3. (1) $21.24° = \_\_\_\_\_\_$（用度、分、秒表示）；
(2) $12°15'36'' = \_\_\_\_\_\_$（将度分秒转化成度）。

3. (1) $21°14'24''$ (2) $12.26°$

【分析】
本题考查度分秒的单位换算，首先要明确度、分、秒相邻单位的进率是60，即$1°=60'$，$1'=60''$。解题时遵循的规则是：大单位转化为小单位乘进率60，小单位转化为大单位除以进率60。第(1)问是将单名数（度）转化为复名数（度分秒），只需把小数部分的度依次换算成分、秒即可；第(2)问是将复名数转化为单名数，只需把秒先换算成分，再和原有的分合并后换算成度，最后和原有的度相加即可。
【解析】
(1) 先提取$21.24°$的整数部分作为度的数值，即$21°$，剩下小数部分$0.24°$换算成分：
$0.24° = 0.24 × 60' = 14.4'$
再提取$14.4'$的整数部分作为分的数值，即$14'$，剩下小数部分$0.4'$换算成秒：
$0.4' = 0.4 × 60'' = 24''$
因此$21.24°=21°14'24''$。
(2) 先把秒换算成分：
$36'' = 36 ÷ 60' = 0.6'$
和原有的$15'$合并得：$15' + 0.6' = 15.6'$
再把分换算成度：
$15.6' = 15.6 ÷ 60° = 0.26°$
和原有的$12°$合并得：$12° + 0.26° = 12.26°$
因此$12°15'36''=12.26°$。
【答案】
(1) $21°14'24''$；(2) $12.26°$
【知识点】
度分秒的换算、角度单位进率
【点评】
本题是角度单位换算的基础题型，核心是掌握度分秒的60进制换算规则，解题时注意区分乘进率还是除以进率，避免和十进制换算混淆。
【难度系数】
0.8

4. (1) $48°47' + 53°35' = \_\_\_\_\_\_$;
(2) $90° - 44°14'15'' = \_\_\_\_\_\_$.

4. (1) $102°22'$ (2) $45°45'45''$

【分析】
角度的加减运算遵循60进制规则，解题思路如下：（1）加法运算时，相同单位分别相加，若分或秒的数值满60，就向高一级单位进1；（2）减法运算时，若被减数的低一级单位数值小于减数的对应单位数值，需先向高一级单位借1当60，再相同单位分别相减。
【解析】
(1) 分别对度、分求和：
度相加：$48°+53°=101°$
分相加：$47'+35'=82'$
因为$82'=1°22'$，所以合并得$101°+1°22'=102°22'$。
(2) 先将$90°$转化为含分、秒的形式方便计算：$90°=89°59'60''$，再分别对度、分、秒求差：
度相减：$89°-44°=45°$
分相减：$59'-14'=45'$
秒相减：$60''-15''=45''$
合并得结果为$45°45'45''$。
【答案】
(1) $102°22'$；(2) $45°45'45''$
【知识点】
度分秒的换算；角的和差运算
【点评】
本题是角度运算的基础题型，重点考查度分秒60进制的运算规则，计算时注意加法的进位和减法的借位处理，即可准确得出结果。
【难度系数】
0.8

5. 北京时间2022年11月29日23时08分，“神舟十五号”载人飞船成功发射，标志着空间站关键技术验证和建造阶段规划的12次发射任务全部圆满完成. 当钟表盘上时针、分针指向23:08时，时针与分针所成角的度数是.

5. $74°$

【分析】
要计算23:08时针与分针的夹角，首先需要明确钟表上时针、分针的转动速度：钟表一圈为360°，分针60分钟转一圈，每分钟转6°；时针12小时转一圈，每小时转30°，每分钟转0.5°。解题时先确定23:00整时，时针和分针的初始位置对应的夹角，再计算经过8分钟后，时针和分针各自转动的角度，最后结合两者的位置关系求和得到夹角即可。
【解析】
步骤1：计算时针、分针的转动速度
分针每分钟转的度数：$360° ÷ 60 = 6°/\mathrm{分}$
时针每小时转的度数：$360°÷12=30°$，因此时针每分钟转的度数：$30° ÷ 60 = 0.5°/\mathrm{分}$
步骤2：确定23:00整的夹角
23:00时，时针指向11，分针指向12，两者相差1个大格，夹角为$1×30°=30°$
步骤3：计算8分钟后时针、分针转过的角度
8分钟分针转过的角度：$8×6°=48°$
8分钟时针转过的角度：$8×0.5°=4°$
步骤4：计算23:08的夹角
此时时针距离12点方向的角度为$30° - 4°=26°$，分针距离12点方向的角度为$48°$，两者夹角为$26° + 48°=74°$
【答案】
$74°$
【知识点】
钟表角度计算、角的度量、度的运算
【点评】
本题是钟表夹角的典型计算题，解题核心是掌握时针和分针的转动速度，注意计算时不要忽略时针随时间的转动，结合位置关系即可准确求出夹角，属于角度计算类的常考题型。
【难度系数】
0.7

