1. 如图,线段AB,BC的垂直平分线$l_1$,$l_2$相交于点O,则线段OA,OC的大小关系是 （）

A.$OA＞OC$
B.$OA＜OC$
C.$OA=OC$
D.无法确定

1.C

【分析】
要判断OA和OC的大小关系，可借助线段垂直平分线的性质推导：首先回忆线段垂直平分线的性质为“线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”，我们可以连接OB作为中间过渡量，先根据l₁是AB的垂直平分线得到OA和OB的等量关系，再根据l₂是BC的垂直平分线得到OB和OC的等量关系，最后通过等量代换就能得到OA和OC的大小关系。
【解析】
解：连接OB。
∵ $l_1$是线段AB的垂直平分线，且点O在$l_1$上，
∴ 根据线段垂直平分线的性质可得：$OA=OB$。
又
∵ $l_2$是线段BC的垂直平分线，且点O在$l_2$上，
∴ 同理可得：$OB=OC$。
通过等量代换可知：$OA=OC$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1.线段垂直平分线的性质 2.等量代换
【点评】
本题属于基础题，主要考查线段垂直平分线性质的应用，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质，通过中间量OB过渡即可快速得出结论。
【难度系数】
0.9

2.如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$DE$垂直平分$AB$交$BC$于点$D$,若$△ ACD$的周长为$50\ \mathrm{cm}$,则$AC+BC=$（）

A.$25\ \mathrm{cm}$
B.$45\ \mathrm{cm}$
C.$50\ \mathrm{cm}$
D.$55\ \mathrm{cm}$

2.C

【分析】
首先根据已知条件“DE垂直平分AB”，联想到线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，由此可推出AD=BD。再观察△ACD的周长构成，其周长为AC+CD+AD，将AD替换为等量的BD后，周长可转化为AC+CD+BD，而CD与BD的和恰好是BC的长，因此△ACD的周长就等于AC+BC，结合已知的周长数值即可求出结果。
【解析】
∵DE垂直平分AB，点D在DE上
∴根据线段垂直平分线的性质，可得AD=BD
∵△ACD的周长为50cm
∴AC + CD + AD = 50cm
将AD替换为BD，得：AC + CD + BD = 50cm
又
∵CD + BD = BC
∴AC + BC = 50cm
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的性质，三角形周长计算
【点评】
本题是基础几何应用题，核心考查线段垂直平分线性质的灵活运用，解题的关键是通过线段等量替换，将三角形周长转化为所求的两条线段之和，整体解题思路清晰，难度不大。
【难度系数】
0.8

3. 如图，$AC=AD$，$BC=BD$，下列说法中正确的是 （）

A.CD 垂直平分 AB
B.AB 垂直平分 CD
C.AB 与 CD 互相垂直平分
D.以上都不正确

3.B

【分析】
解题时先回忆线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。首先根据已知AC=AD，可判断点A的位置；再根据BC=BD判断点B的位置，结合“两点确定一条直线”就能得到AB和CD的位置关系，最后逐一判断选项即可。
【解析】
解：
∵AC=AD，
∴点A在线段CD的垂直平分线上（到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上），
又
∵BC=BD，
∴点B在线段CD的垂直平分线上，
∵两点确定一条直线，
∴直线AB是线段CD的垂直平分线，即AB垂直平分CD。
题干未给出CD上的点到A、B两端点距离相等的条件，无法证明CD垂直平分AB，故A、C选项错误，B选项正确。
【答案】
B
【知识点】
线段垂直平分线的判定、两点确定一条直线
【点评】
本题考查线段垂直平分线的判定应用，解题的核心是熟练掌握垂直平分线的判定定理，结合两点确定一条直线的公理推导两条线段的位置关系，注意要结合已知条件推导结论，不可默认图形对称就认为两者互相垂直平分。
【难度系数】
0.8

4.到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的 （）

A.三条高的交点
B.三条角平分线的交点
C.三条中线的交点
D.三条边的垂直平分线的交点

4.D

【分析】
解题时先明确题干要求：找到三角形中到三个顶点距离都相等的点，可逐一分析各选项对应交点的性质，与题干要求匹配即可得出答案。做题时要先回忆各类三角形特殊点的核心性质，逐个排除不符合的选项，最终锁定正确答案。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A. 三条高的交点是三角形的垂心，不具备到三个顶点距离相等的性质，不符合题意，排除；
B. 三条角平分线的交点是三角形的内心，其性质是到三角形三条边的距离相等，并非到三个顶点距离相等，不符合题意，排除；
C. 三条中线的交点是三角形的重心，其性质是重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍，不满足到三个顶点距离都相等，不符合题意，排除；
D. 根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，因此三角形三条边的垂直平分线的交点，到三角形三个顶点的距离都相等，该点也叫三角形的外心，符合题意。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 线段垂直平分线的性质
2. 三角形特殊点的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是区分三角形不同特殊交点的性质，做题时要注意区分“到三边距离相等”和“到三个顶点距离相等”对应的不同交点，避免概念混淆即可快速得分。
【难度系数】
0.9

5.如图,在△ABC中,AB的垂直平分线分别交AB,BC于点D,E,连接AE,若AE=6,EC=3,则BC的长为.

5.9

【分析】
解答本题首先要回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。已知DE是AB的垂直平分线，点E在DE上，因此可推出BE=AE，再结合BC=BE+EC，代入已知的AE、EC的数值就能求出BC的长度。
【解析】
解：
∵DE是AB的垂直平分线，点E在DE上
∴根据线段垂直平分线的性质，得BE = AE
∵AE = 6
∴BE = 6
又
∵EC = 3，BC = BE + EC
∴BC = 6 + 3 = 9
【答案】
9
【知识点】
线段垂直平分线的性质、线段和差计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查线段垂直平分线性质的直接应用，只要熟练掌握相关性质，结合线段的和差运算即可快速得出结果，解题时注意不要混淆线段间的数量关系。
【难度系数】
0.85

6.如图，在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，AB的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，连接AD，若$∠ B=30°$，则$∠ CAD=$。

6.$30°$

【分析】
解题思路如下：首先观察已知条件，存在AB的垂直平分线DE，优先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得AD=BD，再根据等边对等角得到∠DAB=∠B；其次在Rt△ABC中，利用直角三角形两锐角互余求出∠CAB的度数；最后用∠CAB减去∠DAB即可求出∠CAD的度数。
【解析】
解：在$Rt△ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=30°$
$\therefore ∠ CAB=90°-∠ B=90°-30°=60°$
$\because DE$是$AB$的垂直平分线，点$D$在$DE$上
$\therefore AD=BD$
$\therefore ∠ DAB=∠ B=30°$
$\therefore ∠ CAD=∠ CAB-∠ DAB=60°-30°=30°$
【答案】
$30°$
【知识点】
垂直平分线的性质；等边对等角；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础角度计算题，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质，能通过垂直平分线快速得到等线段，进而转化为等角关系，结合三角形内角相关性质计算角度。
【难度系数】
0.8