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已知多项式$3xy^{|m|}-\frac{1}{3}(m-3)xy+x+2$是关于$x,y$的四次四项式，则$m=$
$-3$
。答案
【变式】$-3$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需明确“关于x,y的四次四项式”的两个核心要求：一是多项式的最高次项的次数为4；二是多项式共包含4个项，即不存在系数为0的项（否则项数会减少）。第一步先根据最高次项的次数列等式求出m的可能取值，第二步再根据四项式的要求排除不符合条件的m值，即可得到最终结果。
【解析】
∵ 多项式$3xy^{|m|}-\frac{1}{3}(m-3)xy+x+2$是关于x,y的四次四项式
∴ 最高次项的次数为4，观察各项可知最高次项为$3xy^{|m|}$，其次数为x的次数加y的次数，即$1+|m|=4$
解得$|m|=3$，即$m=3$或$m=-3$
又
∵ 该多项式为四项式，因此每一项的系数均不能为0，若第二项$-\frac{1}{3}(m-3)xy$的系数为0，则该项消失，多项式变为三项式，不符合要求
∴ $-\frac{1}{3}(m-3)≠0$，即$m-3≠0$，$m≠3$
综上，$m=-3$
【答案】
$-3$
【知识点】
多项式的次数，多项式的项数，绝对值的性质
【点评】
本题是多项式相关概念的基础应用题型，易错点是仅考虑最高次项的次数要求，忽略四项式对各项系数的限制，漏了排除$m=3$的情况，解题时需同时满足次数和项数两个限定条件，全面分析避免错解。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先需明确“关于x,y的四次四项式”的两个核心要求：一是多项式的最高次项的次数为4；二是多项式共包含4个项，即不存在系数为0的项（否则项数会减少）。第一步先根据最高次项的次数列等式求出m的可能取值，第二步再根据四项式的要求排除不符合条件的m值，即可得到最终结果。
【解析】
∵ 多项式$3xy^{|m|}-\frac{1}{3}(m-3)xy+x+2$是关于x,y的四次四项式
∴ 最高次项的次数为4，观察各项可知最高次项为$3xy^{|m|}$，其次数为x的次数加y的次数，即$1+|m|=4$
解得$|m|=3$，即$m=3$或$m=-3$
又
∵ 该多项式为四项式，因此每一项的系数均不能为0，若第二项$-\frac{1}{3}(m-3)xy$的系数为0，则该项消失，多项式变为三项式，不符合要求
∴ $-\frac{1}{3}(m-3)≠0$，即$m-3≠0$，$m≠3$
综上，$m=-3$
【答案】
$-3$
【知识点】
多项式的次数，多项式的项数，绝对值的性质
【点评】
本题是多项式相关概念的基础应用题型，易错点是仅考虑最高次项的次数要求，忽略四项式对各项系数的限制，漏了排除$m=3$的情况，解题时需同时满足次数和项数两个限定条件，全面分析避免错解。
【难度系数】
0.7
11.若某单项式含且只含有字母$x,y$,系数是$-1$,次数是4,则该单项式可能是
$-xy^3$(答案不唯一)
.(写出一个即可)答案
11. $-xy^3$(答案不唯一)
解析
【分析】
解题时先回忆单项式系数和次数的相关概念，第一步先确定单项式的数字因数，题目要求系数为-1，所以数字部分固定为-1；第二步明确字母要求：含且只含x、y，说明x和y都必须出现，即两者的指数都至少是1；第三步满足次数要求：次数是4，也就是x的指数与y的指数相加等于4，只要找到满足和为4的两个正整数分别作为x、y的指数，就能写出符合要求的单项式。
【解析】
解：根据单项式的相关定义：
1. 由系数是-1，可得单项式的数字因数为-1；
2. 由单项式含且只含有字母x、y，可知x、y的指数均≥1；
3. 由次数是4，可知x的指数 + y的指数 = 4。
我们可以取x的指数为1，y的指数为3，组合得到单项式：$-1× x y^3 = -xy^3$。（也可取x指数为2、y指数为2，得到$-x^2y^2$等，均符合要求）
【答案】
$-xy^3$（答案不唯一）
【知识点】
单项式的系数；单项式的次数
【点评】
本题是基础概念应用题，重点考查对单项式系数、次数定义的掌握，解题时要注意题目“含且只含有x、y”的要求，避免出现遗漏字母或者出现其他字母的错误。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆单项式系数和次数的相关概念，第一步先确定单项式的数字因数，题目要求系数为-1，所以数字部分固定为-1；第二步明确字母要求：含且只含x、y，说明x和y都必须出现，即两者的指数都至少是1；第三步满足次数要求：次数是4，也就是x的指数与y的指数相加等于4，只要找到满足和为4的两个正整数分别作为x、y的指数，就能写出符合要求的单项式。
【解析】
解：根据单项式的相关定义：
1. 由系数是-1，可得单项式的数字因数为-1；
2. 由单项式含且只含有字母x、y，可知x、y的指数均≥1；
