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1 [2026 浙江台州期中]二次函数$y=x^2$的图象经过点（
A.$(0,1)$
B.$(2,4)$
C.$(-1,-1)$
D.$(4,2)$
B
）A.$(0,1)$
B.$(2,4)$
C.$(-1,-1)$
D.$(4,2)$
答案
【解析】当$x=0$时,$y=0^2=0≠1$,
∴ 点$(0,1)$不在该函数图象上,故 A 不符合题意; 当$x = 2$时,$y=2^2=4$,
∴ 点$(2,4)$在该函数图象上,故 B 符合题意; 当$x=-1$时,$y=(-1)^2=1≠-1$,
∴ 点$(-1,-1)$不在该函数图象上,故 C 不符合题意; 当$x=4$时,$y=4^2=16≠2$,
∴ 点$(4,2)$不在该函数图象上,故 D 不符合题意. 故选 B.
∴ 点$(0,1)$不在该函数图象上,故 A 不符合题意; 当$x = 2$时,$y=2^2=4$,
∴ 点$(2,4)$在该函数图象上,故 B 符合题意; 当$x=-1$时,$y=(-1)^2=1≠-1$,
∴ 点$(-1,-1)$不在该函数图象上,故 C 不符合题意; 当$x=4$时,$y=4^2=16≠2$,
∴ 点$(4,2)$不在该函数图象上,故 D 不符合题意. 故选 B.
解析
【分析】
判断点是否在函数图象上的核心逻辑是：函数图象上的所有点的坐标都满足函数的解析式，反过来，坐标满足函数解析式的点一定在函数图象上。因此解题时只需要把每个选项中点的横坐标代入二次函数$y=x^2$，求出对应的函数值，再和该点的纵坐标比对，若二者相等则该点在函数图象上，否则不在，逐个验证四个选项就能得到正确答案。
【解析】
当$x=0$时,$y=0^2=0≠1$,
∴ 点$(0,1)$不在该函数图象上,故 A 不符合题意;
当$x = 2$时,$y=2^2=4$,
∴ 点$(2,4)$在该函数图象上,故 B 符合题意;
当$x=-1$时,$y=(-1)^2=1≠-1$,
∴ 点$(-1,-1)$不在该函数图象上,故 C 不符合题意;
当$x=4$时,$y=4^2=16≠2$,
∴ 点$(4,2)$不在该函数图象上,故 D 不符合题意。
故选 B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征，代入法验证点的位置
【点评】
本题属于基础题型，考查点与函数图象位置关系的判断方法，掌握代入验证的思路即可快速解题，是二次函数相关知识的基础应用。
【难度系数】
0.9
判断点是否在函数图象上的核心逻辑是：函数图象上的所有点的坐标都满足函数的解析式，反过来，坐标满足函数解析式的点一定在函数图象上。因此解题时只需要把每个选项中点的横坐标代入二次函数$y=x^2$，求出对应的函数值，再和该点的纵坐标比对，若二者相等则该点在函数图象上，否则不在，逐个验证四个选项就能得到正确答案。
【解析】
当$x=0$时,$y=0^2=0≠1$,
∴ 点$(0,1)$不在该函数图象上,故 A 不符合题意;
当$x = 2$时,$y=2^2=4$,
∴ 点$(2,4)$在该函数图象上,故 B 符合题意;
当$x=-1$时,$y=(-1)^2=1≠-1$,
∴ 点$(-1,-1)$不在该函数图象上,故 C 不符合题意;
当$x=4$时,$y=4^2=16≠2$,
∴ 点$(4,2)$不在该函数图象上,故 D 不符合题意。
故选 B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征，代入法验证点的位置
【点评】
本题属于基础题型，考查点与函数图象位置关系的判断方法，掌握代入验证的思路即可快速解题，是二次函数相关知识的基础应用。
【难度系数】
0.9
2 二次函数$y=x^2$的图象经过的象限是 （
A.第一、二象限
B.第一、三象限
C.第二、四象限
D.第三、四象限
A
）A.第一、二象限
B.第一、三象限
C.第二、四象限
D.第三、四象限
答案
【解析】二次函数$y=x^2$的图象最低点是原点，开口向上，所以其图象经过第一、二象限. 故选 A.
