1. 下列式子是多项式的是 （）

A.$2× 10^5$
B.$-\dfrac{π^2 x^2 z}{2}$
C.$2ab$
D.$a+1$

1.D

【分析】
要解决这道题，首先需要明确单项式和多项式的定义：单项式是数与字母的乘积形式，单独的数或者单独的字母也属于单项式；几个单项式的和叫做多项式。解题时我们只需要逐个判断每个选项属于单项式还是多项式，即可选出符合要求的答案。
【解析】
首先明确相关定义：
①单项式：由数与字母的积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式；
②多项式：几个单项式的和组成的代数式叫做多项式。
逐个分析选项：
A. $2×10^5$是单独的常数，属于单项式，不符合要求；
B. $-\dfrac{π^2 x^2 z}{2}$是数$-\dfrac{π^2}{2}$与字母$x^2z$的乘积，属于单项式，不符合要求；
C. $2ab$是数2与字母$ab$的乘积，属于单项式，不符合要求；
D. $a+1$是单项式$a$和单项式$1$的和，属于多项式，符合要求。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
多项式的定义，单项式的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是区分单项式和多项式的概念，解题关键是牢记“单个的数或字母是单项式，多个单项式的和才是多项式”的判断标准，掌握概念后很容易得分。
【难度系数】
0.9

2.下列关于多项式$5ab^2 - 2a^2bc -1$的说法中，
正确的是 （）

A.它是三次三项式
B.它是二次四项式
C.它的最高次项是$-2a^2bc$
D.它的常数项是1

2.C

【分析】
要解决这道题，需先回忆多项式的相关概念，解题步骤如下：第一步先拆分出多项式的所有项，确定项数；第二步计算每一项的次数，找到最高次项的次数，确定多项式的次数；第三步明确常数项的定义，最后结合选项逐一判断对错即可。
【解析】
首先拆分多项式$5ab^2 - 2a^2bc -1$的所有项：分别为$5ab^2$、$-2a^2bc$、$-1$，共3项。
1. 计算各单项的次数：
$5ab^2$的次数为字母指数和：$1+2=3$；
$-2a^2bc$的次数为字母指数和：$2+1+1=4$；
$-1$是常数项，次数为0。
2. 逐一判断选项：
A选项：多项式最高次数为4，是四次三项式，不是三次三项式，A错误；
B选项：该多项式共3项，最高次数为4，是四次三项式，不是二次四项式，B错误；
C选项：次数最高的项是$-2a^2bc$，即最高次项为$-2a^2bc$，C正确；
D选项：常数项是不含字母的项，为$-1$，不是1，D错误。
【答案】
C
【知识点】
多项式的次数，多项式的项，常数项
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是计算项的次数时漏算字母指数、判断项和常数项时遗漏符号，熟练掌握多项式的相关定义是解题的核心。
【难度系数】
0.8

3.(开放性题)写一个多项式,使它是四次三项式,这个多项式可以是 .

3. $x-2x^4+3$(答案不唯一)

【分析】
要构造符合要求的四次三项式，需先明确两个核心要求：①是三项式：即多项式由3个不含同类项的单项式组成；②是四次：即多项式里次数最高的项的次数为4。解题时可以先写出一个次数为4的单项式作为最高次项，再依次写出两个次数低于4、且与最高次项不是同类项的单项式，将三个单项式相加即可，注意不能出现同类项，否则合并后项数不足3项。
【解析】
根据四次三项式的定义分步构造：
1. 先确定最高次项：选取一个四次单项式，例如$-2x^4$，它的次数为4，是整个多项式的最高次项；
2. 补充第一个低次项：选取次数小于4的单项式，例如一次项$x$，与最高次项不是同类项；
3. 补充第二个低次项：选取次数小于4的单项式，例如常数项$3$，与前两个项都不是同类项。
将三个项组合得到$x-2x^4+3$，该多项式最高次为4，共3个项，符合要求，也可构造其他满足条件的多项式，答案不唯一。
【答案】
$x-2x^4+3$（答案不唯一）
【知识点】
多项式的项；多项式的次数
【点评】
本题为开放性基础题，重点考查对多项式核心概念的掌握，只要抓住“最高次为4”“共3个项”两个条件，构造时避免出现同类项，就能轻松写出符合要求的多项式。
【难度系数】
0.8

