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9.已知$|x|=3,y^2=16,xy＜0$,则$x-y=$
$\pm7$
.答案
9. $\pm7$
解析
【分析】
解题时可按三步思考：第一步，根据绝对值的性质求出x的所有可能取值；第二步，根据平方的性质求出y的所有可能取值；第三步，结合xy＜0的条件（即x、y异号）筛选出符合要求的x、y组合，最后分别代入计算x-y的值即可，注意要分类讨论避免漏解。
【解析】
解：
∵ |x|=3，
∴ x=3或x=-3；
∵ y²=16，
∴ y=4或y=-4；
又
∵ xy＜0，说明x与y异号，分两种情况计算：
① 当x=3时，y=-4，此时x-y=3 - (-4)=3+4=7；
② 当x=-3时，y=4，此时x-y=-3 - 4=-7；
综上，x-y的值为±7。
【答案】
±7
【知识点】
绝对值的性质，平方的性质，有理数的减法
【点评】
本题是易错题，需要熟练掌握绝对值和平方的相关性质，解题时要根据两数乘积为负的条件分类讨论，避免漏掉其中一种取值组合，计算有理数减法时要注意符号的变化。
【难度系数】
0.75
解题时可按三步思考：第一步，根据绝对值的性质求出x的所有可能取值；第二步，根据平方的性质求出y的所有可能取值；第三步，结合xy＜0的条件（即x、y异号）筛选出符合要求的x、y组合，最后分别代入计算x-y的值即可，注意要分类讨论避免漏解。
【解析】
解：
∵ |x|=3，
∴ x=3或x=-3；
∵ y²=16，
∴ y=4或y=-4；
又
∵ xy＜0，说明x与y异号，分两种情况计算：
① 当x=3时，y=-4，此时x-y=3 - (-4)=3+4=7；
② 当x=-3时，y=4，此时x-y=-3 - 4=-7；
综上，x-y的值为±7。
【答案】
±7
【知识点】
绝对值的性质，平方的性质，有理数的减法
【点评】
本题是易错题，需要熟练掌握绝对值和平方的相关性质，解题时要根据两数乘积为负的条件分类讨论，避免漏掉其中一种取值组合，计算有理数减法时要注意符号的变化。
【难度系数】
0.75
10.已知:$2+\frac{2}{3}=2^2×\frac{2}{3},3+\frac{3}{8}=3^2×\frac{3}{8},4+\frac{4}{15}=4^2×\frac{4}{15},5+\frac{5}{24}=5^2×\frac{5}{24},···$,若$10+\frac{b}{a}=10^2×\frac{b}{a}$符合前面式子的规律,则$a+b=$
109
.答案
10. 109
解析
【分析】
解题时先观察已知等式的结构特征：等式左边是一个正整数加一个分数，右边是这个正整数的平方乘左侧的分数。接下来对比各等式中整数、分数的分子、分母的对应关系：分数的分子与整数相等，分母等于整数的平方减1，总结出通用规律后，将整数10代入规律即可求出a、b的值，最后计算a+b的结果。
【解析】
观察给出的等式可发现规律：
当等式左侧的整数为$n$（$n≥2$，且$n$为正整数）时，对应分数的分子$b=n$，分母$a=n^2 - 1$，满足$n+\frac{b}{a}=n^2×\frac{b}{a}$。
已知$10+\frac{b}{a}=10^2×\frac{b}{a}$，即$n=10$，因此：
$b=10$，$a=10^2 - 1=100-1=99$，
则$a+b=99+10=109$。
【答案】
109
【知识点】
数字规律探究，代数式求值
【点评】
本题是典型的数字规律探究题，核心考查从特殊实例中归纳通用规律的能力，解题关键是找准整数与分数分子、分母的数量关系，掌握从特殊到一般的归纳方法即可快速解题。
【难度系数】
0.7
解题时先观察已知等式的结构特征：等式左边是一个正整数加一个分数，右边是这个正整数的平方乘左侧的分数。接下来对比各等式中整数、分数的分子、分母的对应关系：分数的分子与整数相等，分母等于整数的平方减1，总结出通用规律后，将整数10代入规律即可求出a、b的值，最后计算a+b的结果。
【解析】
观察给出的等式可发现规律：
当等式左侧的整数为$n$（$n≥2$，且$n$为正整数）时，对应分数的分子$b=n$，分母$a=n^2 - 1$，满足$n+\frac{b}{a}=n^2×\frac{b}{a}$。
已知$10+\frac{b}{a}=10^2×\frac{b}{a}$，即$n=10$，因此：
$b=10$，$a=10^2 - 1=100-1=99$，
