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14 (2025·江苏泰州靖江实验学校期中改编)如图，在下列计算程序中，输入的数为
4或－6
。答案
4或－6 [解析]设输入的数为$x$,由题意得$(x+1)^2=25$,所以$x+1=\pm5$,所以$x=4$或$x=-6$.
15 已知正数$x$的两个平方根分别是$a$和$a+b$，若$2a^2x + (a+b)^2x = 27$，则$x=$
3
。答案
3 [解析]$\because$正数$x$的两个平方根分别是$a$和$a+b$,
$\therefore x=a^2=(a+b)^2$.$\because 2a^2x+(a+b)^2x=27$,
$\therefore 2x· x+x· x=27$,即$3x^2=27$,
$\therefore x^2=9$.$\because x$为正数,$\therefore x=3$.
$\therefore x=a^2=(a+b)^2$.$\because 2a^2x+(a+b)^2x=27$,
$\therefore 2x· x+x· x=27$,即$3x^2=27$,
$\therefore x^2=9$.$\because x$为正数,$\therefore x=3$.
16 已知 $x=1-2a$，$y=3a-4$。
(1)如果$x$的算术平方根为3，求$a$的值；
(2)如果一个正数的平方根分别为$x$，$y$，求这个正数。
(1)如果$x$的算术平方根为3，求$a$的值；
(2)如果一个正数的平方根分别为$x$，$y$，求这个正数。
答案
(1)$\because x$的算术平方根为3,
$\therefore x=3^2=9$,即$1-2a=9$,$\therefore a=-4$.
(2)根据题意,得$x+y=0$,即$1-2a+3a-4=0$,$\therefore a=3$,
$\therefore x=1-2a=1-2×3=1-6=-5$,$\therefore$这个正数为$(-5)^2=25$.
$\therefore x=3^2=9$,即$1-2a=9$,$\therefore a=-4$.
(2)根据题意,得$x+y=0$,即$1-2a+3a-4=0$,$\therefore a=3$,
$\therefore x=1-2a=1-2×3=1-6=-5$,$\therefore$这个正数为$(-5)^2=25$.
17 已知两个不相等的数$x$，$y$满足：$x^2=a$，$y^2=a$，求$\sqrt{x+y}$的值。
答案
$\because x^2=a$,$y^2=a$,$\therefore x=\pm\sqrt{a}$,$y=\pm\sqrt{a}$.
$\because x$与$y$不相等,$\therefore$当$x=\sqrt{a}$,$y=-\sqrt{a}$时,$x+y=0$;
当$x=-\sqrt{a}$,$y=\sqrt{a}$时,$x+y=0$,$\therefore \sqrt{x+y}=0$.
$\because x$与$y$不相等,$\therefore$当$x=\sqrt{a}$,$y=-\sqrt{a}$时,$x+y=0$;
当$x=-\sqrt{a}$,$y=\sqrt{a}$时,$x+y=0$,$\therefore \sqrt{x+y}=0$.
18 已知数 $2a - 1$ 的平方根是 $\pm 3$，$\sqrt{2b + 3} = 5$，求 $a + b$ 的平方根。
答案
由$2a-1$的平方根是$\pm3$,得$2a-1=9$,则$a=5$.
由$\sqrt{2b+3}=5$,得$2b+3=25$,则$b=11$,
所以$a+b=16$,所以$a+b$的平方根为$\pm4$.
由$\sqrt{2b+3}=5$,得$2b+3=25$,则$b=11$,
所以$a+b=16$,所以$a+b$的平方根为$\pm4$.
19 跨学科 自由落体运动 一个正数有两个平方根，它们互为相反数.例如:若$x^2=9$，则$x=3$或$x=-3$.
(1)根据上述平方根的意义，试求方程$(x-1)^2=49$的解；
(2)自由下落物体的高度$h$(单位:米)与下落时间$t$(单位:秒)的关系是$h=4.9t^2$，若有一个物体从离地10米高处自由落下，求这个物体到达地面所需的时间.
(1)根据上述平方根的意义，试求方程$(x-1)^2=49$的解；
(2)自由下落物体的高度$h$(单位:米)与下落时间$t$(单位:秒)的关系是$h=4.9t^2$，若有一个物体从离地10米高处自由落下，求这个物体到达地面所需的时间.
答案
(1)$\because (x-1)^2=49$,
$\therefore x-1=\pm7$,$\therefore x=8$或$x=-6$.
(2)根据题意,得$h=10$,$\therefore t^2=\frac{10}{4.9}=\frac{100}{49}$,
$\therefore t=\frac{10}{7}$或$t=-\frac{10}{7}$(负值不符合题意,舍去).
时间应为非负数
故这个物体到达地面所需的时间为$\frac{10}{7}$秒.
$\therefore x-1=\pm7$,$\therefore x=8$或$x=-6$.
(2)根据题意,得$h=10$,$\therefore t^2=\frac{10}{4.9}=\frac{100}{49}$,
$\therefore t=\frac{10}{7}$或$t=-\frac{10}{7}$(负值不符合题意,舍去).
时间应为非负数
故这个物体到达地面所需的时间为$\frac{10}{7}$秒.
20 中考新考法 解题方法型阅读理解题 在学习了有关平方根的知识后，我们知道了负数没有平方根.但如果我们假设存在一个数i，使$i^2=-1$，那么$(-i)^2=i^2=-1$，因此-1就有两个平方根i和－i，进一步猜想：
因为$(\pm2i)^2=(\pm2)^2i^2=-4$，所以－4的平方根是±2i；因为$(\pm3i)^2=(\pm3)^2i^2=-9$，所以－9的平方根是±3i.
请你根据以上信息解答下列问题：
(1)求－16，－25的平方根.
(2)$i^2=-1,i^3=-i,i^4=1,i^5=i,i^6=-1,i^7=-i,i^8=1,···$，你发现了什么规律？请用你发现的规律求$i^{2025}$的值.
因为$(\pm2i)^2=(\pm2)^2i^2=-4$，所以－4的平方根是±2i；因为$(\pm3i)^2=(\pm3)^2i^2=-9$，所以－9的平方根是±3i.
请你根据以上信息解答下列问题：
(1)求－16，－25的平方根.
(2)$i^2=-1,i^3=-i,i^4=1,i^5=i,i^6=-1,i^7=-i,i^8=1,···$，你发现了什么规律？请用你发现的规律求$i^{2025}$的值.
答案
(1)$\because (\pm4i)^2=(\pm4)^2i^2=-16$,
$\therefore -16$的平方根是$\pm4i$.
同理,$-25$的平方根是$\pm5i$.
(2)$\because i^1=i$,$i^2=-1$,$i^3=-i$,$i^4=1$,$i^5=i$,$i^6=-1$,$i^7=-i$,$i^8=1$,$···$,
$\therefore i$的次数从1开始,结果以$i$,$-1$,$-i$,$1$循环.
$\because 2025÷4=506······1$,$\therefore i^{2025}=i$.
$\therefore -16$的平方根是$\pm4i$.
同理,$-25$的平方根是$\pm5i$.
(2)$\because i^1=i$,$i^2=-1$,$i^3=-i$,$i^4=1$,$i^5=i$,$i^6=-1$,$i^7=-i$,$i^8=1$,$···$,
$\therefore i$的次数从1开始,结果以$i$,$-1$,$-i$,$1$循环.
$\because 2025÷4=506······1$,$\therefore i^{2025}=i$.
