原题1:如图,在△ABC和△DEF中,B,E,C,F在同一条直线上。下面四个条件:a. $AB=DE$;b. $AB// DE$;c. $BE=CF$;d. $∠ A=∠ D$。
(1)请选择其中的三个作为条件,另一个作为结论,组成一个真命题(写出两种情况即可,填序号)。
①已知: ;求证: ;
②已知: ;求证: 。
(2)在(1)的条件下,选择一种情况进行证明。

(答案不唯一)(1)①abc d ②abd c
(2)已知:abc,求证:d。因为AB//DE,所以∠B=∠DEF。因为BE=CF,所以BE+CE=CF+CE,即BC=EF。又因为AB=DE,所以△ABC≌△DEF(SAS),所以∠A=∠D。

【分析】
本题考查全等三角形的判定与性质的应用，解题思路如下：1. 先梳理题给条件可转化的结论：条件b（$AB// DE$）可推出同位角$∠ B=∠ DEF$；条件c（$BE=CF$）可通过加上公共线段$EC$，得到$BC=EF$。2. 第一问选三个作为条件、一个作为结论时，只需判断所选三个条件能否证明$△ ABC≌△ DEF$，若能证明全等，利用全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，即可推出剩余的第四个条件为真命题。3. 第二问证明时，先把间接条件转化为证明全等所需的直接条件，再套用全等判定定理证明三角形全等，最后根据全等性质推导结论即可。
【解析】
(1) 可选以下两种真命题（答案不唯一）：
① 已知a、b、c三个条件，可证明$△ ABC≌△ DEF$，进而推出结论d；
② 已知a、b、d三个条件，可证明$△ ABC≌△ DEF$，进而推出结论c。
(2) 选择①“已知abc，求证d”进行证明：
$\because AB// DE$，
$\therefore ∠ B=∠ DEF$（两直线平行，同位角相等）。
$\because BE=CF$，
$\therefore BE+EC=CF+EC$，即$BC=EF$。
在$△ ABC$和$△ DEF$中：
$\{\begin{array}{l}AB=DE \\∠ B=∠ DEF \\BC=EF\end{array} $
$\therefore △ ABC≌△ DEF(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ A=∠ D$（全等三角形对应角相等），即结论d成立。
【答案】
(1) ①$\boldsymbol{abc}$，$\boldsymbol{d}$；②$\boldsymbol{abd}$，$\boldsymbol{c}$（答案不唯一）
(2) 证明：$\because AB// DE$，$\therefore ∠ B=∠ DEF$。$\because BE=CF$，$\therefore BE+CE=CF+CE$，即$BC=EF$。又$\because AB=DE$，$\therefore △ ABC≌△ DEF(\mathrm{SAS})$，$\therefore ∠ A=∠ D$。（若选择第二种情况证明合理即可）
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 平行线的性质
【点评】
本题属于全等三角形的开放型题型，重点考查对全等判定定理的灵活运用能力，解题的关键是能将平行、线段和差这类间接条件转化为证明全等的直接条件，同时需要注意筛选组合的命题必须为真命题。
【难度系数】
0.7

原题 2:如图,在$△ ABC$和$△ ADE$中,$AB=AC,AD=AE,∠ BAC=∠ DAE$,点 C 在 DE 上。
(1)求证:$△ ABD≌△ ACE$。
(2)若$∠ BAC=140°$,则$∠ ADE$的度数是。

(1)证明:因为∠BAC=∠DAE,所以∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE。在△ABD 和 △ACE 中, 因 为 $\begin{cases} AB=AC, \\ ∠BAD=∠EAC, \\ AD=AE, \end{cases}$所以△ABD≌△ACE(SAS)。
(2)20°

【分析】
(1) 要证明△ABD≌△ACE，已知两组对应边AB=AC、AD=AE，只需证明两组边的夹角相等即可。已知∠BAC=∠DAE，两个角同时减去公共角∠DAC，即可得到∠BAD=∠CAE，满足SAS全等判定的条件，即可完成证明。
(2) 求∠ADE的度数时，首先由∠BAC=∠DAE可得∠DAE=140°，又因为AD=AE，可知△ADE是等腰三角形，结合等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°的性质，即可计算出底角∠ADE的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC - ∠DAC = ∠DAE - ∠DAC，即∠BAD=∠CAE。
在△ABD和△ACE中：
$\begin{cases}AB=AC \\∠BAD=∠EAC \\AD=AE\end{cases}$
∴△ABD≌△ACE(SAS)。
(2) 解：
∵∠BAC=∠DAE，∠BAC=140°，
∴∠DAE=140°，
又
∵AD=AE，△ADE为等腰三角形，
∴∠ADE=$\frac{180°-∠DAE}{2}=\frac{180°-140°}{2}=20°$。
【答案】
(1) 证明见上述过程；(2) 20°
【知识点】
全等三角形SAS判定、等腰三角形性质、角的和差计算
【点评】
本题是全等三角形与等腰三角形的基础综合题，解题核心是通过角的和差关系得到全等所需的等角，再结合等腰三角形性质计算角度，侧重对基础知识点应用能力的考察。
【难度系数】
0.7

