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12.(1)若$3^m × 9^m × 27^m = 3^{12}$，则$m$的值为________；
(2)若$a^m=2,a^n=3$，则$a^{2m+n}=\_\_\_\_\_\_$。
(2)若$a^m=2,a^n=3$，则$a^{2m+n}=\_\_\_\_\_\_$。
答案
12.(1)2 (2)12
解析
【分析】
对于(1)题，解题思路是先把等式左边各项的底数统一为3，利用幂的乘方法则将$9^m$、$27^m$转化为以3为底的幂，再根据同底数幂相乘底数不变、指数相加的法则合并左边的式子，最后根据同底数幂相等则指数相等列方程求解$m$。对于(2)题，解题思路是逆用同底数幂的乘法和幂的乘方法则，将$a^{2m+n}$拆分成含有$a^m$和$a^n$的形式，再代入已知数值计算即可。
【解析】
(1) 对等式左边变形化简：
因为$9=3^2$，$27=3^3$，所以：
$\begin{aligned}\mathrm{左边}&=3^m × (3^2)^m × (3^3)^m\\&=3^m × 3^{2m} × 3^{3m} \quad \mathrm{（幂的乘方法则：$(a^b)^c=a^{bc}$）}\\&=3^{m+2m+3m} \quad \mathrm{（同底数幂乘法法则：$a^b × a^c=a^{b+c}$）}\\&=3^{6m}\end{aligned}$
已知左边$=3^{12}$，同底数幂相等则指数相等，可得：
$6m=12$，解得$m=2$。
(2) 逆用幂的运算性质拆分所求式：
$\begin{aligned}a^{2m+n}&=a^{2m} × a^n\\&=(a^m)^2 × a^n \quad \mathrm{（逆用幂的乘方法则）}\end{aligned}$
将$a^m=2$，$a^n=3$代入得：
原式$=2^2 × 3=4 × 3=12$。
【答案】
(1)2；(2)12
【知识点】
同底数幂的乘法、幂的乘方、幂的运算逆用
【点评】
这两道题是幂的运算的基础应用题型，解题核心是熟练掌握幂的运算规则，能灵活对运算规则进行正用和逆用，合理变形已知或所求式子即可快速求解。
【难度系数】
0.8
对于(1)题，解题思路是先把等式左边各项的底数统一为3，利用幂的乘方法则将$9^m$、$27^m$转化为以3为底的幂，再根据同底数幂相乘底数不变、指数相加的法则合并左边的式子，最后根据同底数幂相等则指数相等列方程求解$m$。对于(2)题，解题思路是逆用同底数幂的乘法和幂的乘方法则，将$a^{2m+n}$拆分成含有$a^m$和$a^n$的形式，再代入已知数值计算即可。
【解析】
(1) 对等式左边变形化简：
因为$9=3^2$，$27=3^3$，所以：
$\begin{aligned}\mathrm{左边}&=3^m × (3^2)^m × (3^3)^m\\&=3^m × 3^{2m} × 3^{3m} \quad \mathrm{（幂的乘方法则：$(a^b)^c=a^{bc}$）}\\&=3^{m+2m+3m} \quad \mathrm{（同底数幂乘法法则：$a^b × a^c=a^{b+c}$）}\\&=3^{6m}\end{aligned}$
已知左边$=3^{12}$，同底数幂相等则指数相等，可得：
$6m=12$，解得$m=2$。
(2) 逆用幂的运算性质拆分所求式：
$\begin{aligned}a^{2m+n}&=a^{2m} × a^n\\&=(a^m)^2 × a^n \quad \mathrm{（逆用幂的乘方法则）}\end{aligned}$
将$a^m=2$，$a^n=3$代入得：
原式$=2^2 × 3=4 × 3=12$。
【答案】
(1)2；(2)12
【知识点】
同底数幂的乘法、幂的乘方、幂的运算逆用
【点评】
这两道题是幂的运算的基础应用题型，解题核心是熟练掌握幂的运算规则，能灵活对运算规则进行正用和逆用，合理变形已知或所求式子即可快速求解。
【难度系数】
0.8
13.计算：
(1)$(-a^2)^3 · a^3 + (-a)^2 · a^7 - 2(a^3)^3$；
(2)$x^5 · x^7 + x^6 · (-x^3)^2 + 2(x^3)^4$。
(1)$(-a^2)^3 · a^3 + (-a)^2 · a^7 - 2(a^3)^3$；
(2)$x^5 · x^7 + x^6 · (-x^3)^2 + 2(x^3)^4$。