解析
【分析】
解决本题可按以下思路推导：首先回忆二次函数的性质，二次项系数的符号决定抛物线的开口方向，$y=x^2$的二次项系数为1＞0，因此抛物线开口向上；其次该函数的顶点为原点，且对任意实数x都有$x^2≥0$，即y值恒为非负数，因此图象不会出现在y＜0的第三、四象限；最后结合x的取值判断象限：x＞0时y＞0，对应点在第一象限，x＜0时y＞0，对应点在第二象限，即可确定图象经过的象限。
【解析】
∵二次函数$y=x^2$中，二次项系数$a=1＞0$，
∴抛物线开口向上，
又
∵该抛物线的顶点坐标为原点$(0,0)$，对任意不为0的实数x，都有$y=x^2＞0$，
∴当$x＞0$时，对应图象上的点位于第一象限；当$x＜0$时，对应图象上的点位于第二象限，
因此二次函数$y=x^2$的图象经过第一、二象限。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
1.二次函数$y=x^2$的性质
2.平面直角坐标系象限特征
【点评】
本题是基础类考题，主要考查对二次函数$y=x^2$图象特征的掌握，牢记其开口方向、函数值的符号规律即可快速得到答案。
【难度系数】
0.9
解决本题可按以下思路推导：首先回忆二次函数的性质，二次项系数的符号决定抛物线的开口方向，$y=x^2$的二次项系数为1＞0，因此抛物线开口向上；其次该函数的顶点为原点，且对任意实数x都有$x^2≥0$，即y值恒为非负数，因此图象不会出现在y＜0的第三、四象限；最后结合x的取值判断象限：x＞0时y＞0，对应点在第一象限，x＜0时y＞0，对应点在第二象限，即可确定图象经过的象限。
【解析】
∵二次函数$y=x^2$中，二次项系数$a=1＞0$，
∴抛物线开口向上，
又
∵该抛物线的顶点坐标为原点$(0,0)$，对任意不为0的实数x，都有$y=x^2＞0$，
∴当$x＞0$时，对应图象上的点位于第一象限；当$x＜0$时，对应图象上的点位于第二象限，
因此二次函数$y=x^2$的图象经过第一、二象限。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
1.二次函数$y=x^2$的性质
2.平面直角坐标系象限特征
【点评】
本题是基础类考题，主要考查对二次函数$y=x^2$图象特征的掌握，牢记其开口方向、函数值的符号规律即可快速得到答案。
【难度系数】
0.9
3[2026山西阳泉期中]已知函数$y=x^2$，当$x＜-2$时，$y$的取值范围为（
A.$y＞2$
B.$y＞4$
C.$y＜2$
D.$y＜4$
B
）A.$y＞2$
B.$y＞4$
C.$y＜2$
D.$y＜4$
答案
【解析】
∵ 函数$y=x^2$的图象开口向上,对称轴为$y$轴,
∴ 当$x＜0$时,$y$随$x$的增大而减小. 当$x=-2$时,$y=4$,
∴ 当$x＜-2$时,$y＞4$. 故选 B.
∵ 函数$y=x^2$的图象开口向上,对称轴为$y$轴,
∴ 当$x＜0$时,$y$随$x$的增大而减小. 当$x=-2$时,$y=4$,
∴ 当$x＜-2$时,$y＞4$. 故选 B.
解析
【分析】
解题时首先回忆二次函数$y=x^2$的基本性质：它的图象是开口向上的抛物线，对称轴为y轴（直线$x=0$）。在对称轴左侧（$x＜0$时），$y$随$x$的增大而减小。题目给定的$x＜-2$属于对称轴左侧的区间，我们先计算边界点$x=-2$对应的$y$值，再结合该区间的函数增减性，即可推出$y$的取值范围。
【解析】
∵ 函数$y=x^2$的图象开口向上，对称轴为y轴（直线$x=0$），
∴ 当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小。
当$x=-2$时，$y=(-2)^2=4$，
∴ 当$x＜-2$时，$x$的取值都小于-2，结合$x＜0$时$y$随$x$增大而减小的规律，可得$y＞4$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数$y=x^2$的性质；二次函数的增减性
【点评】
本题考查二次函数基本性质的应用，解题核心是明确给定自变量区间对应的函数增减规律，结合边界值即可快速判断函数值的取值范围，属于二次函数章节的基础题型。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆二次函数$y=x^2$的基本性质：它的图象是开口向上的抛物线，对称轴为y轴（直线$x=0$）。在对称轴左侧（$x＜0$时），$y$随$x$的增大而减小。题目给定的$x＜-2$属于对称轴左侧的区间，我们先计算边界点$x=-2$对应的$y$值，再结合该区间的函数增减性，即可推出$y$的取值范围。
【解析】
∵ 函数$y=x^2$的图象开口向上，对称轴为y轴（直线$x=0$），
∴ 当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小。
当$x=-2$时，$y=(-2)^2=4$，
∴ 当$x＜-2$时，$x$的取值都小于-2，结合$x＜0$时$y$随$x$增大而减小的规律，可得$y＞4$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数$y=x^2$的性质；二次函数的增减性
【点评】
本题考查二次函数基本性质的应用，解题核心是明确给定自变量区间对应的函数增减规律，结合边界值即可快速判断函数值的取值范围，属于二次函数章节的基础题型。
【难度系数】
0.9
4[2026·广东广州质检]二次函数$y=x^2$的图象如图所示，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B，C在二次函数$y=x^2$的图象上，四边形OBAC为菱形，且$∠ BAC=60°$，则菱形OBAC的面积为
$6\sqrt{3}$
。答案
【解析】连接 BC 交 AO 于点 D,如图所示.
∵ 四边形 OBAC 为菱形,且$∠BAC=60°$,
∴ $∠BAO=∠AOB=30°$,$AO ⊥ BC$,
∴ $∠ODB = 90°$. 设点$B(a,b)$, 即 $BD = a$, $OD = b$,
∴ $BO=2BD=2a$. 在 $Rt△ODB$ 中,$OD = \sqrt{BO^2-BD^2} = \sqrt{(2a)^2-a^2} = \sqrt{3}\,a$, 即 $b = \sqrt{3}\,a$,
∴ 点 $B\,(a,\sqrt{3}\,a)$.
