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9.如图,在$△ ABC$中,AB,AC的垂直平分线分别交BC于点D,E。
(1)若$BC=5$,求$△ ADE$的周长。
(2)若$∠ BAD + ∠ CAE = 60°$,求$∠ BAC$的度数。
(1)若$BC=5$,求$△ ADE$的周长。
(2)若$∠ BAD + ∠ CAE = 60°$,求$∠ BAC$的度数。
答案
9.(1)因为 AB,AC 的垂直平分线分别交 BC 于点 D,E,所以 DA=DB,EA=EC,所以△ADE 的周长=AD+DE+AE=DB+DE+EC=BC=5。
(2)因为 DA=DB,EA=EC,所以∠DAB=∠B,∠EAC=∠C,所以∠B+∠C=∠DAB+∠EAC=60°,所以∠BAC=120°。
(2)因为 DA=DB,EA=EC,所以∠DAB=∠B,∠EAC=∠C,所以∠B+∠C=∠DAB+∠EAC=60°,所以∠BAC=120°。
解析
【分析】
(1) 求△ADE的周长时，首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。点D在AB的垂直平分线上，点E在AC的垂直平分线上，因此可得DA=DB，EA=EC。△ADE的周长为AD+DE+AE，将AD替换为DB、AE替换为EC，周长即可转化为DB+DE+EC，恰好等于BC的长度，代入已知的BC数值即可得到结果。
(2) 求∠BAC的度数时，首先由DA=DB、EA=EC，根据等腰三角形等边对等角的性质，可得∠DAB=∠B，∠EAC=∠C。已知∠BAD+∠CAE=60°，可推出∠B+∠C=60°，再结合三角形内角和为180°，用180°减去∠B与∠C的和，就能算出∠BAC的度数。
【解析】
(1)
∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，
∴根据线段垂直平分线的性质得：$DA=DB$，$EA=EC$，
∴$△ ADE$的周长$=AD+DE+AE=DB+DE+EC=BC$，
又
∵$BC=5$，
∴$△ ADE$的周长为5。
(2)
∵$DA=DB$，$EA=EC$，
∴根据等边对等角的性质得：$∠ DAB=∠ B$，$∠ EAC=∠ C$，
∴$∠ B+∠ C=∠ DAB+∠ EAC$，
∵$∠ BAD+∠ CAE=60°$，
∴$∠ B+∠ C=60°$，
在$△ ABC$中，根据三角形内角和定理得$∠ BAC+∠ B+∠ C=180°$，
∴$∠ BAC=180°-(∠ B+∠ C)=180°-60°=120°$。
【答案】
(1) $\boxed{5}$；(2) $\boxed{120°}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题的解题关键是利用线段垂直平分线的性质完成线段和角的等量转化，将未知的周长、角度问题转化为已知条件对应的量，熟练掌握相关性质定理即可快速解答。
【难度系数】
0.8
(1) 求△ADE的周长时，首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。点D在AB的垂直平分线上，点E在AC的垂直平分线上，因此可得DA=DB，EA=EC。△ADE的周长为AD+DE+AE，将AD替换为DB、AE替换为EC，周长即可转化为DB+DE+EC，恰好等于BC的长度，代入已知的BC数值即可得到结果。
(2) 求∠BAC的度数时，首先由DA=DB、EA=EC，根据等腰三角形等边对等角的性质，可得∠DAB=∠B，∠EAC=∠C。已知∠BAD+∠CAE=60°，可推出∠B+∠C=60°，再结合三角形内角和为180°，用180°减去∠B与∠C的和，就能算出∠BAC的度数。
【解析】
(1)
∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，
∴根据线段垂直平分线的性质得：$DA=DB$，$EA=EC$，
∴$△ ADE$的周长$=AD+DE+AE=DB+DE+EC=BC$，
又
∵$BC=5$，
∴$△ ADE$的周长为5。
(2)
∵$DA=DB$，$EA=EC$，
∴根据等边对等角的性质得：$∠ DAB=∠ B$，$∠ EAC=∠ C$，
∴$∠ B+∠ C=∠ DAB+∠ EAC$，
∵$∠ BAD+∠ CAE=60°$，
∴$∠ B+∠ C=60°$，
在$△ ABC$中，根据三角形内角和定理得$∠ BAC+∠ B+∠ C=180°$，
∴$∠ BAC=180°-(∠ B+∠ C)=180°-60°=120°$。
【答案】