6. 杨老师到几何王国去散步，刚走到“角”的家门，就听到$∠ A$，$∠ B$，$∠ C$在吵架，$∠ A$说：“我是$48°15'$，我应该最大！”$∠ B$说：“我是$48.3°$，我应该最大！”$∠ C$也不甘示弱：“我是$48.15°$，我应该和$∠ A$一样大！”听到这里，杨老师对它们说：“别吵了，你们谁大谁小，由我来作评判！”请写出杨老师评判过程。

6. $\because ∠A=48°15'=48°+(\dfrac{15}{60})°=48.25°,∠B=48.3°,∠C=48.15°,∴∠B＞∠A＞∠C,$即$∠B$最大.

【分析】
要比较三个角的大小，首先要统一角的单位，本题中∠A以度加分的形式表示，∠B和∠C以小数形式的度表示，我们可以根据度与分的换算规则（1°=60'），先将∠A换算为小数形式的度，再对三个角的度数进行大小比较，就能得到最终结果。
【解析】
根据度分的换算关系计算：
∵ 1°=60'，
∴ $∠ A = 48°15' = 48° + (\dfrac{15}{60})° = 48.25°$，
已知$∠ B=48.3°$，$∠ C=48.15°$，
将三个角度数比较可得：$48.3°＞48.25°＞48.15°$，
因此$∠ B＞∠ A＞∠ C$，即$∠ B$最大。
【答案】
$∠ B＞∠ A＞∠ C$，$∠ B$最大
【知识点】
度分秒的换算；角的大小比较
【点评】
本题结合趣味场景考查角的相关计算，解题核心是先统一不同表示形式的角的单位，再进行大小比较，需要注意度和分之间为60进制，避免换算时误用10进制出错。
【难度系数】
0.8

7.（1）在2时与3时之间的哪个时刻，时针与分针重合？
（2）在2时与3时之间的哪个时刻，时针与分针垂直？
（3）在2时与3时之间的哪个时刻，时针与分针成一条直线（不重合）？

7. (1) 2时$10\dfrac{10}{11}$分 (2) 2时$27\dfrac{3}{11}$分 (3) 2时$43\dfrac{7}{11}$分

【分析】
解决钟表时针分针的角度问题，首先要明确两者的转动速度：分针每分钟转$6°$（圆周$360°$，60分钟转完），时针每分钟转$0.5°$（12小时转$360°$，换算得每分钟转$0.5°$）。2时整时，时针指向2、分针指向12，时针领先分针$2×30°=60°$（钟表每大格对应$30°$）。我们可以把三个问题转化为追及类的一元一次方程问题：设2时$x$分满足对应条件，根据不同的角度关系列方程求解即可：（1）重合即分针转过的角度=时针初始领先角度+时针$x$分钟转过的角度；（2）垂直即分针转过的角度减去时针转过的总角度等于$90°$（2-3点间仅这一种符合条件的情况）；（3）成直线不重合即分针转过的角度减去时针转过的总角度等于$180°$。
【解析】
首先计算转速和初始角度差：
分针转速：$360°÷60=6°/\mathrm{分}$，时针转速：$360°÷(12×60)=0.5°/\mathrm{分}$
2时整，时针领先分针的角度：$2×30°=60°$
设2时$x$分时满足对应条件：
（1）时针与分针重合
此时分针转过的角度等于时针初始领先角度加时针$x$分钟转过的角度，列方程：
$6x = 60 + 0.5x$
移项得：$5.5x = 60$
解得：$x = 60÷\frac{11}{2} = \frac{120}{11}=10\frac{10}{11}$
（2）时针与分针垂直
此时分针比时针总共多转$60°+90°=150°$，列方程：
$6x - (60 + 0.5x) = 90$
化简得：$5.5x = 150$
解得：$x = 150÷\frac{11}{2} = \frac{300}{11}=27\frac{3}{11}$
（3）时针与分针成一条直线（不重合）
此时分针比时针总共多转$60°+180°=240°$，列方程：
$6x - (60 + 0.5x) = 180$
化简得：$5.5x = 240$
解得：$x = 240÷\frac{11}{2} = \frac{480}{11}=43\frac{7}{11}$
【答案】
(1) 2时$10\dfrac{10}{11}$分；(2) 2时$27\dfrac{3}{11}$分；(3) 2时$43\dfrac{7}{11}$分
【知识点】
钟表角度计算、一元一次方程应用、追及问题模型
【点评】
本题是角度计算与方程应用结合的典型题型，核心是把钟表的转动问题转化为追及问题，解题关键是准确把握时针、分针的转动速度和初始角度差，能很好地考查知识迁移和实际应用能力。
【难度系数】
0.6