∵ 点 B 在二次函数 $y=x^2$ 的图象上,
∴ $\sqrt{3}\,a=a^2$, 解得 $a_1=\sqrt{3}$,$a_2=0$(舍去),
∴ 点 $B(\sqrt{3},3)$,
∴ $BD=\sqrt{3}$,$OD=3$,
∴ $BC=2BD=2\sqrt{3}$,$AO=2OD=6$,
∴ 菱形 OBAC 的面积为 $\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×6=6\sqrt{3}$.
解析
【分析】
解题时首先结合菱形的性质：对角线互相垂直平分、平分一组内角，已知∠BAC=60°，所以连接BC交AO于点D，可得∠OAB=30°，AO⊥BC；再在Rt△ODB中利用30°角所对直角边是斜边一半和勾股定理，得到点B横、纵坐标的数量关系；最后结合点B在二次函数y=x²的图象上，将坐标代入解析式求出点B的坐标，进而得到菱形两条对角线的长度，用菱形面积公式（对角线乘积的一半）计算即可。
【解析】
连接BC交AO于点D，如图所示。
∵ 四边形OBAC为菱形，且∠BAC=60°，
∴ AB=OB，∠BAO=30°，AO⊥BC，BC=2BD，AO=2OD，
∴ ∠AOB=∠BAO=30°，∠ODB=90°。
设点B(a,b)，则BD=a，OD=b，
∴ 在Rt△ODB中，OB=2BD=2a，
由勾股定理得：$OD = \sqrt{BO^2-BD^2} = \sqrt{(2a)^2-a^2} = \sqrt{3}\,a$，即$b = \sqrt{3}\,a$，
∴ 点B的坐标为$(a,\sqrt{3}\,a)$。
∵ 点B在二次函数$y=x^2$的图象上，
∴ $\sqrt{3}\,a=a^2$，
解得$a_1=\sqrt{3}$，$a_2=0$（不符合题意，舍去），
∴ 点$B(\sqrt{3},3)$，即$BD=\sqrt{3}$，$OD=3$，
∴ $BC=2BD=2\sqrt{3}$，$AO=2OD=6$，
∴ 菱形OBAC的面积为 $\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×6=6\sqrt{3}$。
【答案】
$6\sqrt{3}$
【知识点】
菱形的性质，二次函数图象上点的坐标特征，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是二次函数与几何图形的综合题，需要熟练掌握菱形的性质、特殊直角三角形的边角关系以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是建立点B横纵坐标的关系代入解析式求解，体现了数形结合的思想。
【难度系数】
0.6
解题时首先结合菱形的性质：对角线互相垂直平分、平分一组内角，已知∠BAC=60°，所以连接BC交AO于点D，可得∠OAB=30°，AO⊥BC；再在Rt△ODB中利用30°角所对直角边是斜边一半和勾股定理，得到点B横、纵坐标的数量关系；最后结合点B在二次函数y=x²的图象上，将坐标代入解析式求出点B的坐标，进而得到菱形两条对角线的长度，用菱形面积公式（对角线乘积的一半）计算即可。
【解析】
连接BC交AO于点D，如图
所示。∵ 四边形OBAC为菱形，且∠BAC=60°，
∴ AB=OB，∠BAO=30°，AO⊥BC，BC=2BD，AO=2OD，
∴ ∠AOB=∠BAO=30°，∠ODB=90°。
设点B(a,b)，则BD=a，OD=b，
∴ 在Rt△ODB中，OB=2BD=2a，
由勾股定理得：$OD = \sqrt{BO^2-BD^2} = \sqrt{(2a)^2-a^2} = \sqrt{3}\,a$，即$b = \sqrt{3}\,a$，
∴ 点B的坐标为$(a,\sqrt{3}\,a)$。
∵ 点B在二次函数$y=x^2$的图象上，
∴ $\sqrt{3}\,a=a^2$，
解得$a_1=\sqrt{3}$，$a_2=0$（不符合题意，舍去），
∴ 点$B(\sqrt{3},3)$，即$BD=\sqrt{3}$，$OD=3$，
∴ $BC=2BD=2\sqrt{3}$，$AO=2OD=6$，
∴ 菱形OBAC的面积为 $\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×6=6\sqrt{3}$。
【答案】
$6\sqrt{3}$
【知识点】
菱形的性质，二次函数图象上点的坐标特征，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是二次函数与几何图形的综合题，需要熟练掌握菱形的性质、特殊直角三角形的边角关系以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是建立点B横纵坐标的关系代入解析式求解，体现了数形结合的思想。
【难度系数】
0.6
5 在平面直角坐标系中,点A的坐标为$(m,-6m+7)$,过点A作y轴的平行线交二次函数$y=x^2$的图象于点B.
(1)点B的纵坐标为
(2)当$m＜0$时,若$AB=2$,求m的值.
(1)点B的纵坐标为
$m^2$
(用含m的代数式表示);(2)当$m＜0$时,若$AB=2$,求m的值.
答案
【解】(1)当$x=m$时,$y=m^2$,
∴ 点 B 的纵坐标为 $m^2$.
