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6. 如图，甲从A点出发向北偏东$63°30'$方向走到点B，乙从A点出发向南偏西$19°40'$方向走到点C，则$∠ BAC$的度数是
$136°10'$
（用度、分、秒表示）。答案
6. $136°10'$
解析
【分析】
解题时首先要明确方向角的含义，以点A为顶点，正北与正东方向的夹角为90°，已知AB在北偏东63°30'，可先求出AB与正东方向的夹角；再结合正南与正东方向夹角为90°，AC在南偏西19°40'，将三段角度相加即可得到∠BAC的度数，计算时注意度分秒为60进制，满60要向前进1。
【解析】
解：
∵ 正北方向与正东方向的夹角为90°，AB为北偏东63°30'方向，
∴ AB与正东方向的夹角为：$90° - 63°30' = 26°30'$，
又
∵ 正东方向与正南方向的夹角为90°，AC为南偏西19°40'方向，
∴ $∠BAC = 26°30' + 90° + 19°40' = 136°10'$。
【答案】
$136°10'$
【知识点】
方向角的认识，度分秒的运算
【点评】
本题考查方向角的实际应用与角度计算，解题的核心是准确理解方向角的表示方法，理清各方向之间的角度关系，计算时注意度分秒的60进制规则，避免出现进制错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确方向角的含义，以点A为顶点，正北与正东方向的夹角为90°，已知AB在北偏东63°30'，可先求出AB与正东方向的夹角；再结合正南与正东方向夹角为90°，AC在南偏西19°40'，将三段角度相加即可得到∠BAC的度数，计算时注意度分秒为60进制，满60要向前进1。
【解析】
解：
∵ 正北方向与正东方向的夹角为90°，AB为北偏东63°30'方向，
∴ AB与正东方向的夹角为：$90° - 63°30' = 26°30'$，
又
∵ 正东方向与正南方向的夹角为90°，AC为南偏西19°40'方向，
∴ $∠BAC = 26°30' + 90° + 19°40' = 136°10'$。
【答案】
$136°10'$
【知识点】
方向角的认识，度分秒的运算
【点评】
本题考查方向角的实际应用与角度计算，解题的核心是准确理解方向角的表示方法，理清各方向之间的角度关系，计算时注意度分秒的60进制规则，避免出现进制错误。
【难度系数】
0.7
7. 如图,在一个角的内部画射线,画1条射线,就有3个不同的角,画2条射线,就有6个不同的角,画3条射线,就有10个不同的角……以此类推,在一个角的内部画n条射线有
$\dfrac{(n+1)(n+2)}{2}$
个不同的角(用含n的代数式表示).答案
7. $\dfrac{(n+1)(n+2)}{2}$
解析
【分析】
我们可以从已知的特殊情况入手找规律：角是由两条有公共端点的射线组成的，首先统计角内部画k条射线时的总射线数量（包含原角的两条边），再对应统计角的个数，找到总射线数和角个数的数量关系，最后推广到n条射线的通用情况。也可以用累加计数的思路：总共有m条射线时，第一条射线和剩下的(m-1)条组成(m-1)个角，第二条射线和后面的(m-2)条组成(m-2)个角，依次累加即可得到总角数。
【解析】
解：观察已知的几种情况：
1. 角内部画0条射线时，共有2条射线，角的个数为$1=\frac{2×1}{2}$；
2. 角内部画1条射线时，共有3条射线，角的个数为$3=\frac{3×2}{2}$；
3. 角内部画2条射线时，共有4条射线，角的个数为$6=\frac{4×3}{2}$；
4. 角内部画3条射线时，共有5条射线，角的个数为$10=\frac{5×4}{2}$；
以此类推，当角内部画n条射线时，总共有$(n+2)$条射线，总角数为从1到$(n+1)$的连续整数的和，根据等差数列求和公式可得：
总角数$=1+2+\dots+(n+1)=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$。
【答案】
$\dfrac{(n+1)(n+2)}{2}$
【知识点】
角的定义；图形规律探究；列代数式
【点评】
本题是典型的图形规律探究题，解题核心是明确角的计数逻辑，通过特殊案例归纳一般规律，既可以通过枚举找规律求解，也可以通过分类累加计数验证结论，能够有效锻炼归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
我们可以从已知的特殊情况入手找规律：角是由两条有公共端点的射线组成的，首先统计角内部画k条射线时的总射线数量（包含原角的两条边），再对应统计角的个数，找到总射线数和角个数的数量关系，最后推广到n条射线的通用情况。也可以用累加计数的思路：总共有m条射线时，第一条射线和剩下的(m-1)条组成(m-1)个角，第二条射线和后面的(m-2)条组成(m-2)个角，依次累加即可得到总角数。
【解析】
解：观察已知的几种情况：