答案
13.(1)$-2a^9$ (2)$4x^{12}$
解析
【分析】
这两道题属于整式的幂运算混合计算题，解题遵循“先乘方、再乘法、最后合并同类项”的顺序：①先处理幂的乘方运算，牢记幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，同时注意负数乘方的符号规律：负数的奇次幂为负，偶次幂为正；②再计算同底数幂的乘法，法则为底数不变，指数相加；③最后将所有化简后的同类项合并，得到最终结果。
【解析】
(1) 计算$(-a^2)^3 · a^3 + (-a)^2 · a^7 - 2(a^3)^3$
第一步：计算幂的乘方项：
$(-a^2)^3 = (-1)^3 · (a^2)^3 = -a^{2×3} = -a^6$，
$(-a)^2 = (-1)^2 · a^2 = a^2$，
$(a^3)^3 = a^{3×3} = a^9$；
第二步：计算同底数幂的乘法：
$(-a^6)·a^3 = -a^{6+3} = -a^9$，
$a^2·a^7 = a^{2+7} = a^9$，
$2(a^9) = 2a^9$；
第三步：合并同类项：
原式$= -a^9 + a^9 - 2a^9 = -2a^9$。
(2) 计算$x^5 · x^7 + x^6 · (-x^3)^2 + 2(x^3)^4$
第一步：计算幂的乘方项：
$(-x^3)^2 = (-1)^2 · (x^3)^2 = x^{3×2}=x^6$，
$(x^3)^4 = x^{3×4}=x^{12}$；
第二步：计算同底数幂的乘法：
$x^5·x^7 = x^{5+7}=x^{12}$，
$x^6·x^6 = x^{6+6}=x^{12}$，
$2(x^{12})=2x^{12}$；
第三步：合并同类项：
原式$=x^{12} + x^{12} + 2x^{12} = 4x^{12}$。
【答案】
(1)$-2a^9$ (2)$4x^{12}$
【知识点】
幂的乘方运算，同底数幂的乘法，合并同类项
【点评】
本题是幂运算的基础题型，核心是准确掌握幂的各类运算法则，运算时要特别注意负数乘方的符号判断，避免出现指数计算错误、符号混淆等问题。
【难度系数】
0.8
这两道题属于整式的幂运算混合计算题，解题遵循“先乘方、再乘法、最后合并同类项”的顺序：①先处理幂的乘方运算，牢记幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，同时注意负数乘方的符号规律：负数的奇次幂为负，偶次幂为正；②再计算同底数幂的乘法，法则为底数不变，指数相加；③最后将所有化简后的同类项合并，得到最终结果。
【解析】
(1) 计算$(-a^2)^3 · a^3 + (-a)^2 · a^7 - 2(a^3)^3$
第一步：计算幂的乘方项：
$(-a^2)^3 = (-1)^3 · (a^2)^3 = -a^{2×3} = -a^6$，
$(-a)^2 = (-1)^2 · a^2 = a^2$，
$(a^3)^3 = a^{3×3} = a^9$；
第二步：计算同底数幂的乘法：
$(-a^6)·a^3 = -a^{6+3} = -a^9$，
$a^2·a^7 = a^{2+7} = a^9$，
$2(a^9) = 2a^9$；
第三步：合并同类项：
原式$= -a^9 + a^9 - 2a^9 = -2a^9$。
(2) 计算$x^5 · x^7 + x^6 · (-x^3)^2 + 2(x^3)^4$
第一步：计算幂的乘方项：
$(-x^3)^2 = (-1)^2 · (x^3)^2 = x^{3×2}=x^6$，
$(x^3)^4 = x^{3×4}=x^{12}$；
第二步：计算同底数幂的乘法：
$x^5·x^7 = x^{5+7}=x^{12}$，
$x^6·x^6 = x^{6+6}=x^{12}$，
$2(x^{12})=2x^{12}$；
第三步：合并同类项：
原式$=x^{12} + x^{12} + 2x^{12} = 4x^{12}$。
【答案】
(1)$-2a^9$ (2)$4x^{12}$
【知识点】
幂的乘方运算，同底数幂的乘法，合并同类项
【点评】
本题是幂运算的基础题型，核心是准确掌握幂的各类运算法则，运算时要特别注意负数乘方的符号判断，避免出现指数计算错误、符号混淆等问题。
【难度系数】
0.8
14.已知$a^m=2,a^n=5$,求$a^{3m+2n}$的值.