4.填空：
多项式 $2a-1$ $-x+5x^4+8$ $-x^2y+3xy^4-2$
项
次数
最高
次项

几次
几项式

4. $2a,-1$ $-x,5x^4,8$ $-x^2 y,3xy^4,-2$ 1 4 5 $2a$ $5x^4$ $3xy^4$ 一次二项式 四次三项式 五次三项式

【分析】
要解决这道题，首先需要明确多项式的核心基础概念，按以下思路逐步分析：
1. 找多项式的项：组成多项式的每个单项式都是多项式的项，注意要包含单项式前面的正负号，单独的常数也属于项；
2. 算多项式的次数：先计算每个项的次数（单项式中所有字母的指数和，常数项次数为0），取最高的项的次数作为整个多项式的次数；
3. 确定最高次项：就是多项式中次数最高的那个项；
4. 判定几次几项式：最高次数是几就叫“几次”，一共有几个项就叫“几项式”。
最后对三个多项式依次套用上述规则即可得出结果。
【解析】
我们逐个分析三个多项式：
1. 对于多项式$2a-1$：
组成它的单项式是$2a$、$-1$，共2个项；$2a$的次数是1，$-1$是常数项次数为0，因此多项式的次数为1，最高次项是$2a$，属于一次二项式。
2. 对于多项式$-x+5x^4+8$：
组成它的单项式是$-x$、$5x^4$、$8$，共3个项；$-x$次数为1，$5x^4$次数为4，$8$是常数项次数为0，因此多项式的次数为4，最高次项是$5x^4$，属于四次三项式。
3. 对于多项式$-x^2y+3xy^4-2$：
组成它的单项式是$-x^2y$、$3xy^4$、$-2$，共3个项；$-x^2y$的次数为$2+1=3$，$3xy^4$的次数为$1+4=5$，$-2$是常数项次数为0，因此多项式的次数为5，最高次项是$3xy^4$，属于五次三项式。
【答案】
项依次填：$2a、-1$；$-x、5x^4、8$；$-x^2y、3xy^4、-2$
次数依次填：$1$；$4$；$5$
最高次项依次填：$2a$；$5x^4$；$3xy^4$
几次几项式依次填：一次二项式；四次三项式；五次三项式
【知识点】
多项式的项；多项式的次数；多项式的命名
【点评】
本题是多项式概念的基础考查题，解题的易错点在于写项时容易遗漏前面的符号、计算单项式次数时漏加某个字母的指数，只要熟练掌握相关基础概念，就能顺利解题。
【难度系数】
0.8

5. 下列式子：$x^2 +1, \frac{1}{a}+4, \frac{3ab^2}{7}, \frac{bc}{a}, -5x, 0$中，整式的个数有（）

A.3个
B.4个
C.5个
D.6个

5.B

【分析】
要判断式子是不是整式，首先明确整式的判定规则：整式是单项式和多项式的统称；其中单项式是数或字母的乘积，单独的数、单独的字母也属于单项式；多项式是几个单项式的和。特别注意：如果式子的分母中含有字母，就不属于整式。我们只需逐个分析题干中的6个式子，统计符合整式要求的个数即可。
【解析】
我们逐个判断每个式子：
1. $x^2 +1$：是单项式$x^2$和1的和，属于多项式，是整式；
2. $\frac{1}{a}+4$：分母中含有字母$a$，不符合整式的要求，不是整式；
3. $\frac{3ab^2}{7}$：是数字$\frac{3}{7}$与字母$a、b^2$的乘积，属于单项式，是整式；
4. $\frac{bc}{a}$：分母中含有字母$a$，不符合整式的要求，不是整式；
5. $-5x$：是数字$-5$与字母$x$的乘积，属于单项式，是整式；
6. $0$：单独的一个数，属于单项式，是整式。
综上，整式共有$x^2 +1、\frac{3ab^2}{7}、-5x、0$，合计4个，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1.整式的判定
2.单项式的定义
3.多项式的定义
【点评】
本题是整式识别的基础题型，解题核心是牢记整式的判定特征，尤其要注意区分分母含字母的式子不属于整式，熟练掌握该知识点即可快速准确答题。
【难度系数】
0.8

6.将式子：$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{x+2}$，$\frac{x}{3} - y$，$π(x^2 - y^2)$，$\frac{1}{6}a^2$，$7x - 1$，$9a^2 + \frac{1}{a} - 2$填入相应的横线上.
单项式：______；
多项式：______；
整式：______.