(1) $\boxed{5}$；(2) $\boxed{120°}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题的解题关键是利用线段垂直平分线的性质完成线段和角的等量转化，将未知的周长、角度问题转化为已知条件对应的量，熟练掌握相关性质定理即可快速解答。
【难度系数】
0.8
10.如图,锐角三角形ABC中,直线PL为BC的垂直平分线,∠ABM=∠CBM,PL与BM相交于点P。若∠A=57°,∠ACP=27°,则∠BCP=
32°
。答案
10.32° 【解析】因为∠ABP=∠CBP,直线 PL 是线段 BC 的垂直平分线,所以 BP=CP,所以∠CBP = ∠BCP,所以∠ABP = ∠CBP = ∠BCP。因为∠A+∠ACB+∠ABC=180°,∠A=57°,∠ACP=27°,所以 3∠ABP+27°+57°=180°,解得∠ABP=32°,所以∠BCP=32°。故答案为32°。
解析
【分析】
解题时首先梳理已知条件：①BM平分∠ABC，可得∠ABP=∠CBP；②PL是BC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，可得BP=CP，再由等边对等角得∠CBP=∠BCP，进而推出∠ABP=∠CBP=∠BCP。接下来利用三角形内角和为180°，将∠ABC+∠ACB+∠A=180°转化为包含未知角的等式，代入已知角度即可求解∠BCP的度数。
【解析】
∵∠ABM=∠CBM，
∴BM平分∠ABC，即∠ABP=∠CBP。
∵直线PL是BC的垂直平分线，点P在PL上，
∴BP=CP（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等），
∴∠CBP=∠BCP（等边对等角），
∴∠ABP=∠CBP=∠BCP。
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，其中∠A=57°，∠ACP=27°，∠ABC=2∠BCP，∠ACB=∠BCP+∠ACP，
代入得：57° + 2∠BCP + ∠BCP + 27° = 180°，
整理得3∠BCP = 96°，解得∠BCP=32°。
【答案】
32°
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础综合题，解题关键是结合角平分线定义和线段垂直平分线的性质推导出相等的角，再利用三角形内角和定理建立等式求解，能够有效考查学生对基础性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先梳理已知条件：①BM平分∠ABC，可得∠ABP=∠CBP；②PL是BC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，可得BP=CP，再由等边对等角得∠CBP=∠BCP，进而推出∠ABP=∠CBP=∠BCP。接下来利用三角形内角和为180°，将∠ABC+∠ACB+∠A=180°转化为包含未知角的等式，代入已知角度即可求解∠BCP的度数。
【解析】
∵∠ABM=∠CBM，
∴BM平分∠ABC，即∠ABP=∠CBP。
∵直线PL是BC的垂直平分线，点P在PL上，
∴BP=CP（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等），
∴∠CBP=∠BCP（等边对等角），
∴∠ABP=∠CBP=∠BCP。
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，其中∠A=57°，∠ACP=27°，∠ABC=2∠BCP，∠ACB=∠BCP+∠ACP，
代入得：57° + 2∠BCP + ∠BCP + 27° = 180°，
整理得3∠BCP = 96°，解得∠BCP=32°。
【答案】
32°
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础综合题，解题关键是结合角平分线定义和线段垂直平分线的性质推导出相等的角，再利用三角形内角和定理建立等式求解，能够有效考查学生对基础性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
11.如图,在$△ ABC$中,已知$O$是$AB$,$AC$垂直平分线的交点,$∠ ABE=∠ CBE$,$∠ ACE=∠ BCE$,若$∠ O + ∠ E = 180°$,则$∠ A=$
36°
。答案
11.36° 【解析】如图,连结 OA。