答案
14.200
解析
【分析】
本题要求根据已知的$a^m$和$a^n$的值求$a^{3m+2n}$，解题思路如下：首先观察所求式子的指数是加法形式，可联想到同底数幂乘法的逆运算，将$a^{3m+2n}$拆分为$a^{3m} · a^{2n}$；再观察拆分后两个幂的指数是乘积形式，联想到幂的乘方的逆运算，把$a^{3m}$转化为$(a^m)^3$，$a^{2n}$转化为$(a^n)^2$；最后将已知的$a^m=2$、$a^n=5$代入化简后的式子计算即可得到结果。
【解析】
解：根据同底数幂的乘法及幂的乘方的逆运算可得：
$a^{3m+2n}=a^{3m} · a^{2n}=(a^m)^3 · (a^n)^2$
将$a^m=2$，$a^n=5$代入上式：
原式$=2^3 × 5^2 = 8 × 25 = 200$
【答案】
200
【知识点】
同底数幂的乘法、幂的乘方、幂的运算逆用
【点评】
本题是幂的运算的基础应用题型，核心是灵活运用幂的运算性质的逆变形，将所求代数式转化为包含已知条件的形式，再代入数值计算即可，是幂的运算章节的高频基础考点。
【难度系数】
0.8
本题要求根据已知的$a^m$和$a^n$的值求$a^{3m+2n}$，解题思路如下：首先观察所求式子的指数是加法形式，可联想到同底数幂乘法的逆运算，将$a^{3m+2n}$拆分为$a^{3m} · a^{2n}$；再观察拆分后两个幂的指数是乘积形式，联想到幂的乘方的逆运算，把$a^{3m}$转化为$(a^m)^3$，$a^{2n}$转化为$(a^n)^2$；最后将已知的$a^m=2$、$a^n=5$代入化简后的式子计算即可得到结果。
【解析】
解：根据同底数幂的乘法及幂的乘方的逆运算可得：
$a^{3m+2n}=a^{3m} · a^{2n}=(a^m)^3 · (a^n)^2$
将$a^m=2$，$a^n=5$代入上式：
原式$=2^3 × 5^2 = 8 × 25 = 200$
【答案】
200
【知识点】
同底数幂的乘法、幂的乘方、幂的运算逆用
【点评】
本题是幂的运算的基础应用题型，核心是灵活运用幂的运算性质的逆变形，将所求代数式转化为包含已知条件的形式，再代入数值计算即可，是幂的运算章节的高频基础考点。
【难度系数】
0.8
15.(1)设$n$为正整数，且$x^{2n}=3$，求$(x^{3n})^2 -4(x^2)^{2n}$的值；
(2)若$2^a · 4^{2a} · 8^{3a} · 16^a=2^{36}$，求$a$的值。
(2)若$2^a · 4^{2a} · 8^{3a} · 16^a=2^{36}$，求$a$的值。
答案
15.(1)$-9$ (2)$a=2$
解析
【分析】
(1) 本题已知$x^{2n}=3$，需要将所求代数式利用幂的乘方法则转化为含$x^{2n}$的形式，再代入数值计算即可。幂的乘方法则为底数不变，指数相乘，因此可将$(x^{3n})^2$和$(x^2)^{2n}$分别变形为$(x^{2n})^3$和$(x^{2n})^2$。
(2) 本题等式左侧的底数均为2的整数次幂，首先将所有项统一为以2为底的幂，再利用同底数幂相乘、底数不变指数相加的法则合并，最后根据同底数幂相等时指数相等列方程求解$a$的值。
【解析】
(1) 根据幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$，对原式变形：