6. 单项式:$\frac{1}{3},\frac{1}{6}a^2$ 多项式:$\frac{x}{3}-y,π(x^2-y^2),7x-1$ 整式:$\frac{1}{3},\frac{x}{3}-y,π(x^2-y^2),\frac{1}{6}a^2,7x-1$

【分析】
解题前需先明确三类代数式的定义：①单项式：数与字母的乘积，单独的一个数或一个字母也属于单项式，注意单项式的分母不能含有字母；②多项式：几个单项式的和；③整式：单项式和多项式的统称，即所有整式的分母都不含字母。解题时先筛选出分母含字母的非整式，再对剩余式子按单项式、多项式的定义分类即可。
【解析】
逐个判断给出的式子：
1. $\frac{1}{3}$是单独的常数，属于单项式，也属于整式；
2. $\frac{1}{x+2}$的分母含有字母$x$，属于分式，不属于整式、单项式、多项式；
3. $\frac{x}{3}-y$是单项式$\frac{x}{3}$和$-y$的和，属于多项式，也属于整式；
4. $π(x^2-y^2)$中$π$是常数，展开后为$πx^2-πy^2$，是两个单项式的和，属于多项式，也属于整式；
5. $\frac{1}{6}a^2$是常数$\frac{1}{6}$与$a^2$的乘积，属于单项式，也属于整式；
6. $7x-1$是单项式$7x$和$-1$的和，属于多项式，也属于整式；
7. $9a^2+\frac{1}{a}-2$含项$\frac{1}{a}$，分母含有字母$a$，属于分式，不属于整式、单项式、多项式。
据此分类填写即可。
【答案】
单项式:$\frac{1}{3},\frac{1}{6}a^2$ 多项式:$\frac{x}{3}-y,π(x^2-y^2),7x-1$ 整式:$\frac{1}{3},\frac{x}{3}-y,π(x^2-y^2),\frac{1}{6}a^2,7x-1$
【知识点】
单项式的定义；多项式的定义；整式的定义
【点评】
本题属于基础概念辨析题，解题的核心是准确掌握三类代数式的判定规则，注意区分常数$π$和字母，牢记分母含字母的式子不属于整式，避免因概念混淆出错。
【难度系数】
0.7

7. 已知下列式子：①$\frac{-4x^2 y}{3}$；②$-5.8ab^3$；③$\frac{6}{m}$；④$a^2 - ab - 2b^2$；⑤$x+\frac{z}{y}$；⑥$\frac{4m^2 n -n +1}{2}$；⑦$a$。
请问哪些是多项式？分别指出它们的项和次数。

7. 解:多项式有④⑥;④的项是$a^2,-ab,-2b^2$,次数是2;⑥的项是$2m^2 n,-\frac{1}{2}n,\frac{1}{2}$,次数是3.

【分析】
要解决这道题，首先要明确相关核心概念：1. 分母含字母的式子不属于整式，也不可能是多项式；2. 多项式是几个单项式的和，单独的单项式不属于多项式；3. 多项式的项是组成多项式的每个单项式，需要包含单项式前面的符号；4. 多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数。解题时先筛选出符合多项式定义的式子，再分别分析每个多项式的项和次数即可。
【解析】
1. 筛选多项式：
首先排除分母含字母的式子：③$\frac{6}{m}$分母含字母$m$，⑤$x+\frac{z}{y}$分母含字母$y$，二者都不属于整式，因此不是多项式；
剩余式子中，①$\frac{-4x^2 y}{3}$、②$-5.8ab^3$、⑦$a$都是单独的单项式，不属于多项式；
剩下的④$a^2 - ab - 2b^2$、⑥$\frac{4m^2 n -n +1}{2}$是几个单项式的和，属于多项式。
2. 分析多项式④的项和次数：
多项式④由$a^2$、$-ab$、$-2b^2$三个单项式组成，因此它的项是$a^2,-ab,-2b^2$；
各项的次数分别为2、$1+1=2$、2，最高次数为2，因此多项式④的次数是2。
3. 分析多项式⑥的项和次数：
先将⑥拆分变形：$\frac{4m^2 n -n +1}{2}=2m^2n - \frac{1}{2}n + \frac{1}{2}$，它由$2m^2n$、$-\frac{1}{2}n$、$\frac{1}{2}$三个单项式组成，因此它的项是$2m^2 n,-\frac{1}{2}n,\frac{1}{2}$；
各项的次数分别为$2+1=3$、1、0，最高次数为3，因此多项式⑥的次数是3。
【答案】
多项式有④⑥;④的项是$a^2,-ab,-2b^2$,次数是2;⑥的项是$2m^2 n,-\frac{1}{2}n,\frac{1}{2}$,次数是3.
【知识点】
1. 整式的概念
2. 多项式的定义
3. 多项式的项与次数
【点评】
本题是整式概念的基础考查题，解题的关键是准确区分整式和非整式，牢记多项式的项要带符号、次数取最高次项的次数这两个核心要点，避免因概念混淆出错。
【难度系数】
0.75