(2)由题意,得$|-6m+7-m^2|=2$,即$|m^2+6m-7|=2$,
∴ $m^2+6m-7=2$ 或 $m^2+6m-7=-2$.
解 $m^2+6m-9=0$,得 $m=-3±3\sqrt{2}$.
解 $m^2+6m-5=0$,得 $m=-3±\sqrt{14}$.
又
∵ $m＜0$,
∴ $m=-3-3\sqrt{2}$或$-3-\sqrt{14}$.
∴ 点 B 的纵坐标为 $m^2$.
(2)由题意,得$|-6m+7-m^2|=2$,即$|m^2+6m-7|=2$,
∴ $m^2+6m-7=2$ 或 $m^2+6m-7=-2$.
解 $m^2+6m-9=0$,得 $m=-3±3\sqrt{2}$.
解 $m^2+6m-5=0$,得 $m=-3±\sqrt{14}$.
又
∵ $m＜0$,
∴ $m=-3-3\sqrt{2}$或$-3-\sqrt{14}$.
解析
【分析】
(1) 平行于y轴的直线上所有点的横坐标相等，因此点B的横坐标与点A的横坐标相同，均为m。将x=m代入二次函数$y=x^2$的解析式，即可求出点B的纵坐标。
(2) 横坐标相同的两个点之间的距离等于两点纵坐标差的绝对值，据此可列出关于m的绝对值方程。将绝对值方程拆分为两个一元二次方程分别求解，再结合$m＜0$的限制条件，筛选出符合要求的m值即可。
【解析】
(1)
∵ 过点A作y轴的平行线交二次函数$y=x^2$的图象于点B，
∴ 点B的横坐标与点A的横坐标相等，即$x_B=m$。将$x=m$代入$y=x^2$，得$y=m^2$，
∴ 点B的纵坐标为$m^2$。
(2) 由题意可知，点A、B横坐标相同，因此AB的长度为两点纵坐标的差的绝对值，即$|(-6m+7)-m^2|=2$，整理得$|m^2+6m-7|=2$。
根据绝对值的性质，分两种情况讨论：
① 当$m^2+6m-7=2$时，整理得$m^2+6m-9=0$，由求根公式得$m=\frac{-6\pm\sqrt{6^2-4×1×(-9)}}{2×1}=\frac{-6\pm\sqrt{72}}{2}=-3\pm3\sqrt{2}$；
② 当$m^2+6m-7=-2$时，整理得$m^2+6m-5=0$，由求根公式得$m=\frac{-6\pm\sqrt{6^2-4×1×(-5)}}{2×1}=\frac{-6\pm\sqrt{56}}{2}=-3\pm\sqrt{14}$。
结合已知条件$m＜0$，舍去大于0的根：$-3+3\sqrt{2}＞0$，$-3+\sqrt{14}＞0$，因此符合条件的m的值为$m=-3-3\sqrt{2}$或$m=-3-\sqrt{14}$。
【答案】
(1) $m^2$；(2) $-3-3\sqrt{2}$或$-3-\sqrt{14}$
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征，平行于坐标轴的点的坐标特点，一元二次方程的解法
【点评】
本题属于二次函数基础应用题，将坐标系中点的坐标性质与方程求解结合考察，解题时要注意绝对值方程拆分时不要漏解，求出根后需结合题干给出的参数取值范围筛选符合要求的解，避免出现增根。
【难度系数】
0.6
(1) 平行于y轴的直线上所有点的横坐标相等，因此点B的横坐标与点A的横坐标相同，均为m。将x=m代入二次函数$y=x^2$的解析式，即可求出点B的纵坐标。
(2) 横坐标相同的两个点之间的距离等于两点纵坐标差的绝对值，据此可列出关于m的绝对值方程。将绝对值方程拆分为两个一元二次方程分别求解，再结合$m＜0$的限制条件，筛选出符合要求的m值即可。
【解析】
(1)
∵ 过点A作y轴的平行线交二次函数$y=x^2$的图象于点B，
∴ 点B的横坐标与点A的横坐标相等，即$x_B=m$。将$x=m$代入$y=x^2$，得$y=m^2$，
∴ 点B的纵坐标为$m^2$。
(2) 由题意可知，点A、B横坐标相同，因此AB的长度为两点纵坐标的差的绝对值，即$|(-6m+7)-m^2|=2$，整理得$|m^2+6m-7|=2$。
根据绝对值的性质，分两种情况讨论：
① 当$m^2+6m-7=2$时，整理得$m^2+6m-9=0$，由求根公式得$m=\frac{-6\pm\sqrt{6^2-4×1×(-9)}}{2×1}=\frac{-6\pm\sqrt{72}}{2}=-3\pm3\sqrt{2}$；
② 当$m^2+6m-7=-2$时，整理得$m^2+6m-5=0$，由求根公式得$m=\frac{-6\pm\sqrt{6^2-4×1×(-5)}}{2×1}=\frac{-6\pm\sqrt{56}}{2}=-3\pm\sqrt{14}$。
结合已知条件$m＜0$，舍去大于0的根：$-3+3\sqrt{2}＞0$，$-3+\sqrt{14}＞0$，因此符合条件的m的值为$m=-3-3\sqrt{2}$或$m=-3-\sqrt{14}$。
【答案】
(1) $m^2$；(2) $-3-3\sqrt{2}$或$-3-\sqrt{14}$
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征，平行于坐标轴的点的坐标特点，一元二次方程的解法
【点评】
本题属于二次函数基础应用题，将坐标系中点的坐标性质与方程求解结合考察，解题时要注意绝对值方程拆分时不要漏解，求出根后需结合题干给出的参数取值范围筛选符合要求的解，避免出现增根。
【难度系数】
0.6
6[2026新疆和田期中]若点$(2,y_1),(1,y_2),(0,y_3)$都在二次函数$y=-x^2$的图象上，则（
A.$y_3＞y_2＞y_1$
B.$y_2＞y_1＞y_3$
C.$y_1＞y_3＞y_2$
D.$y_3＞y_1＞y_2$
A
）A.$y_3＞y_2＞y_1$
B.$y_2＞y_1＞y_3$
C.$y_1＞y_3＞y_2$
D.$y_3＞y_1＞y_2$
答案
【解析】
∵ 二次函数的表达式为 $y=-x^2$,
∴ 图象开口向下,对称轴为 $y$ 轴,
∴ 当 $x≥0$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而减小. 又
∵ 点 $(2,y_1)$,$(1,y_2)$,$(0,y_3)$ 都在二次函数 $y=-x^2$ 图象上,且 $0＜1＜2$,
∴ $y_3＞y_2＞y_1$. 故选 A.
