确二次函数图象的平移规律：上下平移时调整函数的常数项，遵循“上加下减”的规则；左右平移时调整自变量x，遵循“左加右减”的规则。本题是向上平移3个单位，只需在原抛物线解析式的基础上给常数部分加3即可，无需调整x项，先排除对x进行加减操作的B、D选项，再计算即可得到正确结果。
【解析】
根据二次函数图象上下平移“上加下减”的规律，将抛物线$y=x^2 -1$向上平移3个单位长度时，只需在原解析式末尾加上平移的单位长度3，可得新抛物线的解析式为：
$y=x^2 -1 + 3 = x^2 + 2$
因此选项C符合要求。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数图象平移规律
2. 二次函数解析式确定
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，核心考查对平移规则的理解与应用，解题的关键是区分上下平移和左右平移的操作对象，避免混淆“上加下减”和“左加右减”的适用场景，熟练掌握规则即可快速解题。
【难度系数】
0.85
10 能否适当地上下平移二次函数$y=\frac{1}{3}x^2$的图象，使得到的图象经过点$(3,-3)$？若能，求出平移的方向和距离；若不能，请说明理由。
刷易错 小心有坑~
刷易错 小心有坑~
答案
10.【解】能. 设平移后的图象的函数表达式为$y=\frac{1}{3}x^2 +k$. 把$(3,-3)$代入,得$-3=\frac{1}{3}×3^2 +k$,解得$k=-6$,
∴ 把$y=\frac{1}{3}x^2$ 的图象向下平移 6 个单位长度,得到的图象经过点$(3,-3)$.
∴ 把$y=\frac{1}{3}x^2$ 的图象向下平移 6 个单位长度,得到的图象经过点$(3,-3)$.
解析
【分析】
解决本题首先要明确二次函数上下平移的解析式变化规律：二次函数图象上下平移时，二次项系数不变，仅常数项遵循“上加下减”的变化规则，即向上平移m个单位，常数项加m，向下平移m个单位，常数项减m。我们可以先设平移后的函数解析式，再将已知点的坐标代入解析式求出未知参数，根据参数的正负和绝对值即可判断平移的方向和距离。
【解析】
解：能，设平移后图象对应的函数表达式为$y=\frac{1}{3}x^2 +k$。
∵ 平移后的图象经过点$(3,-3)$，将点坐标代入解析式得：
$\quad -3=\frac{1}{3}×3^2 +k$
计算得：$-3=3 +k$
解得：$k=-6$
∵ $k=-6＜0$，
∴ 需将$y=\frac{1}{3}x^2$的图象向下平移6个单位长度，得到的图象经过点$(3,-3)$。
【答案】
能，将二次函数$y=\frac{1}{3}x^2$的图象向下平移6个单位长度，得到的图象经过点$(3,-3)$。
【知识点】
二次函数图象平移规律；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于二次函数平移的基础题型，解题关键是牢记二次函数上下平移时解析式的变化规则，结合函数图象上的点满足对应函数解析式即可求解，注意不要混淆上下平移对应的常数项加减规则。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要明确二次函数上下平移的解析式变化规律：二次函数图象上下平移时，二次项系数不变，仅常数项遵循“上加下减”的变化规则，即向上平移m个单位，常数项加m，向下平移m个单位，常数项减m。我们可以先设平移后的函数解析式，再将已知点的坐标代入解析式求出未知参数，根据参数的正负和绝对值即可判断平移的方向和距离。
【解析】
解：能，设平移后图象对应的函数表达式为$y=\frac{1}{3}x^2 +k$。
∵ 平移后的图象经过点$(3,-3)$，将点坐标代入解析式得：
$\quad -3=\frac{1}{3}×3^2 +k$
计算得：$-3=3 +k$
解得：$k=-6$
∵ $k=-6＜0$，
∴ 需将$y=\frac{1}{3}x^2$的图象向下平移6个单位长度，得到的图象经过点$(3,-3)$。
【答案】
能，将二次函数$y=\frac{1}{3}x^2$的图象向下平移6个单位长度，得到的图象经过点$(3,-3)$。
【知识点】
二次函数图象平移规律；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于二次函数平移的基础题型，解题关键是牢记二次函数上下平移时解析式的变化规则，结合函数图象上的点满足对应函数解析式即可求解，注意不要混淆上下平移对应的常数项加减规则。
【难度系数】
0.8
11 [2025江苏南通质检]已知抛物线$y=ax^2$与$y=4x^2$的形状相同，则a的值是（
A.4
B.-4
C.$\pm4$
D.1
C
）A.4
B.-4
C.$\pm4$
D.1
答案
11.C 【解析】
∵ 抛物线$y=ax^2$ 与$y=4x^2$ 的形状相同,$∴ |a|=4,∴ a=±4$. 故选 C.
∵ 抛物线$y=ax^2$ 与$y=4x^2$ 的形状相同,$∴ |a|=4,∴ a=±4$. 故选 C.
解析
【分析】
解题时首先要明确抛物线形状的决定因素：抛物线$y=ax^2$的形状仅由二次项系数$a$的绝对值决定，$|a|$相等则抛物线开口大小相同、形状一致，$a$的正负仅影响开口方向，不改变形状。因此已知两个抛物线形状相同，可推出二者二次项系数的绝对值相等，再求解绝对值方程即可得到$a$的取值。
【解析】
∵ 抛物线$y=ax^2$与$y=4x^2$的形状相同，
∴ 两个抛物线二次项系数的绝对值相等，即$|a|=4$，
解得$a=\pm4$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数图象性质
2. 绝对值运算
【点评】
本题属于基础题，主要考查抛物线形状与二次项系数的关系，易错点是容易忽略$a$为负的情况，解题时需注意形状相同仅要求二次项系数绝对值相等，和开口方向无关。
【难度系数】
0.75
解题时首先要明确抛物线形状的决定因素：抛物线$y=ax^2$的形状仅由二次项系数$a$的绝对值决定，$|a|$相等则抛物线开口大小相同、形状一致，$a$的正负仅影响开口方向，不改变形状。因此已知两个抛物线形状相同，可推出二者二次项系数的绝对值相等，再求解绝对值方程即可得到$a$的取值。
【解析】
∵ 抛物线$y=ax^2$与$y=4x^2$的形状相同，
∴ 两个抛物线二次项系数的绝对值相等，即$|a|=4$，
解得$a=\pm4$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数图象性质
2. 绝对值运算
【点评】
本题属于基础题，主要考查抛物线形状与二次项系数的关系，易错点是容易忽略$a$为负的情况，解题时需注意形状相同仅要求二次项系数绝对值相等，和开口方向无关。
【难度系数】
0.75