原题3:如图,在四边形ABCD中,AD//BC,E为CD的中点,连结AE,BE,延长AE交BC的延长线于点F。
(1)求证:△DAE≌△CFE。
(2)若BE⊥AF,求证:AB=BC+AD。

(1)因为 AD//BC,所以∠D=∠ECF,∠DAE=∠F。因为 E 为 CD 的中点,所以 ED=EC,所以△DAE≌△CFE(AAS)。
(2)因为△DAE≌△CFE,所以 AE=EF,AD=CF。因为 BE⊥AF,易证△ABE≌△FBE,所以 AB=BF。因为 BF=BC+CF,CF=AD,所以 AB=BC+AD。

【分析】
（1）要证明△DAE≌△CFE，先从已知条件入手：由AD//BC可得到两组内错角相等，再结合E是CD中点得到一组对应边相等，符合AAS的全等判定条件，即可完成证明。
（2）要证明AB=BC+AD，可通过线段转化的思路求解：首先利用（1）的全等结论，将AD转化为CF，此时只需证明AB=BF即可；结合BE⊥AF的条件，可证明△ABE与△FBE全等，得到AB=BF，再结合BF=BC+CF，等量代换即可得证。
【解析】
(1) 证明：
∵ AD//BC，根据平行线的性质，两直线平行，内错角相等，可得∠D=∠ECF，∠DAE=∠F。
又
∵ E为CD的中点，
∴ ED=EC。
在△DAE和△CFE中，三个对应相等的条件为∠DAE=∠F，∠D=∠ECF，ED=EC，满足AAS全等判定，因此△DAE≌△CFE（AAS）。
(2) 证明：
由（1）中△DAE≌△CFE，根据全等三角形的性质，可得对应边相等：AE=EF，AD=CF。
∵ BE⊥AF，
∴ ∠AEB=∠FEB=90°。
在△ABE和△FBE中，AE=EF，∠AEB=∠FEB，BE为公共边，满足SAS全等判定，因此△ABE≌△FBE，可得AB=BF。
又
∵ BF=BC+CF，且已证CF=AD，将CF替换为AD，即可得到AB=BC+AD。
【答案】
(1)因为 AD//BC,所以∠D=∠ECF,∠DAE=∠F。因为 E 为 CD 的中点,所以 ED=EC,所以△DAE≌△CFE(AAS)。
(2)因为△DAE≌△CFE,所以 AE=EF,AD=CF。因为 BE⊥AF,易证△ABE≌△FBE,所以 AB=BF。因为 BF=BC+CF,CF=AD,所以 AB=BC+AD。
【知识点】
平行线的性质、全等三角形的判定、全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形应用的基础综合题，核心考查线段和差问题的转化思路，通过全等三角形将分散的线段转化到同一条直线上，即可快速证明线段间的数量关系，这类解题思路在几何证明题中非常常用。
【难度系数】
0.8

变式1:如图AD是△ABC的中线，AB=7，AC=5，AD=x，则x的取值范围是。

1＜x＜6

【分析】
遇到三角形中线求线段取值范围的问题，常用倍长中线法构造全等三角形，将已知的两条边和两倍的中线转化到同一个三角形中，再利用三角形三边关系求解。首先延长AD到点E，使DE=AD，连接BE，通过证明三角形全等将AC转化为等长的BE，再在△ABE中利用三边关系列不等式，最后求解得到x的取值范围。
【解析】
解：延长AD到点E，使DE=AD，连接BE。
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD。
在$△ ADC$和$△ EDB$中：
$\begin{cases}AD=ED \\∠ ADC=∠ EDB \\CD=BD\end{cases}$
∴$△ ADC≌△ EDB$（SAS）
∴$BE=AC=5$。
又
∵$AE=AD+DE=2x$，在$△ ABE$中，根据三角形三边关系：两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，可得：
$AB-BE＜AE＜AB+BE$
代入数值：$7-5＜2x＜7+5$
即$2＜2x＜12$，不等式两边同时除以2，得$1＜x＜6$。
【答案】
1＜x＜6
【知识点】
倍长中线法，全等三角形的判定与性质，三角形三边关系
【点评】
本题是三角形中线相关的典型题型，核心是通过倍长中线构造全等三角形实现线段的转移，将分散的边的条件集中到同一个三角形中，再利用三边关系求解，掌握倍长中线这一辅助线作法是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7

