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1.据某媒体报道，今年“五一”黄金周期间，我市旅游收入再创历史新高，达1290000000元，用科学记数法表示为
$1.29×10^9$
元.答案
1. $1.29×10^9$
解析
【分析】
要解决用科学记数法表示较大数的问题，首先回忆科学记数法的定义：科学记数法的固定形式为$a × 10^n$，其中需满足$1 ≤ |a| ＜ 10$，$n$为正整数。解题分两步走：第一步确定$a$的值，将原数的小数点向左移动，直到第一个非零数字的后方，确保得到的数符合$1 ≤ a ＜ 10$的要求；第二步确定$n$的值，$n$的大小等于小数点向左移动的位数，也等于原数的整数位数减1。
【解析】
科学记数法的表示形式为$a × 10^n$，其中$1 ≤ a ＜ 10$，$n$为正整数。
1. 确定$a$的值：将1290000000的小数点向左移动9位，得到$a=1.29$，满足$1 ≤ 1.29 ＜ 10$的要求。
2. 确定$n$的值：小数点一共向左移动了9位，因此$n=9$。
综上，1290000000用科学记数法表示为$1.29 × 10^9$。
【答案】
$1.29 × 10^9$
【知识点】
科学记数法
【点评】
本题是科学记数法的基础考查题型，解题核心是正确确定$a$的取值和$n$的数值，属于各类考试中的常考基础题，只要掌握科学记数法的规则就能轻松得分。
【难度系数】
0.9
要解决用科学记数法表示较大数的问题，首先回忆科学记数法的定义：科学记数法的固定形式为$a × 10^n$，其中需满足$1 ≤ |a| ＜ 10$，$n$为正整数。解题分两步走：第一步确定$a$的值，将原数的小数点向左移动，直到第一个非零数字的后方，确保得到的数符合$1 ≤ a ＜ 10$的要求；第二步确定$n$的值，$n$的大小等于小数点向左移动的位数，也等于原数的整数位数减1。
【解析】
科学记数法的表示形式为$a × 10^n$，其中$1 ≤ a ＜ 10$，$n$为正整数。
1. 确定$a$的值：将1290000000的小数点向左移动9位，得到$a=1.29$，满足$1 ≤ 1.29 ＜ 10$的要求。
2. 确定$n$的值：小数点一共向左移动了9位，因此$n=9$。
综上，1290000000用科学记数法表示为$1.29 × 10^9$。
【答案】
$1.29 × 10^9$
【知识点】
科学记数法
【点评】
本题是科学记数法的基础考查题型，解题核心是正确确定$a$的取值和$n$的数值，属于各类考试中的常考基础题，只要掌握科学记数法的规则就能轻松得分。
【难度系数】
0.9
2. 一种商品原价120元，按八折出售，则现售价应为
96
元。答案
2. 96
解析
【分析】
解题时首先要明确“八折”的含义，八折指的是现售价是原价的80%，即0.8倍。要求现售价，本质是求120元的80%是多少，根据乘法的意义，直接用原价乘折扣对应的比例即可算出结果。
【解析】
八折表示现售价是原价的80%，换算为小数是0.8。
现售价 = 原价 × 折扣率
代入数值计算：$120×0.8=96$（元）
【答案】
96
【知识点】
折扣问题；百分数乘法应用
【点评】
本题是结合生活场景的基础计算题，核心是掌握折扣的概念以及现价、原价、折扣率三者的数量关系，计算量小，只要理解折扣含义就能顺利解答。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确“八折”的含义，八折指的是现售价是原价的80%，即0.8倍。要求现售价，本质是求120元的80%是多少，根据乘法的意义，直接用原价乘折扣对应的比例即可算出结果。
【解析】
八折表示现售价是原价的80%，换算为小数是0.8。
现售价 = 原价 × 折扣率
代入数值计算：$120×0.8=96$（元）
【答案】
96
【知识点】
折扣问题；百分数乘法应用
【点评】
本题是结合生活场景的基础计算题，核心是掌握折扣的概念以及现价、原价、折扣率三者的数量关系，计算量小，只要理解折扣含义就能顺利解答。
【难度系数】
0.9
3.有一列数$a_1,a_2,a_3,\dots,a_n$,从第二个数开始,每一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差,若$a_1=\frac{5}{13}$,则$a_{2024}=$