8.求多项式$3x^2 - 2xy - 5y^2 + 2$的各项系数（含常数项）之和.

8. 解:$3+(-2)+(-5)+2=-2.$

【分析】
要计算多项式各项系数（含常数项）之和，解题思路分为三步：第一步先拆分多项式的所有项，注意拆分时要连同每项前面的符号一起拆分；第二步分别确定每个单项式的系数，其中常数项的系数就是它本身；第三步将所有系数按有理数加法法则求和即可，计算时要格外注意符号不要出错。
【解析】
首先拆分多项式$3x^2 - 2xy - 5y^2 + 2$的各项并确定系数：
$3x^2$的系数是3，$-2xy$的系数是-2，$-5y^2$的系数是-5，常数项是2。
将所有系数相加：
$3+(-2)+(-5)+2=-2$
【答案】
$-2$
【知识点】
多项式的项、单项式的系数、有理数加法
【点评】
本题是基础概念类题目，核心考查对多项式各项系数的识别能力，解题易错点是容易忽略单项式前面的负号，或者遗漏常数项。
【难度系数】
0.8

9.如果一个多项式是六次多项式，那么它任何一项的次数 （）

A.都小于6
B.都等于6
C.都不小于6
D.都不大于6

9.D

【分析】
解题时首先回忆多项式次数的定义：多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。已知该多项式是六次多项式，说明它的最高次项的次数为6，其余项的次数可以小于6，也可以等于6，因此所有项的次数都不会超过6。接下来逐一判断各选项的正误即可。
【解析】
首先明确多项式次数的定义：多项式的次数是多项式里次数最高的项的次数。
已知该多项式为六次多项式，说明该多项式中最高次项的次数是6，其余项的次数可以小于6，也可以等于6，即所有项的次数都≤6（都不大于6）。
对各选项逐一判断：
A. 都小于6：错误，因为最高次项的次数等于6，存在次数为6的项；
B. 都等于6：错误，多项式中可以存在次数低于6的项，如六次多项式$x^6+2x+1$中，$2x$的次数为1，常数项1的次数为0，均不等于6；
C. 都不小于6：即所有项次数≥6，错误，低次项的次数小于6；
D. 都不大于6：即所有项次数≤6，符合上述分析，正确。
【答案】
D
【知识点】
多项式的次数；多项式的项
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查对多项式次数定义的理解，解题关键是明确多项式的次数由最高次项的次数决定，其余项的次数均不超过最高次项的次数，避免混淆多项式次数和单个项的次数的概念。
【难度系数】
0.8

10.如果多项式$x^{m-3}+5x-3$是关于x的三次三项式，那么m的值为（）

A.0
B.3
C.6
D.9

10.C

【分析】
要解决这道题，首先回忆多项式的相关概念：多项式的次数是指多项式里次数最高项的次数，题目明确该多项式是三次三项式，说明最高次项的次数为3。我们先找到这个多项式的最高次项是$x^{m-3}$，它的次数就是$m-3$，据此列出等式求解$m$，最后验证得到的多项式是否满足三项式的要求即可。
【解析】
∵ 多项式$x^{m-3}+5x-3$是关于$x$的三次三项式
∴ 最高次项的次数为3，即$m-3=3$
解得 $m=3+3=6$
将$m=6$代入原多项式得$x^3+5x-3$，确实是三次三项式，符合题意，因此$m=6$。
【答案】
C
【知识点】
多项式的次数；多项式的项
【点评】
本题核心考查多项式相关概念的应用，解题关键是明确多项式次数的定义，结合题干条件列方程求解即可，属于基础概念应用题，只要掌握相关定义就能轻松得分。
【难度系数】
0.8