则$a+b=99+10=109$。
【答案】
109
【知识点】
数字规律探究，代数式求值
【点评】
本题是典型的数字规律探究题，核心考查从特殊实例中归纳通用规律的能力，解题关键是找准整数与分数分子、分母的数量关系，掌握从特殊到一般的归纳方法即可快速解题。
【难度系数】
0.7
11.观察下面一列数的规律，然后在横线上填上适当的数：－5，－2，1，4，7，
10
，13
。答案
11. 10 13
解析
【分析】
遇到找数列规律的题目，首先可观察相邻两项的差或和来寻找共性。观察这列数，整体呈递增趋势，优先计算后一项减去前一项的差值：-2 - (-5)=3，1 - (-2)=3，4-1=3，7-4=3，可发现差值恒定为3，即该数列是公差为3的等差数列，后一项总比前一项大3，因此只需用前一项加3即可得到后续的数。
【解析】
第一步：计算相邻两项的差，验证规律：
$-2 - (-5) = 3$
$1 - (-2) = 3$
$4 - 1 = 3$
$7 - 4 = 3$
可得规律：数列中后一个数比前一个数大3。
第二步：按规律计算空缺的数：
第一个空缺的数 = $7 + 3 = 10$
第二个空缺的数 = $10 + 3 = 13$
【答案】
10；13
【知识点】
数字规律探究；有理数的加减法
【点评】
本题属于基础的数字规律类题型，核心考查对数列相邻项差值的分析能力，掌握等差数列“相邻项差值恒定”的特征即可快速求解，是规律探究类问题的入门题型。
【难度系数】
0.9
遇到找数列规律的题目，首先可观察相邻两项的差或和来寻找共性。观察这列数，整体呈递增趋势，优先计算后一项减去前一项的差值：-2 - (-5)=3，1 - (-2)=3，4-1=3，7-4=3，可发现差值恒定为3，即该数列是公差为3的等差数列，后一项总比前一项大3，因此只需用前一项加3即可得到后续的数。
【解析】
第一步：计算相邻两项的差，验证规律：
$-2 - (-5) = 3$
$1 - (-2) = 3$
$4 - 1 = 3$
$7 - 4 = 3$
可得规律：数列中后一个数比前一个数大3。
第二步：按规律计算空缺的数：
第一个空缺的数 = $7 + 3 = 10$
第二个空缺的数 = $10 + 3 = 13$
【答案】
10；13
【知识点】
数字规律探究；有理数的加减法
【点评】
本题属于基础的数字规律类题型，核心考查对数列相邻项差值的分析能力，掌握等差数列“相邻项差值恒定”的特征即可快速求解，是规律探究类问题的入门题型。
【难度系数】
0.9
12. 有理数$a,b,c$在数轴上对应点的位置如图所示，若$|b|＞|c|$，则下列结论中正确的是（
A.$abc＜0$
B.$b+c＜0$
C.$a+c＞0$
D.$ac＞ab$
B
）A.$abc＜0$
B.$b+c＜0$
C.$a+c＞0$
D.$ac＞ab$
答案
12. B
解析
【分析】
首先根据数轴的性质，数轴上右侧的数总比左侧的数大，可得$a ＜ b ＜ c$，再结合已知条件$|b|＞|c|$，逐一分析每个选项：先判断每个运算结果的符号，排除错误选项，最终得到正确结论。
【解析】
解：由数轴可得：$a ＜ b ＜ c$。
已知$|b|＞|c|$，对各选项逐一分析：
A. $abc＜0$：无法确定$a$、$c$的符号，若$a$、$b$、$c$均为负数，此时三个负数相乘结果为负；若$a$、$b$为负，$c$为正，此时两个负数乘正数结果为正，因此$abc$的符号不确定，A错误。
B. $b+c＜0$：由$|b|＞|c|$，若$b$、$c$均为负数，两个负数相加和为负；若$b$为负、$c$为正，异号两数相加取绝对值更大的数的符号，$|b|＞|c|$，因此和仍为负，故$b+c＜0$恒成立，B正确。
C. $a+c＞0$：$a$比$b$更小（更靠左），取值验证：令$a=-5$，$b=-3$，$c=2$，此时$a+c=-5+2=-3＜0$，因此该式不一定成立，C错误。
D. $ac＞ab$：整理得$ac-ab=a(c-b)$，由$c＞b$得$c-b＞0$，若$a$为负数，则$a(c-b)＜0$，即$ac＜ab$，因此该式不一定成立，D错误。
【答案】
B
【知识点】
数轴的应用；绝对值的性质；有理数运算
【点评】
本题综合考查数轴、绝对值和有理数运算的相关知识，解题的关键是结合数轴上数的大小关系和绝对值的大小，通过分类讨论判断各选项的正误，熟练掌握有理数运算法则是解题基础。
【难度系数】
0.7