$-\frac{8}{5}$
.答案
3. $-\frac{8}{5}$
解析
【分析】
本题是数列规律探究题，解题思路如下：首先根据题目给出的递推规则，依次计算出数列的前几项，观察发现数列是周期循环的，确定循环周期后，用所求项的序号除以周期，根据余数即可对应找到$a_{2024}$的值。
【解析】
已知$a_1=\frac{5}{13}$，根据题意“从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差”，依次计算：
1. 计算$a_2$：
$a_2=1-\frac{1}{a_1}=1-\frac{13}{5}=-\frac{8}{5}$
2. 计算$a_3$：
$a_3=1-\frac{1}{a_2}=1-(-\frac{5}{8})=1+\frac{5}{8}=\frac{13}{8}$
3. 计算$a_4$：
$a_4=1-\frac{1}{a_3}=1-\frac{8}{13}=\frac{5}{13}$
可以发现$a_4=a_1$，说明该数列每3个数为一个周期循环，周期$T=3$。
接下来计算2024除以3的余数：
$2024÷3=674······2$，余数为2，说明$a_{2024}$和周期中的第2个数相等，即$a_{2024}=a_2=-\frac{8}{5}$。
【答案】
$-\frac{8}{5}$
【知识点】
数列周期规律，倒数的运算，有理数减法
【点评】
本题核心考查规律探究能力，通过计算前几项确定数列的循环周期是解题的突破口，计算过程中要注意倒数的符号和有理数减法的运算规则，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
本题是数列规律探究题，解题思路如下：首先根据题目给出的递推规则，依次计算出数列的前几项，观察发现数列是周期循环的，确定循环周期后，用所求项的序号除以周期，根据余数即可对应找到$a_{2024}$的值。
【解析】
已知$a_1=\frac{5}{13}$，根据题意“从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差”，依次计算：
1. 计算$a_2$：
$a_2=1-\frac{1}{a_1}=1-\frac{13}{5}=-\frac{8}{5}$
2. 计算$a_3$：
$a_3=1-\frac{1}{a_2}=1-(-\frac{5}{8})=1+\frac{5}{8}=\frac{13}{8}$
3. 计算$a_4$：
$a_4=1-\frac{1}{a_3}=1-\frac{8}{13}=\frac{5}{13}$
可以发现$a_4=a_1$，说明该数列每3个数为一个周期循环，周期$T=3$。
接下来计算2024除以3的余数：
$2024÷3=674······2$，余数为2，说明$a_{2024}$和周期中的第2个数相等，即$a_{2024}=a_2=-\frac{8}{5}$。
【答案】
$-\frac{8}{5}$
【知识点】
数列周期规律，倒数的运算，有理数减法
【点评】
本题核心考查规律探究能力，通过计算前几项确定数列的循环周期是解题的突破口，计算过程中要注意倒数的符号和有理数减法的运算规则，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
4.小明学了计算机运算法则后，编制了一个程序，当他任意输入一个有理数以后，计算机会计算这个有理数的平方减去2的差.若他第一次输入$-\frac{1}{2}$，然后将所得结果再次输入，那么最后得到的结果是
$\frac{17}{16}$
.答案
4. $\frac{17}{16}$
解析
【分析】
首先明确程序的运算规则：输入有理数x，输出结果为$x^2 - 2$。解题需分两步完成：第一步先计算第一次输入$-\frac{1}{2}$得到的输出值，第二步将第一次的输出值作为新的输入，再次代入运算规则计算，即可得到最终结果。
【解析】
第一步：计算第一次输入$-\frac{1}{2}$的结果：
$(-\frac{1}{2})^2 - 2 = \frac{1}{4} - 2 = \frac{1}{4} - \frac{8}{4} = -\frac{7}{4}$
第二步：将第一次得到的结果$-\frac{7}{4}$再次输入，计算最终结果：