∵ 二次函数的表达式为 $y=-x^2$,
∴ 图象开口向下,对称轴为 $y$ 轴,
∴ 当 $x≥0$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而减小. 又
∵ 点 $(2,y_1)$,$(1,y_2)$,$(0,y_3)$ 都在二次函数 $y=-x^2$ 图象上,且 $0＜1＜2$,
∴ $y_3＞y_2＞y_1$. 故选 A.
解析
【分析】
要比较三个点的函数值大小，首先需明确二次函数$y=-x^2$的基本性质：先判断函数的开口方向、对称轴，再确定三个点所在区间的函数增减性，最后根据横坐标的大小关系，即可对应推出函数值的大小关系。
【解析】
∵ 二次函数的表达式为 $y=-x^2$，
∴ 图象开口向下，对称轴为$y$轴，
∴ 当$x≥0$时，$y$随$x$的增大而减小。
又
∵ 点$(2,y_1)$、$(1,y_2)$、$(0,y_3)$都在二次函数$y=-x^2$的图象上，且横坐标满足$0＜1＜2$，
∴ 对应函数值满足$y_3＞y_2＞y_1$。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象性质，二次函数增减性，函数值比较
【点评】
本题属于基础题，主要考查二次函数性质的应用，熟练掌握二次函数的开口方向、对称轴及增减性，即可快速通过横坐标大小比较函数值的大小。
【难度系数】
0.8
要比较三个点的函数值大小，首先需明确二次函数$y=-x^2$的基本性质：先判断函数的开口方向、对称轴，再确定三个点所在区间的函数增减性，最后根据横坐标的大小关系，即可对应推出函数值的大小关系。
【解析】
∵ 二次函数的表达式为 $y=-x^2$，
∴ 图象开口向下，对称轴为$y$轴，
∴ 当$x≥0$时，$y$随$x$的增大而减小。
又
∵ 点$(2,y_1)$、$(1,y_2)$、$(0,y_3)$都在二次函数$y=-x^2$的图象上，且横坐标满足$0＜1＜2$，
∴ 对应函数值满足$y_3＞y_2＞y_1$。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象性质，二次函数增减性，函数值比较
【点评】
本题属于基础题，主要考查二次函数性质的应用，熟练掌握二次函数的开口方向、对称轴及增减性，即可快速通过横坐标大小比较函数值的大小。
【难度系数】
0.8
7 [2025河南许昌质检]若点$M(-2,a)$，$N(2,b)$都在抛物线$y=-x^2$上，则线段$MN$的长为
$4$
。答案
【解析】将点 M 坐标代入 $y=-x^2$,得 $a = -(-2)^2=-4$,所以点 M 的坐标为 $(-2,-4)$. 同理可得,点 N 的坐标为 $(2,-4)$,所以 $MN=2-(-2)=4$. 故答案为 4.