1. 角内部画0条射线时，共有2条射线，角的个数为$1=\frac{2×1}{2}$；
2. 角内部画1条射线时，共有3条射线，角的个数为$3=\frac{3×2}{2}$；
3. 角内部画2条射线时，共有4条射线，角的个数为$6=\frac{4×3}{2}$；
4. 角内部画3条射线时，共有5条射线，角的个数为$10=\frac{5×4}{2}$；
以此类推，当角内部画n条射线时，总共有$(n+2)$条射线，总角数为从1到$(n+1)$的连续整数的和，根据等差数列求和公式可得：
总角数$=1+2+\dots+(n+1)=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$。
【答案】
$\dfrac{(n+1)(n+2)}{2}$
【知识点】
角的定义；图形规律探究；列代数式
【点评】
本题是典型的图形规律探究题，解题核心是明确角的计数逻辑，通过特殊案例归纳一般规律，既可以通过枚举找规律求解，也可以通过分类累加计数验证结论，能够有效锻炼归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
8. 计算(结果用度、分、秒表示)：
(1) $56.6° + 72° 42'$；
(2) $180° - 36° 54'$；
(3) $3 × 56° 36'$；
(4) $108° 8' ÷ 3$。
(1) $56.6° + 72° 42'$；
(2) $180° - 36° 54'$；
(3) $3 × 56° 36'$；
(4) $108° 8' ÷ 3$。
答案
8. (1) $129°18'$ (2) $143°6'$ (3) $169°48'$ (4) $36°2'40''$
解析
【分析】
度分秒采用60进制，换算规则为$1°=60'$，$1'=60''$，运算时遵循对应规则：①加减运算：同单位相加减，满60向高一级单位进1，不够减时从高一级单位借1当60；②乘法运算：分别用乘数乘度、分、秒，每级满60向高一级进1；③除法运算：从最高级（度）开始除，余数转化为下一级单位继续除，直到除到秒为止。解题时先统一单位形式，再按规则逐步计算即可。
【解析】
(1) 先转换$56.6°$的小数部分为分：$0.6°=0.6×60'=36'$，因此$56.6°=56°36'$
$\begin{split}56°36'+72°42'&=(56°+72°)+(36'+42')\\&=128°+78'\\&=128°+1°18'\\&=129°18'\end{split}$
(2) 把$180°$转换为含分的形式方便计算：$180°=179°60'$
$\begin{split}179°60'-36°54'&=(179°-36°)+(60'-54')\\&=143°6'\end{split}$
(3) 分别用3乘度、分单位：
$\begin{split}3×56°36'&=3×56°+3×36'\\&=168°+108'\\&=168°+1°48'\\&=169°48'\end{split}$
(4) 从度开始逐位相除：
$108°÷3=36°$，余$0°$；
剩余$8'÷3$，商$2'$，余$8'-3×2'=2'$；
将余下的$2'$转换为秒：$2'=2×60''=120''$，$120''÷3=40''$
因此$108°8'÷3=36°2'40''$
【答案】
(1) $129°18'$；(2) $143°6'$；(3) $169°48'$；(4) $36°2'40''$
【知识点】
度分秒的换算；度分秒的四则运算
【点评】
本题核心考查度分秒的60进制运算规则，解题易错点是将度分秒的进率混淆为十进制，只要熟练掌握进位、借位的换算规则，就能准确完成计算。
【难度系数】
0.7
度分秒采用60进制，换算规则为$1°=60'$，$1'=60''$，运算时遵循对应规则：①加减运算：同单位相加减，满60向高一级单位进1，不够减时从高一级单位借1当60；②乘法运算：分别用乘数乘度、分、秒，每级满60向高一级进1；③除法运算：从最高级（度）开始除，余数转化为下一级单位继续除，直到除到秒为止。解题时先统一单位形式，再按规则逐步计算即可。
【解析】
(1) 先转换$56.6°$的小数部分为分：$0.6°=0.6×60'=36'$，因此$56.6°=56°36'$
$\begin{split}56°36'+72°42'&=(56°+72°)+(36'+42')\\&=128°+78'\\&=128°+1°18'\\&=129°18'\end{split}$
(2) 把$180°$转换为含分的形式方便计算：$180°=179°60'$
$\begin{split}179°60'-36°54'&=(179°-36°)+(60'-54')\\&=143°6'\end{split}$
(3) 分别用3乘度、分单位：
$\begin{split}3×56°36'&=3×56°+3×36'\\&=168°+108'\\&=168°+1°48'\\&=169°48'\end{split}$