$(-\frac{7}{4})^2 - 2 = \frac{49}{16} - 2 = \frac{49}{16} - \frac{32}{16} = \frac{17}{16}$
【答案】
$\frac{17}{16}$
【知识点】
有理数乘方运算；有理数混合运算
【点评】
本题考查按给定运算规则分步计算的能力，解题的核心是明确两次运算的输入值，计算乘方时要注意负数的平方为正，分步计算可降低出错概率。
【难度系数】
0.8
首先明确程序的运算规则：输入有理数x，输出结果为$x^2 - 2$。解题需分两步完成：第一步先计算第一次输入$-\frac{1}{2}$得到的输出值，第二步将第一次的输出值作为新的输入，再次代入运算规则计算，即可得到最终结果。
【解析】
第一步：计算第一次输入$-\frac{1}{2}$的结果：
$(-\frac{1}{2})^2 - 2 = \frac{1}{4} - 2 = \frac{1}{4} - \frac{8}{4} = -\frac{7}{4}$
第二步：将第一次得到的结果$-\frac{7}{4}$再次输入，计算最终结果：
$(-\frac{7}{4})^2 - 2 = \frac{49}{16} - 2 = \frac{49}{16} - \frac{32}{16} = \frac{17}{16}$
【答案】
$\frac{17}{16}$
【知识点】
有理数乘方运算；有理数混合运算
【点评】
本题考查按给定运算规则分步计算的能力，解题的核心是明确两次运算的输入值，计算乘方时要注意负数的平方为正，分步计算可降低出错概率。
【难度系数】
0.8
5.已知两数相乘大于0，两数相加小于0，则这两数的符号为 （
A.同正
B.同负
C.一正一负
D.无法确定
B
）A.同正
B.同负
C.一正一负
D.无法确定
答案
5. B
解析
【分析】
解题时先结合有理数乘法的符号规律判断两数的符号异同，再结合有理数加法的符号规律确定两数的具体符号：第一步，两数相乘大于0，根据“同号得正，异号得负”可知两数同号；第二步，同号分为同正和同负两种情况，分别验证和的符号：若同正，两个正数的和必然为正，不符合“相加小于0”的条件，因此排除同正，即可确定两数同负。
【解析】
解：①根据有理数乘法的符号法则：两数相乘，同号得正，异号得负。
已知两数乘积大于0，说明两数同号，即要么都为正，要么都为负，因此排除C选项（一正一负乘积为负，不符合要求）。
②再根据有理数加法的符号规律：两个正数相加，和为正数；两个负数相加，和为负数。
若两数同正，两数之和必然大于0，不符合题目中“两数相加小于0”的条件，因此排除A选项。
综上，两数只能同负，两个负数相乘得正（满足乘积大于0），两个负数相加得负（满足和小于0），符合题意。
【答案】
B
【知识点】
有理数乘法法则；有理数加法法则
【点评】
本题是基础的有理数运算符号判定题，需要综合运用乘法和加法的符号规律分析，熟练掌握有理数运算法则的符号判定规则就能快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时先结合有理数乘法的符号规律判断两数的符号异同，再结合有理数加法的符号规律确定两数的具体符号：第一步，两数相乘大于0，根据“同号得正，异号得负”可知两数同号；第二步，同号分为同正和同负两种情况，分别验证和的符号：若同正，两个正数的和必然为正，不符合“相加小于0”的条件，因此排除同正，即可确定两数同负。
【解析】
解：①根据有理数乘法的符号法则：两数相乘，同号得正，异号得负。
已知两数乘积大于0，说明两数同号，即要么都为正，要么都为负，因此排除C选项（一正一负乘积为负，不符合要求）。
②再根据有理数加法的符号规律：两个正数相加，和为正数；两个负数相加，和为负数。
若两数同正，两数之和必然大于0，不符合题目中“两数相加小于0”的条件，因此排除A选项。
综上，两数只能同负，两个负数相乘得正（满足乘积大于0），两个负数相加得负（满足和小于0），符合题意。
【答案】
B
【知识点】
有理数乘法法则；有理数加法法则
【点评】
本题是基础的有理数运算符号判定题，需要综合运用乘法和加法的符号规律分析，熟练掌握有理数运算法则的符号判定规则就能快速解题。
【难度系数】
0.8
6. 计算:
(1) $10 - 1 ÷ ( \frac{1}{6} - \frac{1}{3} ) ÷ \frac{1}{12}$.