解析
【分析】解题时首先明确：若点在函数图象上，则点的坐标满足该函数的解析式。第一步先将点M、N的横坐标分别代入抛物线$y=-x^2$，求出a、b的值，得到两点的完整坐标；观察两点坐标可发现纵坐标相等，说明线段MN是水平线段，水平线段的长度等于两点横坐标差的绝对值，据此计算即可得到MN的长度。
【解析】将点$M(-2,a)$的横坐标代入$y=-x^2$，得$a = -(-2)^2=-4$，所以点M的坐标为$(-2,-4)$。同理将点$N(2,b)$的横坐标代入$y=-x^2$，得$b=-2^2=-4$，所以点N的坐标为$(2,-4)$。由于两点纵坐标相等，线段MN为水平线段，因此$MN=|2-(-2)|=4$。
【答案】4
【知识点】1. 二次函数图象上点的坐标特征 2. 两点间距离计算
【点评】本题是二次函数性质的基础应用题，只要掌握“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”这一核心知识点，结合水平线段长度的计算方法就能顺利求解，整体难度较低。
【难度系数】0.9
【解析】将点$M(-2,a)$的横坐标代入$y=-x^2$，得$a = -(-2)^2=-4$，所以点M的坐标为$(-2,-4)$。同理将点$N(2,b)$的横坐标代入$y=-x^2$，得$b=-2^2=-4$，所以点N的坐标为$(2,-4)$。由于两点纵坐标相等，线段MN为水平线段，因此$MN=|2-(-2)|=4$。
【答案】4
【知识点】1. 二次函数图象上点的坐标特征 2. 两点间距离计算
【点评】本题是二次函数性质的基础应用题，只要掌握“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”这一核心知识点，结合水平线段长度的计算方法就能顺利求解，整体难度较低。
【难度系数】0.9
8[2026浙江嘉兴质检]如图,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,点A,B在抛物线$y=-x^2$上,点C在y轴上,A,B两点的横坐标分别为1和b(b＞1),b的值为
$2$
.答案
【解析】如图,过 B 作 $BE ⊥ y$ 轴于 E,过 A 作 $AD ⊥ y$ 轴于 D. 在等腰直角三角形 ABC 中,$∠ACB=90°$,则 $AC=BC$.
∵ A,B 两点的横坐标分别为 1 和 $b$($b＞1$),
∴ $AD=1$,$BE=b$.
∵ 点 A,B 在抛物线 $y=-x^2$ 上,
∴ $A(1,-1)$,$B(b,-b^2)$.
∵ $∠ACB=90°$,
∴ $∠ACD+∠BCE=90°$.
∵ $∠ACD+∠CAD=90°$,
∴ $∠BCE = ∠CAD$,
∴ $△BEC ≅ △CDA$(AAS),
∴ $CE = AD = 1$, $CD=BE=b$,
∴ $OE=OD+CD+CE=1+b+1=2+b$,
∴ $b^2=2+b$,整理得 $b^2-b-2=0$,解得 $b=2$ 或 $-1$(舍去),
∴ $b$ 的值为 2,故答案为 2.
解析
【分析】
解题时首先结合抛物线的解析式，可由A、B的横坐标直接写出两点坐标；针对等腰直角三角形∠ACB=90°的条件，我们过A、B分别向y轴作垂线，可构造出一组直角三角形，通过角度互余的关系证明这两个直角三角形全等，得到对应边相等的关系；再结合y轴上的线段长度关系列出关于b的一元二次方程，求解后根据b＞1的取值范围舍去负根，即可得到b的值。
【解析】
如图，过B作$BE ⊥ y$轴于E，过A作$AD ⊥ y$轴于D。
在等腰直角三角形ABC中，$∠ACB=90°$，则$AC=BC$。
∵A，B两点的横坐标分别为1和$b$（$b＞1$），
∴$AD=1$，$BE=b$。
∵点A，B在抛物线$y=-x^2$上，
∴$A(1,-1)$，$B(b,-b^2)$。
∵$∠ACB=90°$，
∴$∠ACD+∠BCE=90°$。
又
∵$∠ACD+∠CAD=90°$，
∴$∠BCE = ∠CAD$，
∴$△BEC ≅ △CDA$（AAS），
∴$CE = AD = 1$，$CD=BE=b$，
∴$OE=OD+CD+CE=1+b+1=2+b$，
结合B点纵坐标的几何意义可得$b^2=2+b$，整理得$b^2-b-2=0$，解得$b=2$或$b=-1$，
∵$b＞1$，故舍去$b=-1$。
【答案】
2
【知识点】
二次函数的图象性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是二次函数与几何的综合题，解题核心是通过作辅助线构造全等三角形，将几何边的关系转化为代数方程求解，很好地考查了数形结合思想和知识的融合运用能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先结合抛物线的解析式，可由A、B的横坐标直接写出两点坐标；针对等腰直角三角形∠ACB=90°的条件，我们过A、B分别向y轴作垂线，可构造出一组直角三角形，通过角度互余的关系证明这两个直角三角形全等，得到对应边相等的关系；再结合y轴上的线段长度关系列出关于b的一元二次方程，求解后根据b＞1的取值范围舍去负根，即可得到b的值。
【解析】
如图，过B作$BE ⊥ y$轴于E，过A作$AD ⊥ y$轴于D。
在等腰直角三角形ABC中，$∠ACB=90°$，则$AC=BC$。
∵A，B两点的横坐标分别为1和$b$（$b＞1$），
∴$AD=1$，$BE=b$。
∵点A，B在抛物线$y=-x^2$上，
∴$A(1,-1)$，$B(b,-b^2)$。
∵$∠ACB=90°$，
∴$∠ACD+∠BCE=90°$。
又
∵$∠ACD+∠CAD=90°$，
∴$∠BCE = ∠CAD$，
∴$△BEC ≅ △CDA$（AAS），
∴$CE = AD = 1$，$CD=BE=b$，
∴$OE=OD+CD+CE=1+b+1=2+b$，
结合B点纵坐标的几何意义可得$b^2=2+b$，整理得$b^2-b-2=0$，解得$b=2$或$b=-1$，
∵$b＞1$，故舍去$b=-1$。
【答案】
2
【知识点】
二次函数的图象性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是二次函数与几何的综合题，解题核心是通过作辅助线构造全等三角形，将几何边的关系转化为代数方程求解，很好地考查了数形结合思想和知识的融合运用能力。
【难度系数】
0.6
9 利用函数$y=-x^2$的图象回答下列问题:
(1)当$x=\frac{3}{2}$时,$y=$
(2)当$y=-8$时,$x=$
(3)当$-2＜x＜3$时,直接写出$y$的取值范围.