首先根据数轴的性质，数轴上右侧的数总比左侧的数大，可得$a ＜ b ＜ c$，再结合已知条件$|b|＞|c|$，逐一分析每个选项：先判断每个运算结果的符号，排除错误选项，最终得到正确结论。
【解析】
解：由数轴可得：$a ＜ b ＜ c$。
已知$|b|＞|c|$，对各选项逐一分析：
A. $abc＜0$：无法确定$a$、$c$的符号，若$a$、$b$、$c$均为负数，此时三个负数相乘结果为负；若$a$、$b$为负，$c$为正，此时两个负数乘正数结果为正，因此$abc$的符号不确定，A错误。
B. $b+c＜0$：由$|b|＞|c|$，若$b$、$c$均为负数，两个负数相加和为负；若$b$为负、$c$为正，异号两数相加取绝对值更大的数的符号，$|b|＞|c|$，因此和仍为负，故$b+c＜0$恒成立，B正确。
C. $a+c＞0$：$a$比$b$更小（更靠左），取值验证：令$a=-5$，$b=-3$，$c=2$，此时$a+c=-5+2=-3＜0$，因此该式不一定成立，C错误。
D. $ac＞ab$：整理得$ac-ab=a(c-b)$，由$c＞b$得$c-b＞0$，若$a$为负数，则$a(c-b)＜0$，即$ac＜ab$，因此该式不一定成立，D错误。
【答案】
B
【知识点】
数轴的应用；绝对值的性质；有理数运算
【点评】
本题综合考查数轴、绝对值和有理数运算的相关知识，解题的关键是结合数轴上数的大小关系和绝对值的大小，通过分类讨论判断各选项的正误，熟练掌握有理数运算法则是解题基础。
【难度系数】
0.7
13.一个池塘的水浮莲每天都在生长，且每天的面积是前一天的2倍，如果12天就能把整个池塘全部遮住，那么水浮莲长到遮住半个池塘需要（
A.6天
B.8天
C.10天
D.11天
D
）A.6天
B.8天
C.10天
D.11天
答案
13. D
解析
【分析】
这道题考查倍数增长的实际应用，若正向计算第一天水浮莲的面积再逐步推导会比较繁琐，我们可以利用“每天面积是前一天的2倍”这个条件逆向思考：后一天的面积=前一天面积×2，反过来前一天的面积就是后一天面积的一半。已知第12天刚好遮满整个池塘，那么遮满半个池塘的时间就是第12天的前一天，这样就能快速得到结果。
【解析】
我们把整个池塘的面积看作单位“1”。
已知水浮莲每天的面积是前一天的2倍，可得出规律：第$n$天的面积$=$第$n+1$天的面积$÷2$。
由题意得第12天的面积刚好是整个池塘的面积，即第12天面积为1，那么第11天的面积为$1÷2=\frac{1}{2}$，刚好对应半个池塘的面积。
因此水浮莲长到遮住半个池塘需要11天。
【答案】
D
【知识点】
1. 倍数关系应用 2. 逆向思维解题
【点评】
这道题是典型的倍数增长类问题，若盲目从第一天开始正向计算会增加不必要的运算量，利用已知的倍数关系逆向推导，能更简便快速得出答案，解题时要注意灵活选择推导方向。
【难度系数】
0.7
这道题考查倍数增长的实际应用，若正向计算第一天水浮莲的面积再逐步推导会比较繁琐，我们可以利用“每天面积是前一天的2倍”这个条件逆向思考：后一天的面积=前一天面积×2，反过来前一天的面积就是后一天面积的一半。已知第12天刚好遮满整个池塘，那么遮满半个池塘的时间就是第12天的前一天，这样就能快速得到结果。
【解析】
我们把整个池塘的面积看作单位“1”。
已知水浮莲每天的面积是前一天的2倍，可得出规律：第$n$天的面积$=$第$n+1$天的面积$÷2$。
由题意得第12天的面积刚好是整个池塘的面积，即第12天面积为1，那么第11天的面积为$1÷2=\frac{1}{2}$，刚好对应半个池塘的面积。
因此水浮莲长到遮住半个池塘需要11天。
【答案】
D
【知识点】
1. 倍数关系应用 2. 逆向思维解题
【点评】
这道题是典型的倍数增长类问题，若盲目从第一天开始正向计算会增加不必要的运算量，利用已知的倍数关系逆向推导，能更简便快速得出答案，解题时要注意灵活选择推导方向。
【难度系数】
0.7
14.在数字3,4,5,6,7,8,9的前面添加“+”或“−”号使它们的和为−10,请你尽可能想出多种方案。
答案
14. $\because 3+4+5+\dots+9=42,26+16=42,26-16=10,16=9+7=9+4+3=8+5+3=7+6+3=7+5+4,\therefore 16-26=(9+7)-(3+4+5+6+8)=-3-4-5-6+7-8+9$(后略,共有五种方案)
