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7. 根据下列问题,列出关于x的方程,并将所列方程化成一元二次方程的一般形式:
(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25,求正方形的边长x;
(2)一个矩形的长比宽多2,面积是100,求矩形的长x;
(3)一个直角三角形的斜边长是17 cm,两直角边之差为7 cm,求较短直角边的长x.
(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25,求正方形的边长x;
(2)一个矩形的长比宽多2,面积是100,求矩形的长x;
(3)一个直角三角形的斜边长是17 cm,两直角边之差为7 cm,求较短直角边的长x.
答案
7. (1)解:依题意得,$4x^{2}=25,$
化为一元二次方程的一般形式得,$4x^{2}-25=0.$
(2)解:依题意得,$x(x-2)=100,$
化为一元二次方程的一般形式得,$x^{2}-2x-100=0.$
(3)解:根据题意得,$x^{2}+(x+7)^{2}=17^{2},$
化为一元二次方程的一般形式,得$x^{2}+7x-120=0.$
化为一元二次方程的一般形式得,$4x^{2}-25=0.$
(2)解:依题意得,$x(x-2)=100,$
化为一元二次方程的一般形式得,$x^{2}-2x-100=0.$
(3)解:根据题意得,$x^{2}+(x+7)^{2}=17^{2},$
化为一元二次方程的一般形式,得$x^{2}+7x-120=0.$
8. 若方程$x^{2}-2x+1=0$的一个实数根为m,则$2026-m^{2}+2m$的值是 (
A. 2027 B. 2026 C. 2025 D. 2024
A
)A. 2027 B. 2026 C. 2025 D. 2024
答案
8. A
9. [易错题]已知关于x的一元二次方程$(a-7)x^{2}+x+|a|-7=0$的一个根是$x=0$,则实数a的值为 (
A. -7 B. 0 C. 7 D. -7或7
A
)A. -7 B. 0 C. 7 D. -7或7
答案
9. A
10. 小明为班级围建一个矩形菜园ABCD,其中一边AD靠墙EF,墙可利用的最大长度为10 m,篱笆长为24 m,菜园中间用一道篱笆隔成2个小矩形.设$BC=x$ m,当围成的菜园面积为$36m^{2}$时,则可列方程为
$x· \frac{24-x}{3}=36$
.答案
10. $x· \frac{24-x}{3}=36$
11. 如图所示是某停车场的平面示意图,停车场外围的长为30米,宽为18米.停车场内车道的宽都相等,停车位总占地面积为288平方米.设车道的宽为x米,则可列方程为
$(30-x)(18-x)=288$
.答案
11. $(30-x)(18-x)=288$
12. (2026安徽淮南)若$x_{0}$是方程$ax^{2}+2x+c=0(a≠0)$的一个根,设$M=1-ac,N=(ax_{0}+1)^{2}$,试比较M与N的大小.
答案
12. $M=N$
13. [新定义]定义:关于x的一元二次方程$cx^{2}+bx+a=0$(其中a、b、c是常数,且$ac≠0$)是关于x的一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0$(其中a、b、c是常数,且$ac≠0$)的“友好”方程.例如:$-2x^{2}-x+1=0$是$x^{2}-x-2=0$的“友好”方程.
(1)【概念感知】$2x^{2}-3x-2=0$的“友好”方程是
(2)【问题探究】若关于x的一元二次方程$cx^{2}+bx+a=0$(其中a、b、c是常数,且$ac≠0$)的一个解为3,请判断$\frac{1}{3}$是否为该方程的“友好”方程的一个解？若是,请证明;若不是,请说明理由.
(1)【概念感知】$2x^{2}-3x-2=0$的“友好”方程是
$-2x^{2}-3x+2=0$
.(2)【问题探究】若关于x的一元二次方程$cx^{2}+bx+a=0$(其中a、b、c是常数,且$ac≠0$)的一个解为3,请判断$\frac{1}{3}$是否为该方程的“友好”方程的一个解？若是,请证明;若不是,请说明理由.
答案
13. (1) $-2x^{2}-3x+2=0$ (2)是,证明略