(4)当$-4＜y＜-1$时,直接写出$x$的取值范围.
(1)当$x=\frac{3}{2}$时,$y=$
$-\frac{9}{4}$
.(2)当$y=-8$时,$x=$
$±2\sqrt{2}$
.(3)当$-2＜x＜3$时,直接写出$y$的取值范围.
(4)当$-4＜y＜-1$时,直接写出$x$的取值范围.
答案
【解】画出二次函数 $y=-x^2$ 的图象如图所示.
(1)把 $x=\frac{3}{2}$ 代入 $y=-x^2$,得 $y=-\frac{9}{4}$. 故答案为 $-\frac{9}{4}$.
(2)把 $y=-8$ 代入 $y=-x^2$,得 $-8=-x^2$,解得 $x=±2\sqrt{2}$. 故答案为 $±2\sqrt{2}$.
(3)$-9＜y≤0$. 由图象可知,当$-2＜x＜3$ 时,$y$ 的取值范围是$-9＜y≤0$.
(4)$-2＜x＜-1$ 或 $1＜x＜2$. 由图象可知,当$-4＜y＜-1$ 时,$x$ 的取值范围是$-2＜x＜-1$ 或 $1＜x＜2$.
解析
【分析】
本题围绕二次函数$y=-x^2$的图象与性质展开，解题思路如下：1. 已知x求y、已知y求x的问题，直接用代入法，代入函数解析式计算或解方程即可；2. 求x范围对应的y范围、y范围对应的x范围时，需结合$y=-x^2$的性质：开口向下，顶点在原点，对称轴为y轴，x＞0时y随x增大而减小，x＜0时y随x增大而增大，同时利用图象对称性找到区间端点对应的函数值，结合增减性确定范围，注意开闭区间的区分。
【解析】
首先明确二次函数$y=-x^2$的图象如图所示：
(1) 将$x=\frac{3}{2}$代入$y=-x^2$，得$y=-(\frac{3}{2})^2=-\frac{9}{4}$。
(2) 将$y=-8$代入$y=-x^2$，得$-8=-x^2$，整理得$x^2=8$，解得$x=\pm2\sqrt{2}$。
(3) 分析$-2＜x＜3$的y值：函数在x=0处取得最大值0；计算端点函数值：x=-2时$y=-4$，x=3时$y=-9$，结合增减性可知x=3离对称轴最远，对应y值最小，因此y的取值范围是$-9＜y≤0$。
(4) 分析$-4＜y＜-1$的x值：先求边界y对应的x值：y=-4时$x=\pm2$，y=-1时$x=\pm1$；结合对称性和增减性：x＜0时y随x增大而增大，对应x范围为$-2＜x＜-1$；x＞0时y随x增大而减小，对应x范围为$1＜x＜2$，综上x的取值范围是$-2＜x＜-1$或$1＜x＜2$。
【答案】
画出二次函数 $y=-x^2$ 的图象如图所示.
(1)$-\frac{9}{4}$
(2)$\pm2\sqrt{2}$
(3)$-9＜y≤0$
(4)$-2＜x＜-1$ 或 $1＜x＜2$
【知识点】
二次函数$y=-x^2$的性质，代入法求函数值，函数图象求范围
【点评】
本题侧重考察二次函数$y=-x^2$的基础性质，需要熟练掌握代入求值的方法，同时能结合图象的增减性、对称性分析变量的取值范围，注意区间端点的开闭和正负半轴的两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.8
本题围绕二次函数$y=-x^2$的图象与性质展开，解题思路如下：1. 已知x求y、已知y求x的问题，直接用代入法，代入函数解析式计算或解方程即可；2. 求x范围对应的y范围、y范围对应的x范围时，需结合$y=-x^2$的性质：开口向下，顶点在原点，对称轴为y轴，x＞0时y随x增大而减小，x＜0时y随x增大而增大，同时利用图象对称性找到区间端点对应的函数值，结合增减性确定范围，注意开闭区间的区分。
【解析】
首先明确二次函数$y=-x^2$的图象如图所示：
(1) 将$x=\frac{3}{2}$代入$y=-x^2$，得$y=-(\frac{3}{2})^2=-\frac{9}{4}$。
(2) 将$y=-8$代入$y=-x^2$，得$-8=-x^2$，整理得$x^2=8$，解得$x=\pm2\sqrt{2}$。
(3) 分析$-2＜x＜3$的y值：函数在x=0处取得最大值0；计算端点函数值：x=-2时$y=-4$，x=3时$y=-9$，结合增减性可知x=3离对称轴最远，对应y值最小，因此y的取值范围是$-9＜y≤0$。
(4) 分析$-4＜y＜-1$的x值：先求边界y对应的x值：y=-4时$x=\pm2$，y=-1时$x=\pm1$；结合对称性和增减性：x＜0时y随x增大而增大，对应x范围为$-2＜x＜-1$；x＞0时y随x增大而减小，对应x范围为$1＜x＜2$，综上x的取值范围是$-2＜x＜-1$或$1＜x＜2$。
【答案】
画出二次函数 $y=-x^2$ 的图象如图所示.