3. 由次数是4，可知x的指数 + y的指数 = 4。
我们可以取x的指数为1，y的指数为3，组合得到单项式：$-1× x y^3 = -xy^3$。（也可取x指数为2、y指数为2，得到$-x^2y^2$等，均符合要求）
【答案】
$-xy^3$（答案不唯一）
【知识点】
单项式的系数；单项式的次数
【点评】
本题是基础概念应用题，重点考查对单项式系数、次数定义的掌握，解题时要注意题目“含且只含有x、y”的要求，避免出现遗漏字母或者出现其他字母的错误。
【难度系数】
0.8
12.将黑白两种正六边形地面瓷砖按如图所示规律拼成若干图案，则第n个图案中有白色地面瓷砖
$(4n+2)$
块。答案
12. $(4n+2)$
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以先统计前几个图案的白色瓷砖数量，再找规律推导通用公式：首先数出第1、2、3个图案的白色瓷砖数，对比发现每增加1个灰色瓷砖（即图案序号增加1），白色瓷砖就增加4块，再结合第1个图案的白色瓷砖数，就能得到第n个图案的白色瓷砖数量表达式。
【解析】
我们先分别计算前3个图案的白色地面瓷砖数量：
第1个图案：白色瓷砖共6块，可写为$4×1 + 2 = 6$；
第2个图案：白色瓷砖共10块，可写为$4×2 + 2 = 10$；
第3个图案：白色瓷砖共14块，可写为$4×3 + 2 = 14$；
观察上述式子的规律，可得第n个图案中白色地面瓷砖的数量为$4n+2$。
【答案】
$(4n+2)$
【知识点】
图形找规律；列代数式；整式表示
【点评】
本题属于规律探究类基础题，解题核心是通过观察前几个图形的数量变化，找到增量的固定规律，进而归纳出通用表达式，能很好地锻炼观察能力和归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们可以先统计前几个图案的白色瓷砖数量，再找规律推导通用公式：首先数出第1、2、3个图案的白色瓷砖数，对比发现每增加1个灰色瓷砖（即图案序号增加1），白色瓷砖就增加4块，再结合第1个图案的白色瓷砖数，就能得到第n个图案的白色瓷砖数量表达式。
【解析】
我们先分别计算前3个图案的白色地面瓷砖数量：
第1个图案：白色瓷砖共6块，可写为$4×1 + 2 = 6$；
第2个图案：白色瓷砖共10块，可写为$4×2 + 2 = 10$；
第3个图案：白色瓷砖共14块，可写为$4×3 + 2 = 14$；
观察上述式子的规律，可得第n个图案中白色地面瓷砖的数量为$4n+2$。
【答案】
$(4n+2)$
【知识点】
图形找规律；列代数式；整式表示
【点评】
本题属于规律探究类基础题，解题核心是通过观察前几个图形的数量变化，找到增量的固定规律，进而归纳出通用表达式，能很好地锻炼观察能力和归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
13. 已知$x^4y^{m+1}$是关于$x,y$的七次单项式，试求$m^2+2m-3$的值。
答案
13. 解:由题意,得$m+1+4=7$,解得$m=2, \therefore m^2+2m-3=2^2+2× 2-3=4+4-3=5.$
解析
【分析】
要解决这道题，首先需回忆单项式次数的定义：单项式中所有字母的指数之和为单项式的次数。已知该单项式是七次单项式，说明x的指数4与y的指数$m+1$的和等于7，我们先根据这个等量关系列方程求出m的取值，再将m代入待求代数式计算即可得到结果。
【解析】
根据单项式次数的定义，可列方程：
$4 + (m+1) = 7$
解得：$m = 2$
将$m=2$代入$m^2+2m-3$得：
$m^2+2m-3=2^2 + 2×2 - 3 = 4 + 4 - 3 = 5$
【答案】
5
【知识点】
单项式的次数；代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对单项式次数概念的理解，解题关键是根据定义列出关于参数m的方程，再代入计算，做题时注意不要漏记任意字母的指数即可。
【难度系数】
0.85
要解决这道题，首先需回忆单项式次数的定义：单项式中所有字母的指数之和为单项式的次数。已知该单项式是七次单项式，说明x的指数4与y的指数$m+1$的和等于7，我们先根据这个等量关系列方程求出m的取值，再将m代入待求代数式计算即可得到结果。
【解析】
根据单项式次数的定义，可列方程：
$4 + (m+1) = 7$
解得：$m = 2$
将$m=2$代入$m^2+2m-3$得：
$m^2+2m-3=2^2 + 2×2 - 3 = 4 + 4 - 3 = 5$
【答案】
5
【知识点】
单项式的次数；代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对单项式次数概念的理解，解题关键是根据定义列出关于参数m的方程，再代入计算，做题时注意不要漏记任意字母的指数即可。
【难度系数】
0.85
14.已知关于$x$的多项式$3x^5+(m+2)x^4+(n-3)x^2+3x+1$不含$x^4$和$x^2$的项，求$2m+3n$的值.