原题4:已知，$△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AB=AC$，直线$m$过点$A$，且$BD⊥ m$于点$D$，$CE⊥ m$于点$E$，当直线$m$绕点$A$旋转至位置时，我们可以发现$DE=BD+CE$。
(1)当直线$m$绕点$A$旋转至位置时，问:$BD$与$DE$，$CE$的关系如何?请予证明。
(2)直线$m$在绕点$A$旋转一周的过程中，$BD$，$DE$，$CE$存在哪几种不同的数量关系?(直接写出，不必证明)
【解析】“一线三等角”即三个等角的顶点在同一直线上，即本题中图1和图2的$∠ BDA=∠ BAC=∠ AEC$；由此可证明$△ ABD≌△ CAE$。在证明过程中需要用到“$∠ BAD+∠ CAE=∠ CAE+∠ ACE$”这样的等角代换。

(1)证明:因为 BD⊥m,CE⊥m,所以∠BDA=∠CEA=90°,所以∠ABD+∠DAB=90°。因为∠BAC=90°,所以∠DAB+∠CAE=90°,所以∠ABD=∠CAE。在△ABD 和△CAE中,因为$\begin{cases} ∠BDA=∠CEA, \\ ∠ABD=∠CAE, \\ AB=CA, \end{cases}$所以△ABD≌△CAE(AAS),所以 AD=CE,BD=AE。因为 DE=AE-AD,所以 DE=BD-CE。
(2)直线m在绕点A旋转一周的过程中,BD,DE,CE存在3种不同的数量关系:DE=BD+CE,DE=BD-CE,DE=CE-BD。

【分析】
本题是“一线三等角”全等模型的典型应用，解题思路如下：1. 先明确已知条件：△ABC是等腰直角三角形，BD、CE均垂直于直线m，可先得到两组直角相等；2. 利用同角的余角相等推导∠ABD=∠CAE，结合AB=AC即可证明△ABD≌△CAE，得到BD=AE、AD=CE的边的等量关系；3. 结合对应图形中线段的和差位置关系，将DE用AE、AD表示后代入等量关系，即可得到BD、DE、CE的数量关系；第二问需分类讨论直线m旋转时的不同位置，分别推导对应的线段和差关系即可。
【解析】
(1) 图2中$DE=BD-CE$，证明如下：
∵$BD⊥m$，$CE⊥m$，
∴$∠ BDA=∠ CEA=90°$，
∴在$Rt△ ABD$中，$∠ ABD+∠ DAB=90°$。
又
∵$∠ BAC=90°$，
∴$∠ DAB+∠ CAE=180°-∠ BAC=90°$，
∴$∠ ABD=∠ CAE$（同角的余角相等）。
在$△ ABD$和$△ CAE$中：
$\begin{cases}∠ BDA=∠ CEA \\∠ ABD=∠ CAE \\AB=CA\end{cases}$
∴$△ ABD≌△ CAE(\mathrm{AAS})$，
∴$AD=CE$，$BD=AE$。
观察图2的线段位置可得$DE=AE-AD$，将$AE=BD$、$AD=CE$代入得：$DE=BD-CE$。
(2) 直线m绕点A旋转一周时，根据直线m的位置不同，共3种数量关系：
①当直线m在BC上方且与BC无交点时，$DE=BD+CE$；
②当直线m与BC相交且D更靠近点A时，$DE=BD-CE$；
③当直线m与BC相交且E更靠近点A时，$DE=CE-BD$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{DE=BD-CE}$，证明见解析；
(2) 共3种数量关系：$\boldsymbol{DE=BD+CE}$，$\boldsymbol{DE=BD-CE}$，$\boldsymbol{DE=CE-BD}$。
【知识点】
全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题核心是利用“一线三等角”模型证明三角形全等，通过等角代换找到全等条件后，将目标线段等量代换，再结合线段和差关系推导结论；旋转类问题要注意分类讨论直线的不同位置，避免漏解。
【难度系数】
0.6