(4) 从度开始逐位相除：
$108°÷3=36°$，余$0°$；
剩余$8'÷3$，商$2'$，余$8'-3×2'=2'$；
将余下的$2'$转换为秒：$2'=2×60''=120''$，$120''÷3=40''$
因此$108°8'÷3=36°2'40''$
【答案】
(1) $129°18'$；(2) $143°6'$；(3) $169°48'$；(4) $36°2'40''$
【知识点】
度分秒的换算；度分秒的四则运算
【点评】
本题核心考查度分秒的60进制运算规则，解题易错点是将度分秒的进率混淆为十进制，只要熟练掌握进位、借位的换算规则，就能准确完成计算。
【难度系数】
0.7
1. 钟表表盘上时针与分针之间的夹角为$140°$，此时钟表表盘上指示的时间是 （
A.$12:30$
B.$13:20$
C.$9:10$
D.$11:20$
D
）A.$12:30$
B.$13:20$
C.$9:10$
D.$11:20$
答案
1. D
解析
【分析】
要解决钟表夹角问题，首先明确钟面的基本特征：整个钟面为周角360°，被平均分成12个大格，每个大格对应30°（360°÷12）；分针每分钟转动6°（360°÷60），时针每小时转动30°，每分钟转动0.5°（30°÷60）。解题时可分别计算每个选项对应时间的时针、分针转过的角度，再求两者的夹角，选出夹角为140°的选项即可。
【解析】
设时间为$h$时$m$分，此时时针转过的角度为：$30° × h + 0.5° × m$，分针转过的角度为：$6° × m$，两者的夹角取两个角度差的绝对值，若差值大于180°，则用360°减去该差值得到较小的夹角。
选项A（12:30）：时针角度$=30° ×12 + 0.5° ×30=375°$，等效为$15°$；分针角度$=6° ×30=180°$；夹角$=|15° - 180°|=165°$，不符合要求。
选项B（13:20）：时针角度$=30° ×1 + 0.5° ×20=40°$；分针角度$=6° ×20=120°$；夹角$=|40° - 120°|=80°$，不符合要求。
选项C（9:10）：时针角度$=30° ×9 + 0.5° ×10=275°$；分针角度$=6° ×10=60°$；角度差为$|275° - 60°|=215°＞180°$，实际夹角$=360° - 215°=145°$，不符合要求。
选项D（11:20）：时针角度$=30° ×11 + 0.5° ×20=340°$；分针角度$=6° ×20=120°$；角度差为$|340° - 120°|=220°＞180°$，实际夹角$=360° - 220°=140°$，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
钟面角计算、角的运算
【点评】
本题重点考查钟面夹角的计算方法，解题核心是准确掌握时针、分针的转动速度，通过逐个计算验证选项的方式可快速得出答案，也能减少计算失误。
【难度系数】
0.7
要解决钟表夹角问题，首先明确钟面的基本特征：整个钟面为周角360°，被平均分成12个大格，每个大格对应30°（360°÷12）；分针每分钟转动6°（360°÷60），时针每小时转动30°，每分钟转动0.5°（30°÷60）。解题时可分别计算每个选项对应时间的时针、分针转过的角度，再求两者的夹角，选出夹角为140°的选项即可。
【解析】
设时间为$h$时$m$分，此时时针转过的角度为：$30° × h + 0.5° × m$，分针转过的角度为：$6° × m$，两者的夹角取两个角度差的绝对值，若差值大于180°，则用360°减去该差值得到较小的夹角。
选项A（12:30）：时针角度$=30° ×12 + 0.5° ×30=375°$，等效为$15°$；分针角度$=6° ×30=180°$；夹角$=|15° - 180°|=165°$，不符合要求。
选项B（13:20）：时针角度$=30° ×1 + 0.5° ×20=40°$；分针角度$=6° ×20=120°$；夹角$=|40° - 120°|=80°$，不符合要求。
选项C（9:10）：时针角度$=30° ×9 + 0.5° ×10=275°$；分针角度$=6° ×10=60°$；角度差为$|275° - 60°|=215°＞180°$，实际夹角$=360° - 215°=145°$，不符合要求。
选项D（11:20）：时针角度$=30° ×11 + 0.5° ×20=340°$；分针角度$=6° ×20=120°$；角度差为$|340° - 120°|=220°＞180°$，实际夹角$=360° - 220°=140°$，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
钟面角计算、角的运算
【点评】
本题重点考查钟面夹角的计算方法，解题核心是准确掌握时针、分针的转动速度，通过逐个计算验证选项的方式可快速得出答案，也能减少计算失误。
【难度系数】
0.7
2. 根据图形填空.