答案
14. 解:由题意,得$m+2=0,n-3=0$,解得$m=-2,n=3$. 当$m=-2,n=3$时,$2m+3n=2×(-2)+3× 3=5.$
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确多项式“不含某一项”的含义：如果多项式中不存在某一未知数次数的项，说明这一项的系数等于0。我们先找到题目中$x^4$项和$x^2$项的系数，分别令其为0，即可求出$m$和$n$的值，最后把$m$、$n$代入$2m+3n$计算就能得到最终结果。
【解析】
解：$\because$ 多项式$3x^5+(m+2)x^4+(n-3)x^2+3x+1$不含$x^4$和$x^2$的项
$\therefore$ $x^4$项的系数$m+2=0$，$x^2$项的系数$n-3=0$
解得：$m=-2$，$n=3$
将$m=-2$，$n=3$代入$2m+3n$得：
$2m+3n=2×(-2)+3×3=-4+9=5$
【答案】
5
【知识点】
1.多项式的相关概念
2.解一元一次方程
3.代数式求值
【点评】
本题是多项式相关的基础常考题，解题核心是掌握“多项式不含某一项则该项系数为0”的性质，再结合简单的解方程和代入求值的方法即可完成解答。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确多项式“不含某一项”的含义：如果多项式中不存在某一未知数次数的项，说明这一项的系数等于0。我们先找到题目中$x^4$项和$x^2$项的系数，分别令其为0，即可求出$m$和$n$的值，最后把$m$、$n$代入$2m+3n$计算就能得到最终结果。
【解析】
解：$\because$ 多项式$3x^5+(m+2)x^4+(n-3)x^2+3x+1$不含$x^4$和$x^2$的项
$\therefore$ $x^4$项的系数$m+2=0$，$x^2$项的系数$n-3=0$
解得：$m=-2$，$n=3$
将$m=-2$，$n=3$代入$2m+3n$得：
$2m+3n=2×(-2)+3×3=-4+9=5$
【答案】
5
【知识点】
1.多项式的相关概念
2.解一元一次方程
3.代数式求值
【点评】
本题是多项式相关的基础常考题，解题核心是掌握“多项式不含某一项则该项系数为0”的性质，再结合简单的解方程和代入求值的方法即可完成解答。
【难度系数】
0.8
15.有一个多项式$a^{10} - a^{9}b + a^{8}b^{2} - a^{7}b^{3} + ···$，按这样的规律写下去，你知道第7项是什么吗？最后一项呢？这是一个几次几项式？
答案
15. 解:第7项是$a^4b^6$,最后一项是$b^{10}$,这是关于$a,b$的十次十一项式.
解析
【分析】
解决本题首先需要观察多项式各项的规律：先看符号，正负交替出现，奇数项为正、偶数项为负；再看字母次数，a的次数从10开始逐次减1，b的次数从0开始逐次加1，且每一项中a和b的次数和恒为10。接下来根据规律推导第7项的符号和字母次数，再确定a的次数降到0时的最后一项，最后结合多项式次数和项数的定义判断多项式的类型。
【解析】
先归纳多项式的项的规律：
第1项：$+a^{10}b^0$，符号为正，a的次数10，b的次数0；
第2项：$-a^9b^1$，符号为负，a的次数9，b的次数1；
第3项：$+a^8b^2$，符号为正，a的次数8，b的次数2；
……
可得规律：第n项的符号：n为奇数时为正，n为偶数时为负；a的次数为$10-(n-1)$，b的次数为$n-1$。
1. 求第7项：n=7为奇数，符号为正，a的次数=$10-(7-1)=4$，b的次数=$7-1=6$，因此第7项是$a^4b^6$。
2. 求最后一项：当a的次数为0时，为最后一项，此时$10-(n-1)=0$，解得n=11，b的次数=$11-1=10$，n=11为奇数，符号为正，因此最后一项是$b^{10}$。
3. 判断多项式类型：该多项式最高次项的次数为10，总共有11项，因此是关于a、b的十次十一项式。
【答案】
第7项是$a^4b^6$,最后一项是$b^{10}$,这是关于$a,b$的十次十一项式。
【知识点】
多项式的相关概念，规律探究
【点评】
本题需要结合观察归纳的方法梳理多项式的变化规律，再结合多项式次数、项数的定义求解，解题的核心是准确找到每一项的符号、a和b的次数的变化特征。