因为O是AB,AC的垂直平分线的交点,所以 OA=OB=OC,所以∠OAB = ∠OBA, ∠OAC = ∠OCA。因为∠BOC=∠ABO+∠OCA+∠BAC=2∠OAB + 2∠OAC=2∠BAC。由题意知 E 是∠ABC,∠ACB 角平分线的交点,易得∠E=90°+1/2∠BAC,因为∠BOC+∠E=180°,所以2∠BAC+90°+1/2∠BAC=180°,所以∠BAC=36°。故答案为36°。解析
【分析】
解题时首先从已知条件入手：①看到O是AB、AC垂直平分线的交点，根据线段垂直平分线的性质可得OA=OB=OC，再结合等腰三角形等边对等角的性质，可推导出∠BOC与∠A的数量关系；②看到∠ABE=∠CBE、∠ACE=∠BCE，可知BE、CE是△ABC的角平分线，E是三角形的内心，结合三角形内角和定理可推导出∠E与∠A的数量关系；③最后利用∠O+∠E=180°的条件，将两个角度表达式代入建立方程，即可求解∠A的度数。
【解析】
如图，连结OA。
∵O是AB，AC的垂直平分线的交点，
∴OA=OB=OC，
∴∠OAB = ∠OBA，∠OAC = ∠OCA，
∴∠BOC=∠ABO+∠OCA+∠BAC=2∠OAB + 2∠OAC=2∠BAC。
由题意知E是∠ABC、∠ACB的角平分线的交点，
易得∠E=90°+$\frac{1}{2}$∠BAC。
∵∠BOC+∠E=180°，
∴$2∠BAC + 90°+\frac{1}{2}∠BAC=180°$，
解得∠BAC=36°。
【答案】
36°
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题综合考查了三角形中特殊点的角度推导，解题关键是找准特殊点的性质，分别建立所求角与已知角度关系的表达式，再结合等量关系列方程求解，是几何角度计算的典型综合题。
【难度系数】
0.6
解题时首先从已知条件入手：①看到O是AB、AC垂直平分线的交点，根据线段垂直平分线的性质可得OA=OB=OC，再结合等腰三角形等边对等角的性质，可推导出∠BOC与∠A的数量关系；②看到∠ABE=∠CBE、∠ACE=∠BCE，可知BE、CE是△ABC的角平分线，E是三角形的内心，结合三角形内角和定理可推导出∠E与∠A的数量关系；③最后利用∠O+∠E=180°的条件，将两个角度表达式代入建立方程，即可求解∠A的度数。
【解析】
如图，连结OA。
∵O是AB，AC的垂直平分线的交点，
∴OA=OB=OC，
∴∠OAB = ∠OBA，∠OAC = ∠OCA，
∴∠BOC=∠ABO+∠OCA+∠BAC=2∠OAB + 2∠OAC=2∠BAC。
由题意知E是∠ABC、∠ACB的角平分线的交点，
易得∠E=90°+$\frac{1}{2}$∠BAC。
∵∠BOC+∠E=180°，
∴$2∠BAC + 90°+\frac{1}{2}∠BAC=180°$，
解得∠BAC=36°。
【答案】
36°
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题综合考查了三角形中特殊点的角度推导，解题关键是找准特殊点的性质，分别建立所求角与已知角度关系的表达式，再结合等量关系列方程求解，是几何角度计算的典型综合题。
【难度系数】
0.6
12. 如图，AD平分∠BAC，∠B=42°，∠ACF=66°，EF垂直平分AD交BC的延长线于点F，连结AF。求∠CAF的度数。
答案
12. 因为 EF 垂直平分 AD,所以 AF=DF,∠ADF=∠DAF。因为∠ADF=∠B+∠BAD,∠DAF=∠CAF+∠CAD,又因为 AD 平分∠BAC,所以∠BAD=∠CAD,所以∠CAF=∠B=42°。
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先根据线段垂直平分线的性质，得到点F到A、D的距离相等，进而推出对应底角相等；再利用三角形外角的性质，将∠ADF表示为△ABD的外角，同时把∠DAF拆分为两个角的和；最后结合角平分线的定义得到相等的角，通过等量代换消去相同的角，即可求出∠CAF的度数。
【解析】
解：
∵ EF垂直平分AD，点F在EF上，
∴ AF = DF，
∴ ∠ADF = ∠DAF（等边对等角）。
∵ ∠ADF是△ABD的外角，
∴ ∠ADF = ∠B + ∠BAD（三角形外角等于与它不相邻的两个内角和）。
又
∵ ∠DAF = ∠CAD + ∠CAF，且AD平分∠BAC，
∴ ∠BAD = ∠CAD。
将∠ADF = ∠DAF代入可得：
∠B + ∠BAD = ∠CAF + ∠CAD，
消去相等的∠BAD和∠CAD，得∠CAF = ∠B = 42°。
【答案】
42°
【知识点】
线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形外角性质
【点评】
