1. 新考法分类讨论法 如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，一次函数$y=\frac{1}{3}x -1$的图象与x轴正半轴交于点A，与y轴负半轴交于点B，点C是射线AO上的一个动点(点C不与点O,A重合).把线段CO绕点C顺时针旋转90°，得到的对应线段为$CO_1$，点D是$CO_1$的中点，连结AD，设点C的坐标为$(n,0)$。
(1)求点A,B的坐标；
(2)当以A,C,D为顶点的三角形与$△ AOB$相似时，求满足条件的n的值。

(1) 在 $y=\frac{1}{3}x-1$ 中，当 $x=0$ 时，$y=-1$；当 $y=0$ 时，$\frac{1}{3}x-1=0$，$\therefore x=3$。
$\therefore$ 点 $A$ 的坐标为 $(3,0)$，点 $B$ 的坐标为 $(0,-1)$。
(2) 易得 $OB=1$，$OA=3$。由题意可知 $∠ ACD=∠ AOB=90°$，
若 $0＜n＜3$，易知 $CD=\frac{n}{2}$，$AC=3-n$，① 当 $△ CAD ∽ △ OAB$ 时，$\frac{CD}{OB}=\frac{AC}{OA}$，$\therefore \frac{\frac{n}{2}}{1}=\frac{3-n}{3}$，解得 $n=\frac{6}{5}$；② 当 $△ CAD ∽ △ OBA$ 时，$\frac{CD}{OA}=\frac{AC}{OB}$，$\therefore \frac{\frac{n}{2}}{3}=\frac{3-n}{1}$，解得 $n=\frac{18}{7}$；若 $n＜0$，易知 $CD=-\frac{n}{2}$，$AC=3-n$，
① 当 $△ CAD ∽ △ OAB$ 时，$\frac{CD}{OB}=\frac{AC}{OA}$，
$\therefore \frac{-\frac{n}{2}}{1}=\frac{3-n}{3}$，解得 $n=-6$；
② 当 $△ CAD ∽ △ OBA$ 时，$\frac{CD}{OA}=\frac{AC}{OB}$，
$\therefore \frac{-\frac{n}{2}}{3}=\frac{3-n}{1}$，解得 $n=\frac{18}{5}$（舍去）。
综上可知，$n=\frac{18}{7}$ 或 $\frac{6}{5}$ 或 $-6$。

2. ★★ 新视角 存在性探究题 如图,一次函数 $ y = x + b $ 的图象与 $ x $ 轴交于点 $ C(4,0) $,与 $ y $ 轴交于点 $ B $,并与反比例函数 $ y = \frac{m}{x}(x ＜ 0) $ 的图象交于点 $ A(-1,n) $.
(1)求一次函数与反比例函数的表达式;
(2)若点 $ D $ 在 $ x $ 轴的正半轴上,是否存在以点 $ D,C,B $ 构成的三角形与 $ △ OAB $ 相似? 若存在,求出 $ D $ 点的坐标;若不存在,请说明理由.

(1) $\because$ 一次函数 $y=x+b$ 的图象与 $x$ 轴交于点 $C(4,0)$，$\therefore 0=4+b$。$\therefore b=-4$。
$\therefore$ 一次函数的表达式为 $y=x-4$。
当 $x=-1$ 时，$y=-1-4=-5$，$\therefore A(-1,-5)$。
$\therefore -5=\frac{m}{-1}$。$\therefore m=5$。
$\therefore$ 反比例函数的表达式为 $y=\frac{5}{x}$。
(2) 存在。，过点 $A$ 作 $AM ⊥ y$ 轴，垂足为 $M$，
由题易得 $B(0,-4)$。$\therefore OB=4$。
$\because A(-1,-5)$，$\therefore AM=1$，$OM=5$。
$\therefore BM=1$。$\therefore AB=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
$\because OB=OC=4$，$\therefore BC=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$，$∠ OBC=∠ OCB=45°$。
$\therefore ∠ OBA=∠ 1=135°$，$\therefore$ 易得点 $D$ 在点 $C$ 的右侧，
$\therefore △ OBA ∽ △ BCD$ 或 $△ OBA ∽ △ DCB$。
$\therefore \frac{OB}{BC}=\frac{BA}{CD}$ 或 $\frac{OB}{CD}=\frac{BA}{BC}$。
$\therefore \frac{4}{4\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{CD}$ 或 $\frac{4}{CD}=\frac{\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}$。$\therefore CD=2$ 或 $CD=16$。
$\because C(4,0)$，$\therefore$ 点 $D$ 的坐标是 $(20,0)$ 或 $(6,0)$。

3.[咸阳期中]如图,四边形ABCD为平行四边形,E为边AD上一点,连结AC,BE相交于点F,且∠ACB=∠ABE.
(1)求证:$AE^2=EF· BE$;
(2)若$AF=3,CF=4$,求AB的长.

(1)【证明】$\because$ 四边形 $ABCD$ 为平行四边形，$\therefore AD // BC$。
$\therefore ∠ EAF=∠ ACB$。
$\because ∠ ACB=∠ ABE$，$\therefore ∠ EAF=∠ ABE$。
$\because ∠ AEF=∠ BEA$，$\therefore △ AEF ∽ △ BEA$。
$\therefore \frac{AE}{BE}=\frac{EF}{AE}$，即 $AE^2=EF · BE$。
(2)【解】$\because AF=3$，$CF=4$，$\therefore AC=AF+CF=7$。
$\because ∠ ACB=∠ ABF$，$∠ BAF=∠ CAB$，$\therefore △ BAF ∽ △ CAB$。
$\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{AF}{AB}$。$\therefore AB^2=AC · AF=7 × 3=21$。
$\therefore AB=\sqrt{21}$。