$(x^{3n})^2 -4(x^2)^{2n}=x^{6n}-4x^{4n}=(x^{2n})^3 -4(x^{2n})^2$
将$x^{2n}=3$代入上式：
原式$=3^3 -4×3^2=27 - 4×9=27-36=-9$
(2) 先将等式左侧的底数统一为2：
$2^a · 4^{2a} · 8^{3a} · 16^a=2^a · (2^2)^{2a} · (2^3)^{3a} · (2^4)^a$
利用幂的乘方法则计算指数：
$=2^a · 2^{4a} · 2^{9a} · 2^{4a}$
根据同底数幂乘法法则$a^m·a^n=a^{m+n}$合并：
$=2^{a+4a+9a+4a}=2^{18a}$
已知等式右侧为$2^{36}$，同底数幂相等则指数相等，可得：
$18a=36$
解得$a=2$
【答案】
(1)$-9$；(2)$a=2$
【知识点】
幂的乘方运算、同底数幂的乘法、同底数幂的性质
【点评】
本题是幂的运算的基础应用题型，解题核心是熟练掌握幂的相关运算法则，通过变形将未知式转化为与已知条件匹配的形式，计算时注意指数的运算规则，避免出现指数计算错误。
【难度系数】
0.8
(1) 本题已知$x^{2n}=3$，需要将所求代数式利用幂的乘方法则转化为含$x^{2n}$的形式，再代入数值计算即可。幂的乘方法则为底数不变，指数相乘，因此可将$(x^{3n})^2$和$(x^2)^{2n}$分别变形为$(x^{2n})^3$和$(x^{2n})^2$。
(2) 本题等式左侧的底数均为2的整数次幂，首先将所有项统一为以2为底的幂，再利用同底数幂相乘、底数不变指数相加的法则合并，最后根据同底数幂相等时指数相等列方程求解$a$的值。
【解析】
(1) 根据幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$，对原式变形：
$(x^{3n})^2 -4(x^2)^{2n}=x^{6n}-4x^{4n}=(x^{2n})^3 -4(x^{2n})^2$
将$x^{2n}=3$代入上式：
原式$=3^3 -4×3^2=27 - 4×9=27-36=-9$
(2) 先将等式左侧的底数统一为2：
$2^a · 4^{2a} · 8^{3a} · 16^a=2^a · (2^2)^{2a} · (2^3)^{3a} · (2^4)^a$
利用幂的乘方法则计算指数：
$=2^a · 2^{4a} · 2^{9a} · 2^{4a}$
根据同底数幂乘法法则$a^m·a^n=a^{m+n}$合并：
$=2^{a+4a+9a+4a}=2^{18a}$
已知等式右侧为$2^{36}$，同底数幂相等则指数相等，可得：
$18a=36$
解得$a=2$
【答案】
(1)$-9$；(2)$a=2$
【知识点】
幂的乘方运算、同底数幂的乘法、同底数幂的性质
【点评】
本题是幂的运算的基础应用题型，解题核心是熟练掌握幂的相关运算法则，通过变形将未知式转化为与已知条件匹配的形式，计算时注意指数的运算规则，避免出现指数计算错误。
【难度系数】
0.8
16.阅读材料：
解决下列问题.
(1)比较$3^{44},4^{33},5^{22}$的大小；
(2)比较$2^{75},4^{50},8^{26}$的大小.