本题属于基础的几何角度计算题，核心是通过线段垂直平分线和角平分线的性质找到角的等量关系，结合三角形外角定理进行代换即可求解，题目给出的∠ACF可用于验证结果的正确性，不影响核心解题逻辑。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手：首先根据线段垂直平分线的性质，得到点F到A、D的距离相等，进而推出对应底角相等；再利用三角形外角的性质，将∠ADF表示为△ABD的外角，同时把∠DAF拆分为两个角的和；最后结合角平分线的定义得到相等的角，通过等量代换消去相同的角，即可求出∠CAF的度数。
【解析】
解：
∵ EF垂直平分AD，点F在EF上，
∴ AF = DF，
∴ ∠ADF = ∠DAF（等边对等角）。
∵ ∠ADF是△ABD的外角，
∴ ∠ADF = ∠B + ∠BAD（三角形外角等于与它不相邻的两个内角和）。
又
∵ ∠DAF = ∠CAD + ∠CAF，且AD平分∠BAC，
∴ ∠BAD = ∠CAD。
将∠ADF = ∠DAF代入可得：
∠B + ∠BAD = ∠CAF + ∠CAD，
消去相等的∠BAD和∠CAD，得∠CAF = ∠B = 42°。
【答案】
42°
【知识点】
线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形外角性质
【点评】
本题属于基础的几何角度计算题，核心是通过线段垂直平分线和角平分线的性质找到角的等量关系，结合三角形外角定理进行代换即可求解，题目给出的∠ACF可用于验证结果的正确性，不影响核心解题逻辑。
【难度系数】
0.7
13.如图，在$△ ABC$中，D是AB上的一点，且$AD=AC$，$DE// BC$，CD平分$∠ EDF$，求证：AF垂直平分CD。
第13题图
第13题图答案
13. 证明:因为 DE//BC,所以∠CDE=∠DCF。因为 CD 平分∠EDF,所以∠CDF=∠CDE,所以∠CDF=∠DCF,所以 DF=CF,所以点F在线段CD的垂直平分线上。因为 AD=AC,所以点A在线段CD的垂直平分线上,所以 AF 垂直平分 CD。
解析
【分析】
要证明AF垂直平分CD，可利用线段垂直平分线的判定思路：只要证明点A和点F都在线段CD的垂直平分线上，再结合两点确定一条直线即可得证。首先由已知AD=AC，可直接得到点A在CD的垂直平分线上；接下来推导点F的位置：利用DE//BC的性质得到内错角相等，结合CD平分∠EDF的条件，通过等量代换得到∠CDF=∠DCF，再由等角对等边得到DF=CF，即可推出点F也在CD的垂直平分线上，最终就能证明AF垂直平分CD。
【解析】
证明：
∵ DE//BC，
∴ ∠CDE=∠DCF。
∵ CD平分∠EDF，
∴ ∠CDF=∠CDE，
∴ ∠CDF=∠DCF，
∴ DF=CF，
∴ 点F在线段CD的垂直平分线上。
∵ AD=AC，
∴ 点A在线段CD的垂直平分线上，
∴ AF垂直平分CD。
【答案】
AF垂直平分CD
【知识点】
平行线的性质；等腰三角形的判定；线段垂直平分线的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，重点考察线段垂直平分线判定的应用，解题时需要结合平行线、角平分线的性质推导边的等量关系，逻辑链条清晰，掌握相关性质定理即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
要证明AF垂直平分CD，可利用线段垂直平分线的判定思路：只要证明点A和点F都在线段CD的垂直平分线上，再结合两点确定一条直线即可得证。首先由已知AD=AC，可直接得到点A在CD的垂直平分线上；接下来推导点F的位置：利用DE//BC的性质得到内错角相等，结合CD平分∠EDF的条件，通过等量代换得到∠CDF=∠DCF，再由等角对等边得到DF=CF，即可推出点F也在CD的垂直平分线上，最终就能证明AF垂直平分CD。
【解析】
证明：
∵ DE//BC，
∴ ∠CDE=∠DCF。
∵ CD平分∠EDF，
∴ ∠CDF=∠CDE，
∴ ∠CDF=∠DCF，
∴ DF=CF，
∴ 点F在线段CD的垂直平分线上。
∵ AD=AC，
∴ 点A在线段CD的垂直平分线上，
∴ AF垂直平分CD。
【答案】
AF垂直平分CD
【知识点】
平行线的性质；等腰三角形的判定；线段垂直平分线的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，重点考察线段垂直平分线判定的应用，解题时需要结合平行线、角平分线的性质推导边的等量关系，逻辑链条清晰，掌握相关性质定理即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