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以先从整体入手：首先计算出3到9所有数字的总和，再分析将数字前的“+”改为“−”时总和的变化规律，从而确定需要添加负号（或正号）的数字之和，最后有序枚举所有符合条件的数字组合，就能得到对应的方案。
【解析】
第一步：计算所有数字的总和
$3+4+5+6+7+8+9=42$
第二步：分析符号变化对总和的影响
若将某个数前的“+”改为“−”，最终和会比原总和减少这个数的2倍（原计算为加该数，修改后为减该数，差值为$2×$该数）。
现在要求最终和为$-10$，相比原总和减少了$42-(-10)=52$，因此所有添加负号的数字的和为$52÷2=26$，对应所有添加正号的数字的和为$42-26=16$。
第三步：枚举符合条件的数字组合，得到方案
我们只需找出和为16的数字组（给这些数加正号，其余加负号），共有以下5种组合：
1. $16=7+9$，对应方案：$-3-4-5-6+7-8+9=-10$
2. $16=3+4+9$，对应方案：$+3+4-5-6-7-8+9=-10$
3. $16=3+5+8$，对应方案：$+3-4+5-6-7+8-9=-10$
4. $16=3+6+7$，对应方案：$+3-4-5+6+7-8-9=-10$
5. $16=4+5+7$，对应方案：$-3+4+5-6+7-8-9=-10$
（最小的4个数字和为$3+4+5+6=18＞16$，因此不存在4个及以上数字和为16的组合，共5种方案）
【答案】
共有5种方案，分别为：
1. $-3-4-5-6+7-8+9=-10$
2. $+3+4-5-6-7-8+9=-10$
3. $+3-4+5-6-7+8-9=-10$
4. $+3-4-5+6+7-8-9=-10$
5. $-3+4+5-6+7-8-9=-10$
【知识点】
1. 有理数加减混合运算
2. 分类讨论思想
3. 整体思想
【点评】
本题需要先从整体角度分析符号改动对总和的影响，确定目标数字和后再有序枚举所有组合，解题时要注意按数字个数从小到大的顺序枚举，避免重复或遗漏，能较好地锻炼运算能力和逻辑思维。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，我们可以先从整体入手：首先计算出3到9所有数字的总和，再分析将数字前的“+”改为“−”时总和的变化规律，从而确定需要添加负号（或正号）的数字之和，最后有序枚举所有符合条件的数字组合，就能得到对应的方案。
【解析】
第一步：计算所有数字的总和
$3+4+5+6+7+8+9=42$
第二步：分析符号变化对总和的影响
若将某个数前的“+”改为“−”，最终和会比原总和减少这个数的2倍（原计算为加该数，修改后为减该数，差值为$2×$该数）。
现在要求最终和为$-10$，相比原总和减少了$42-(-10)=52$，因此所有添加负号的数字的和为$52÷2=26$，对应所有添加正号的数字的和为$42-26=16$。
第三步：枚举符合条件的数字组合，得到方案
我们只需找出和为16的数字组（给这些数加正号，其余加负号），共有以下5种组合：
1. $16=7+9$，对应方案：$-3-4-5-6+7-8+9=-10$
2. $16=3+4+9$，对应方案：$+3+4-5-6-7-8+9=-10$
3. $16=3+5+8$，对应方案：$+3-4+5-6-7+8-9=-10$
4. $16=3+6+7$，对应方案：$+3-4-5+6+7-8-9=-10$
5. $16=4+5+7$，对应方案：$-3+4+5-6+7-8-9=-10$
（最小的4个数字和为$3+4+5+6=18＞16$，因此不存在4个及以上数字和为16的组合，共5种方案）
【答案】
共有5种方案，分别为：
1. $-3-4-5-6+7-8+9=-10$
2. $+3+4-5-6-7-8+9=-10$
3. $+3-4+5-6-7+8-9=-10$
4. $+3-4-5+6+7-8-9=-10$
5. $-3+4+5-6+7-8-9=-10$
【知识点】
1. 有理数加减混合运算
2. 分类讨论思想
3. 整体思想
【点评】
本题需要先从整体角度分析符号改动对总和的影响，确定目标数字和后再有序枚举所有组合，解题时要注意按数字个数从小到大的顺序枚举，避免重复或遗漏，能较好地锻炼运算能力和逻辑思维。
【难度系数】
0.6
15. 雄风商场文具部的某种钢笔售价为25元每支，某种笔记本售价为5元每本，该商场为促销制定了两种优惠方法.