【难度系数】
0.7
解决本题首先需要观察多项式各项的规律：先看符号，正负交替出现，奇数项为正、偶数项为负；再看字母次数，a的次数从10开始逐次减1，b的次数从0开始逐次加1，且每一项中a和b的次数和恒为10。接下来根据规律推导第7项的符号和字母次数，再确定a的次数降到0时的最后一项，最后结合多项式次数和项数的定义判断多项式的类型。
【解析】
先归纳多项式的项的规律：
第1项：$+a^{10}b^0$，符号为正，a的次数10，b的次数0；
第2项：$-a^9b^1$，符号为负，a的次数9，b的次数1；
第3项：$+a^8b^2$，符号为正，a的次数8，b的次数2；
……
可得规律：第n项的符号：n为奇数时为正，n为偶数时为负；a的次数为$10-(n-1)$，b的次数为$n-1$。
1. 求第7项：n=7为奇数，符号为正，a的次数=$10-(7-1)=4$，b的次数=$7-1=6$，因此第7项是$a^4b^6$。
2. 求最后一项：当a的次数为0时，为最后一项，此时$10-(n-1)=0$，解得n=11，b的次数=$11-1=10$，n=11为奇数，符号为正，因此最后一项是$b^{10}$。
3. 判断多项式类型：该多项式最高次项的次数为10，总共有11项，因此是关于a、b的十次十一项式。
【答案】
第7项是$a^4b^6$,最后一项是$b^{10}$,这是关于$a,b$的十次十一项式。
【知识点】
多项式的相关概念，规律探究
【点评】
本题需要结合观察归纳的方法梳理多项式的变化规律，再结合多项式次数、项数的定义求解，解题的核心是准确找到每一项的符号、a和b的次数的变化特征。
【难度系数】
0.7
16.(核心素养·模型观念)某人买了50元的乘车月票卡,如果此人乘车次数用m表示,则记录他每次乘车后的余额n元如下表：
(1)写出用此人乘车的次数m表示余额n的代数式；
(2)利用上述代数式计算:乘了13次车还剩多少元？
(1)写出用此人乘车的次数m表示余额n的代数式；
(2)利用上述代数式计算:乘了13次车还剩多少元？
答案
16. (1)解:$n=50-0.8m.$ (2)$n=50-0.8× 13=39.6$(元).故乘了13次车还剩39.6元.
解析
【分析】
首先观察表格中的数据，寻找余额n和乘车次数m的变化规律：总月票金额为50元，乘车1次余额减少0.8元，乘车2次余额减少2个0.8元，乘车3次余额减少3个0.8元，可推出乘车m次一共消费0.8m元，余额等于总金额减去消费的总金额，即可得到n与m的代数式；第二问只需将m=13代入第一问得到的代数式中，计算出结果即可。
【解析】
(1) 由表格可知，每次乘车花费0.8元，乘车m次的总花费为0.8m元，总金额为50元，因此余额n为：
$n = 50 - 0.8m$
(2) 当乘车次数$m=13$时，将其代入上述代数式可得：
$n = 50 - 0.8×13 = 50 - 10.4 = 39.6$（元）
【答案】
(1) $n=50-0.8m$；(2) 39.6元
【知识点】
列代数式；代数式求值
【点评】
本题结合生活乘车场景，考查从表格数据中归纳规律、列代数式以及代数式代入求值的能力，解题核心是找准每次乘车的固定消费金额，理清余额、总金额、消费总额三者的数量关系。
【难度系数】
0.9
首先观察表格中的数据，寻找余额n和乘车次数m的变化规律：总月票金额为50元，乘车1次余额减少0.8元，乘车2次余额减少2个0.8元，乘车3次余额减少3个0.8元，可推出乘车m次一共消费0.8m元，余额等于总金额减去消费的总金额，即可得到n与m的代数式；第二问只需将m=13代入第一问得到的代数式中，计算出结果即可。
【解析】
(1) 由表格可知，每次乘车花费0.8元，乘车m次的总花费为0.8m元，总金额为50元，因此余额n为：
$n = 50 - 0.8m$
(2) 当乘车次数$m=13$时，将其代入上述代数式可得：
$n = 50 - 0.8×13 = 50 - 10.4 = 39.6$（元）
【答案】
(1) $n=50-0.8m$；(2) 39.6元
【知识点】
列代数式；代数式求值
【点评】
本题结合生活乘车场景，考查从表格数据中归纳规律、列代数式以及代数式代入求值的能力，解题核心是找准每次乘车的固定消费金额，理清余额、总金额、消费总额三者的数量关系。
【难度系数】
0.9