（1）以A为顶点的角共有
（2）图中能用一个大写字母表示的角是
（3）图中共有
（1）以A为顶点的角共有
6
个；（2）图中能用一个大写字母表示的角是
$∠B,∠C$
；（3）图中共有
12
个角(除去平角).答案
2. (1) 6 (2) $∠B,∠C$ (3) 12
解析
【分析】
解题思路：
1. 解决第(1)问：先找到以A为端点的所有射线，再按从左到右、从小到大的顺序数角，避免漏数或多数。
2. 解决第(2)问：回忆角的表示规则，只有顶点处仅存在1个角时，才能用单个大写字母表示这个角，据此筛选符合要求的角。
3. 解决第(3)问：按顶点分类逐个计数，先数顶点A的角，再依次数其他顶点的角，最后求和，注意排除平角即可。
【解析】
（1）以A为顶点的射线有AC、AE、AD、AB共4条，按顺序数角：
单个小角：$∠ CAE$、$∠ EAD$、$∠ DAB$，共3个；
两个小角组合的角：$∠ CAD$、$∠ EAB$，共2个；
三个小角组合的角：$∠ CAB$，共1个；
总计$3+2+1=6$个。
（2）只有顶点处只有1个角时，可用单个大写字母表示角。观察图形，顶点C、B处各只有1个角，因此能用一个大写字母表示的角是$∠ B$、$∠ C$。
（3）按顶点分类数角（排除平角）：
顶点A有6个角；顶点C有1个角（$∠ C$）；顶点B有1个角（$∠ B$）；顶点E有$∠ AEC$、$∠ AEB$共2个角；顶点D有$∠ ADC$、$∠ ADB$共2个角；
总数量为$6+1+1+2+2=12$个。
【答案】
（1）6；（2）$∠ B,∠ C$；（3）12
【知识点】
角的计数；角的表示方法
【点评】
本题考查角的基础概念，解题核心是掌握角的计数方法和表示规则，数角时按固定顺序分类计数，可有效避免漏数、多数的问题。
【难度系数】
0.7
解题思路：
1. 解决第(1)问：先找到以A为端点的所有射线，再按从左到右、从小到大的顺序数角，避免漏数或多数。
2. 解决第(2)问：回忆角的表示规则，只有顶点处仅存在1个角时，才能用单个大写字母表示这个角，据此筛选符合要求的角。
3. 解决第(3)问：按顶点分类逐个计数，先数顶点A的角，再依次数其他顶点的角，最后求和，注意排除平角即可。
【解析】
（1）以A为顶点的射线有AC、AE、AD、AB共4条，按顺序数角：
单个小角：$∠ CAE$、$∠ EAD$、$∠ DAB$，共3个；
两个小角组合的角：$∠ CAD$、$∠ EAB$，共2个；
三个小角组合的角：$∠ CAB$，共1个；
总计$3+2+1=6$个。
（2）只有顶点处只有1个角时，可用单个大写字母表示角。观察图形，顶点C、B处各只有1个角，因此能用一个大写字母表示的角是$∠ B$、$∠ C$。
（3）按顶点分类数角（排除平角）：
顶点A有6个角；顶点C有1个角（$∠ C$）；顶点B有1个角（$∠ B$）；顶点E有$∠ AEC$、$∠ AEB$共2个角；顶点D有$∠ ADC$、$∠ ADB$共2个角；
总数量为$6+1+1+2+2=12$个。
【答案】
（1）6；（2）$∠ B,∠ C$；（3）12
【知识点】
角的计数；角的表示方法
【点评】
本题考查角的基础概念，解题核心是掌握角的计数方法和表示规则，数角时按固定顺序分类计数，可有效避免漏数、多数的问题。
【难度系数】
0.7