甲:买一支钢笔赠送一本笔记本； 乙:按总金额的九折付款.
星光中学七(4)班钢笔书法小组需购买这种钢笔10支，笔记本60本，怎样购物最省钱？
甲:买一支钢笔赠送一本笔记本； 乙:按总金额的九折付款.
星光中学七(4)班钢笔书法小组需购买这种钢笔10支，笔记本60本，怎样购物最省钱？
答案
15. 用甲方式买10支铅笔，再用乙方式买50本笔记本，总共付款475元
解析
【分析】
这是一道购物最优方案选择类应用题，解题思路如下：首先梳理出所有可能的优惠方案，共三类：①全部采用甲优惠；②全部采用乙优惠；③组合使用两种优惠（先用甲优惠买钢笔，获得赠送的笔记本后，剩余需要补买的笔记本采用乙优惠）；接下来分别计算三种方案的总花费，最后比较三个花费的数值大小，花费最少的就是最省钱的购物方案。
【解析】
我们分别计算三种方案的总花费：
1. 方案1：全部使用甲优惠
甲优惠买10支钢笔会赠送10本笔记本，还需要额外买笔记本：$60-10=50$本
总花费：$10×25 + 50×5 = 250 + 250 = 500$元
2. 方案2：全部使用乙优惠
先算原价总金额：$10×25 + 60×5 = 250 + 300 = 550$元
打九折后总花费：$550×0.9 = 495$元
3. 方案3：组合使用两种优惠
用甲优惠买10支钢笔，获赠10本笔记本，剩下的$60-10=50$本笔记本用乙优惠购买
总花费：$10×25 + 50×5×0.9 = 250 + 225 = 475$元
比较三个花费：$475＜495＜500$，因此组合方案最省钱。
【答案】
用甲方式买10支钢笔，再用乙方式买50本笔记本，总共付款475元
【知识点】
最优方案选择、有理数混合运算、折扣计算
【点评】
本题结合生活中常见的促销场景命题，解题的核心是不要遗漏混合优惠的可行方案，结合两种优惠的特点最大化利用规则，通过计算比较各方案花费即可得到最优解，实用性较强。
【难度系数】
0.7
这是一道购物最优方案选择类应用题，解题思路如下：首先梳理出所有可能的优惠方案，共三类：①全部采用甲优惠；②全部采用乙优惠；③组合使用两种优惠（先用甲优惠买钢笔，获得赠送的笔记本后，剩余需要补买的笔记本采用乙优惠）；接下来分别计算三种方案的总花费，最后比较三个花费的数值大小，花费最少的就是最省钱的购物方案。
【解析】
我们分别计算三种方案的总花费：
1. 方案1：全部使用甲优惠
甲优惠买10支钢笔会赠送10本笔记本，还需要额外买笔记本：$60-10=50$本
总花费：$10×25 + 50×5 = 250 + 250 = 500$元
2. 方案2：全部使用乙优惠
先算原价总金额：$10×25 + 60×5 = 250 + 300 = 550$元
打九折后总花费：$550×0.9 = 495$元
3. 方案3：组合使用两种优惠
用甲优惠买10支钢笔，获赠10本笔记本，剩下的$60-10=50$本笔记本用乙优惠购买
总花费：$10×25 + 50×5×0.9 = 250 + 225 = 475$元
比较三个花费：$475＜495＜500$，因此组合方案最省钱。
【答案】
用甲方式买10支钢笔，再用乙方式买50本笔记本，总共付款475元
【知识点】
最优方案选择、有理数混合运算、折扣计算
【点评】
本题结合生活中常见的促销场景命题，解题的核心是不要遗漏混合优惠的可行方案，结合两种优惠的特点最大化利用规则，通过计算比较各方案花费即可得到最优解，实用性较强。
【难度系数】
0.7