(2) $-1^2 - 6 × ( -\frac{1}{3} )^2 + (-5) × (-3)$.
(1) $10 - 1 ÷ ( \frac{1}{6} - \frac{1}{3} ) ÷ \frac{1}{12}$.
(2) $-1^2 - 6 × ( -\frac{1}{3} )^2 + (-5) × (-3)$.
答案
6.(1)82 (2)$\frac{40}{3}$
解析
【分析】
有理数混合运算需严格遵循运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号内的运算，同级运算从左到右依次进行，同时要注意符号的判断，避免因符号出错丢分。
针对(1)：先计算小括号内的分数减法，再将除法转化为乘法，按从左到右的顺序计算乘除部分，最后计算减法即可。
针对(2)：先计算乘方，注意区分$-1^2$和$(-1)^2$的区别，再计算乘法部分，最后合并加减项，分数计算注意通分。
【解析】
(1) 先计算括号内的运算：
$\frac{1}{6}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}-\frac{2}{6}=-\frac{1}{6}$
代入原式按顺序计算：
$10 - 1 ÷ ( -\frac{1}{6} ) ÷ \frac{1}{12}$
$=10 - 1 × (-6) × 12$
$=10 - (-72)$
$=10+72$
$=82$
(2) 先计算乘方运算：
$-1^2=-1$，$(-\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$
代入原式按顺序计算：
$-1 - 6 × \frac{1}{9} + (-5) × (-3)$
$=-1 - \frac{2}{3} + 15$
$=14 - \frac{2}{3}$
$=\frac{42}{3}-\frac{2}{3}$
$=\frac{40}{3}$
【答案】
(1) $\boxed{82}$；(2) $\boxed{\dfrac{40}{3}}$
【知识点】
1. 有理数混合运算顺序
2. 乘方的运算
3. 有理数乘除法则
【点评】
本题是有理数混合运算的常规题型，核心考查运算顺序和符号处理能力，乘方运算中负号的归属、除法变乘法时的符号变化是易错点，计算时细心即可得分。
【难度系数】
0.7
有理数混合运算需严格遵循运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号内的运算，同级运算从左到右依次进行，同时要注意符号的判断，避免因符号出错丢分。
针对(1)：先计算小括号内的分数减法，再将除法转化为乘法，按从左到右的顺序计算乘除部分，最后计算减法即可。
针对(2)：先计算乘方，注意区分$-1^2$和$(-1)^2$的区别，再计算乘法部分，最后合并加减项，分数计算注意通分。
【解析】
(1) 先计算括号内的运算：
$\frac{1}{6}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}-\frac{2}{6}=-\frac{1}{6}$
代入原式按顺序计算：
$10 - 1 ÷ ( -\frac{1}{6} ) ÷ \frac{1}{12}$
$=10 - 1 × (-6) × 12$
$=10 - (-72)$
$=10+72$
$=82$
(2) 先计算乘方运算：
$-1^2=-1$，$(-\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$
代入原式按顺序计算：
$-1 - 6 × \frac{1}{9} + (-5) × (-3)$
$=-1 - \frac{2}{3} + 15$
$=14 - \frac{2}{3}$
$=\frac{42}{3}-\frac{2}{3}$
$=\frac{40}{3}$
【答案】
(1) $\boxed{82}$；(2) $\boxed{\dfrac{40}{3}}$
【知识点】
1. 有理数混合运算顺序
2. 乘方的运算
3. 有理数乘除法则
【点评】
本题是有理数混合运算的常规题型，核心考查运算顺序和符号处理能力，乘方运算中负号的归属、除法变乘法时的符号变化是易错点，计算时细心即可得分。
【难度系数】
0.7
7.某冷冻厂的一个冷库，现在的室温是$-2°\mathrm{C}$，现有一批食品，需要在$-28°\mathrm{C}$下冷藏，如果每小时能降温$4°\mathrm{C}$，要降到所需温度，需要几个小时？