(1)$-\frac{9}{4}$
(2)$\pm2\sqrt{2}$
(3)$-9＜y≤0$
(4)$-2＜x＜-1$ 或 $1＜x＜2$
【知识点】
二次函数$y=-x^2$的性质，代入法求函数值，函数图象求范围
【点评】
本题侧重考察二次函数$y=-x^2$的基础性质，需要熟练掌握代入求值的方法，同时能结合图象的增减性、对称性分析变量的取值范围，注意区间端点的开闭和正负半轴的两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.8
10 关于二次函数$y=x^2$和$y=-x^2$的图象，以下说法正确的有（
①两图象都关于$x$轴对称；②两图象都关于$y$轴对称；③两图象的顶点相同；④两图象的开口方向不同；⑤点$(-1,1)$在抛物线$y=x^2$上，也在抛物线$y=-x^2$上。
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
B
）①两图象都关于$x$轴对称；②两图象都关于$y$轴对称；③两图象的顶点相同；④两图象的开口方向不同；⑤点$(-1,1)$在抛物线$y=x^2$上，也在抛物线$y=-x^2$上。
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
【解析】二次函数 $y=x^2$ 和 $y=-x^2$ 的图象都关于 $y$ 轴对称,两图象的顶点相同,两图象的开口方向不同,$y=x^2$ 的图象开口向上,$y=-x^2$ 的图象开口向下,点 $(-1,1)$ 只在抛物线 $y=x^2$ 上,所以②③④正确. 故选 B.
解析
【分析】
解题时首先回忆形如$y=ax^2(a≠0)$的二次函数的基本性质：对称轴为y轴，顶点坐标为原点$(0,0)$，$a$的符号决定开口方向；再逐个判断5个说法的正误，最后统计正确说法的个数即可得到答案。注意要区分“单个图象自身的对称性”和“两个图象之间的对称关系”，判断点是否在函数图象上只需将点的横坐标代入函数，验证计算出的纵坐标是否与点的纵坐标一致即可。
【解析】
我们逐个判断各说法的正误：
①$y=x^2$和$y=-x^2$的单个图象均关于y轴对称，自身不关于x轴对称，仅两个图象整体关于x轴对称，故①错误；
②两个函数的对称轴都是y轴，因此两图象都关于y轴对称，故②正确；
③两个函数的顶点坐标都是$(0,0)$，顶点相同，故③正确；
④$y=x^2$中$a=1＞0$，图象开口向上；$y=-x^2$中$a=-1＜0$，图象开口向下，两图象开口方向不同，故④正确；
⑤将$x=-1$代入$y=-x^2$，得$y=-(-1)^2=-1≠1$，因此点$(-1,1)$不在$y=-x^2$上，故⑤错误。
综上，正确的说法是②③④，共3个，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的图象性质
2. 点与函数图象的坐标关系
【点评】
本题是二次函数图象性质的基础考查题，核心是掌握$y=ax^2$型函数的开口方向、对称轴、顶点等基本性质，解题时要注意审清题意，避免混淆图象自身对称性和两个图象的相互对称关系。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆形如$y=ax^2(a≠0)$的二次函数的基本性质：对称轴为y轴，顶点坐标为原点$(0,0)$，$a$的符号决定开口方向；再逐个判断5个说法的正误，最后统计正确说法的个数即可得到答案。注意要区分“单个图象自身的对称性”和“两个图象之间的对称关系”，判断点是否在函数图象上只需将点的横坐标代入函数，验证计算出的纵坐标是否与点的纵坐标一致即可。
【解析】
我们逐个判断各说法的正误：
①$y=x^2$和$y=-x^2$的单个图象均关于y轴对称，自身不关于x轴对称，仅两个图象整体关于x轴对称，故①错误；
②两个函数的对称轴都是y轴，因此两图象都关于y轴对称，故②正确；
③两个函数的顶点坐标都是$(0,0)$，顶点相同，故③正确；
④$y=x^2$中$a=1＞0$，图象开口向上；$y=-x^2$中$a=-1＜0$，图象开口向下，两图象开口方向不同，故④正确；
⑤将$x=-1$代入$y=-x^2$，得$y=-(-1)^2=-1≠1$，因此点$(-1,1)$不在$y=-x^2$上，故⑤错误。
综上，正确的说法是②③④，共3个，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的图象性质
2. 点与函数图象的坐标关系
【点评】
本题是二次函数图象性质的基础考查题，核心是掌握$y=ax^2$型函数的开口方向、对称轴、顶点等基本性质，解题时要注意审清题意，避免混淆图象自身对称性和两个图象的相互对称关系。
【难度系数】
0.7