8. 如图,一渔船在海上点 E 开始绕点 O 航行,开始时点 E 在点 O 的北偏东 $43°40'$方向,然后绕点 O 航行到点 C,测得 $∠ COE = 2∠ AOE$ 继续绕行,最后到达点 D, $OD = 3\ \mathrm{km}$, $∠ COD = \frac{1}{2}∠ BOC$.
(1) 求 $∠ BOC$ 的度数;
(2) 说明渔船最后到达的点 D 在什么位置.

8. (1) 点 E 在点 O 的北偏东 $43°40'$方向,即$∠BOE=43°40'$,$∠AOE=90°-43°40'=46°20',∵∠COE=2∠AOE=2×46°20'=92°40',∴∠BOC=∠COE-∠BOE=92°40'-43°40'=49°.$
(2) $∵∠COD=\dfrac{1}{2}∠COB. ∴∠COD=\dfrac{1}{2}×49°=24°30',∴∠BOD=∠BOC+∠COD=49°+24°30'=73°30'.∵OD=3\ \mathrm{km},$即点 D 在点 O 的北偏西 $73°30'$方向上,相距 3 km.

【分析】
（1）求解第一问首先要明确方位角的含义，北偏东$43°40'$说明正北方向为OB，因此$∠BOE=43°40'$；又因为正东与正北方向垂直，即$∠AOB=90°$，可先求出$∠AOE$的度数，再根据$∠COE=2∠AOE$算出$∠COE$，最后用$∠COE$减去$∠BOE$即可得到$∠BOC$的度数。
（2）求解第二问先根据$∠COD$和$∠BOC$的数量关系求出$∠COD$的度数，再计算出$∠BOD$的度数，结合OD的长度，根据方位角的表述规则就能确定点D的位置，注意度分秒运算的进率为60。
【解析】
(1) 已知点E在点O的北偏东$43°40'$方向，正北方向为OB，因此$∠ BOE=43°40'$。
因为正东OA与正北OB垂直，$∠ AOB=90°$，因此：
$∠ AOE=90°-∠ BOE=90°-43°40'=46°20'$
由题意$∠ COE=2∠ AOE$，代入得：
$∠ COE=2×46°20'=92°40'$
所以$∠ BOC=∠ COE-∠ BOE=92°40'-43°40'=49°$
(2) 由题意$∠ COD=\frac{1}{2}∠ BOC$，代入$∠ BOC=49°$得：
$∠ COD=\frac{1}{2}×49°=24°30'$
因此$∠ BOD=∠ BOC+∠ COD=49°+24°30'=73°30'$
又已知$OD=3\ \mathrm{km}$，观察图形可知点D在正北方向OB的西侧，因此点D的位置可确定。
【答案】
(1) $∠ BOC$的度数为$49°$；
(2) 点D在点O的北偏西$73°30'$方向上，相距3km处。
【知识点】
方位角的认识，角的和差计算，度分秒的换算
【点评】
本题结合实际航行场景考查角的相关计算，解题核心是准确理解方位角的定义，理清图中各个角之间的数量关系，计算时注意度分秒的进率为60，避免运算出错。
【难度系数】
0.7