答案
7. 6.5小时
解析
【分析】
解题时首先要明确思路：先求出从当前室温降到目标温度一共需要降低的总温度，再用总降温度数除以每小时的降温速度，就能得到所需的时间。计算温差时要注意有理数减法的运算规则，减去一个负数等于加上它的相反数。
【解析】
首先计算需要降低的总温度：
当前温度是$-2{°}\mathrm{C}$，目标温度是$-28{°}\mathrm{C}$，所以需要降低的温度为：
$(-2) - (-28) = -2 + 28 = 26({°}\mathrm{C})$
已知每小时降温$4{°}\mathrm{C}$，则所需时间为：
$26 ÷ 4 = 6.5$（小时）
【答案】
6.5小时
【知识点】
有理数的减法、有理数的除法、有理数的实际应用
【点评】
本题是有理数运算在实际生活场景中的应用，解题核心是准确计算出温差，再结合“时间=总降温量÷单位时间降温量”的关系求解，计算时要注意有理数减法的符号处理，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确思路：先求出从当前室温降到目标温度一共需要降低的总温度，再用总降温度数除以每小时的降温速度，就能得到所需的时间。计算温差时要注意有理数减法的运算规则，减去一个负数等于加上它的相反数。
【解析】
首先计算需要降低的总温度：
当前温度是$-2{°}\mathrm{C}$，目标温度是$-28{°}\mathrm{C}$，所以需要降低的温度为：
$(-2) - (-28) = -2 + 28 = 26({°}\mathrm{C})$
已知每小时降温$4{°}\mathrm{C}$，则所需时间为：
$26 ÷ 4 = 6.5$（小时）
【答案】
6.5小时
【知识点】
有理数的减法、有理数的除法、有理数的实际应用
【点评】
本题是有理数运算在实际生活场景中的应用，解题核心是准确计算出温差，再结合“时间=总降温量÷单位时间降温量”的关系求解，计算时要注意有理数减法的符号处理，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8
8.某地规定，居民生活用电的费用按以下方法计算：每月用电量不超过50度(1度=1千瓦时)时，每度电的价格为0.53元；超过50度时，不超过部分仍以每度0.53元计算，超出部分每度电的价格为0.56元.小明家八月份用电170度，应付电费多少元？
答案
8. 93.7元
解析
【分析】
这是一道生活中的分段计费应用题，解题思路如下：首先判断实际用电量对应的计费区间，小明家八月份用电170度，超过了50度的基础用电量，因此电费需要分两段计算：第一段是不超过50度的部分，按每度0.53元的标准计费；第二段是超出50度的部分，按每度0.56元的标准计费，最后将两段的费用相加，就能得到总应付电费。
【解析】
解：
1. 计算50度基础电量的电费：
$50×0.53=26.5$（元）
2. 计算超出50度的用电量：
$170-50=120$（度）
3. 计算超出部分的电费：
$120×0.56=67.2$（元）
4. 计算总应付电费：
$26.5+67.2=93.7$（元）
【答案】
93.7元
【知识点】
分段计费问题、小数四则运算
【点评】
本题结合生活用电收费场景考查分段计费的计算方法，解题关键是理清不同用电量区间对应的收费标准，分别核算各段费用后再求和，要注意避免直接用总用电量乘超出部分单价的错误。
【难度系数】
0.8
这是一道生活中的分段计费应用题，解题思路如下：首先判断实际用电量对应的计费区间，小明家八月份用电170度，超过了50度的基础用电量，因此电费需要分两段计算：第一段是不超过50度的部分，按每度0.53元的标准计费；第二段是超出50度的部分，按每度0.56元的标准计费，最后将两段的费用相加，就能得到总应付电费。
【解析】
解：
1. 计算50度基础电量的电费：
$50×0.53=26.5$（元）
2. 计算超出50度的用电量：
$170-50=120$（度）
3. 计算超出部分的电费：
$120×0.56=67.2$（元）
4. 计算总应付电费：
$26.5+67.2=93.7$（元）
【答案】
93.7元
【知识点】
分段计费问题、小数四则运算
【点评】
本题结合生活用电收费场景考查分段计费的计算方法，解题关键是理清不同用电量区间对应的收费标准，分别核算各段费用后再求和，要注意避免直接用总用电量乘超出部分单价的错误。
【难度系数】
0.8