解决下列问题.
(1)比较$3^{44},4^{33},5^{22}$的大小；
(2)比较$2^{75},4^{50},8^{26}$的大小.
答案
16.(1)$3^{44}＞4^{33}＞5^{22}$ (2)$2^{75}＜8^{26}＜4^{50}$
解析
【分析】
要比较幂的大小，可参考材料给出的两种思路：指数相同比底数，底数相同比指数。(1)中三个幂的指数44、33、22均为11的倍数，因此可利用幂的乘方逆运算，将三个幂转化为指数均为11的形式，再通过比较底数大小判断幂的大小；(2)中三个幂的底数2、4、8都可表示为2的幂的形式，因此可利用幂的乘方逆运算，将三个幂转化为底数均为2的形式，再通过比较指数大小判断幂的大小。
【解析】
(1) 利用幂的乘方逆运算变形：
$3^{44}=(3^4)^{11}=81^{11}$，
$4^{33}=(4^3)^{11}=64^{11}$，
$5^{22}=(5^2)^{11}=25^{11}$，
∵ $81＞64＞25$，指数相同的情况下底数越大幂越大，
∴ $81^{11}＞64^{11}＞25^{11}$，即$3^{44}＞4^{33}＞5^{22}$。
(2) 利用幂的乘方逆运算变形：
$4^{50}=(2^2)^{50}=2^{100}$，
$8^{26}=(2^3)^{26}=2^{78}$，
三个幂底数均为2，
∵ $75＜78＜100$，底数相同的情况下指数越大幂越大，
∴ $2^{75}＜2^{78}＜2^{100}$，即$2^{75}＜8^{26}＜4^{50}$。
【答案】
(1)$3^{44}＞4^{33}＞5^{22}$ (2)$2^{75}＜8^{26}＜4^{50}$
【知识点】
幂的乘方逆运算；幂的大小比较
【点评】
本题核心是灵活运用幂的乘方法则的逆运算，根据待比较幂的底数、指数特征，选择统一指数或统一底数的转化思路，将复杂的幂的大小比较转化为简单的有理数大小比较，体现了转化的数学思想。
【难度系数】
0.7
要比较幂的大小，可参考材料给出的两种思路：指数相同比底数，底数相同比指数。(1)中三个幂的指数44、33、22均为11的倍数，因此可利用幂的乘方逆运算，将三个幂转化为指数均为11的形式，再通过比较底数大小判断幂的大小；(2)中三个幂的底数2、4、8都可表示为2的幂的形式，因此可利用幂的乘方逆运算，将三个幂转化为底数均为2的形式，再通过比较指数大小判断幂的大小。
【解析】
(1) 利用幂的乘方逆运算变形：
$3^{44}=(3^4)^{11}=81^{11}$，
$4^{33}=(4^3)^{11}=64^{11}$，
$5^{22}=(5^2)^{11}=25^{11}$，
∵ $81＞64＞25$，指数相同的情况下底数越大幂越大，
∴ $81^{11}＞64^{11}＞25^{11}$，即$3^{44}＞4^{33}＞5^{22}$。
(2) 利用幂的乘方逆运算变形：
$4^{50}=(2^2)^{50}=2^{100}$，
$8^{26}=(2^3)^{26}=2^{78}$，
三个幂底数均为2，
∵ $75＜78＜100$，底数相同的情况下指数越大幂越大，
∴ $2^{75}＜2^{78}＜2^{100}$，即$2^{75}＜8^{26}＜4^{50}$。
【答案】
(1)$3^{44}＞4^{33}＞5^{22}$ (2)$2^{75}＜8^{26}＜4^{50}$
【知识点】
幂的乘方逆运算；幂的大小比较
【点评】
本题核心是灵活运用幂的乘方法则的逆运算，根据待比较幂的底数、指数特征，选择统一指数或统一底数的转化思路，将复杂的幂的大小比较转化为简单的有理数大小比较，体现了转化的数学思想。
【难度系数】
0.7
