11.计算下列各题：
(1)$\sin 30° + \sin^2 45° - \frac{1}{3}\tan^2 60°$；
(2)$3\tan 30° - (\cos 60°)^{-1} + \sqrt{8}\cos 45° + \sqrt{(1 - \tan 60°)^2}$；
(3)

解：
(1)
原式$=\sin30° + (\sin45°)^2 - \frac{1}{3}×(\tan60°)^2$
$=\frac{1}{2} + (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 - \frac{1}{3}×(\sqrt{3})^2$
$=\frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3}×3$
$=1-1$
$=0$
(2)
原式$=3×\tan30° - \frac{1}{\cos60°} + \sqrt{8}×\cos45° + |1-\tan60°|$
$=3×\frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{1}{\frac{1}{2}} + 2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2} + |1-\sqrt{3}|$
$=\sqrt{3} - 2 + 2 + \sqrt{3} - 1$
$=2\sqrt{3}-1$
(3)
原式$=\frac{\cos60° - \tan45° + \sin60°}{\tan30° + \sin30°}$
$=\frac{\frac{1}{2} - 1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{1}{2}}$
$=\frac{\frac{\sqrt{3}-1}{2}}{\frac{2\sqrt{3}+3}{6}}$
$=\frac{3(\sqrt{3}-1)}{2\sqrt{3}+3}$
$=\frac{3(\sqrt{3}-1)(3-2\sqrt{3})}{(2\sqrt{3}+3)(3-2\sqrt{3})}$
$=\frac{3(5\sqrt{3}-9)}{-3}$
$=9-5\sqrt{3}$

【分析】
这三道题均为特殊角三角函数值的计算类题目，解题思路如下：第一步，准确牢记30°、45°、60°的正弦、余弦、正切值，同时明确对应的运算规则：负整数指数幂等于其正指数幂的倒数、二次根式开平方的结果为非负数（即要转化为绝对值形式）、分母含有根式时需要做分母有理化处理；第二步，将各三角函数值对应代入原式，按照先乘方、再乘除、最后加减的顺序计算，有括号或者分子分母的优先计算括号、分子分母内部的运算；第三步，对计算结果做化简，最终得到最简形式。
【解析】
(1)
原式$=\sin30° + (\sin45°)^2 - \frac{1}{3}×(\tan60°)^2$
$=\frac{1}{2} + (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 - \frac{1}{3}×(\sqrt{3})^2$
$=\frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3}×3$
$=1-1$
$=0$
(2)
原式$=3×\tan30° - \frac{1}{\cos60°} + \sqrt{8}×\cos45° + |1-\tan60°|$
$=3×\frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{1}{\frac{1}{2}} + 2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2} + |1-\sqrt{3}|$
$=\sqrt{3} - 2 + 2 + \sqrt{3} - 1$
$=2\sqrt{3}-1$
(3)
原式$=\frac{\cos60° - \tan45° + \sin60°}{\tan30° + \sin30°}$
$=\frac{\frac{1}{2} - 1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{1}{2}}$
$=\frac{\frac{\sqrt{3}-1}{2}}{\frac{2\sqrt{3}+3}{6}}$
$=\frac{3(\sqrt{3}-1)}{2\sqrt{3}+3}$
$=\frac{3(\sqrt{3}-1)(3-2\sqrt{3})}{(2\sqrt{3}+3)(3-2\sqrt{3})}$
$=\frac{3(5\sqrt{3}-9)}{-3}$
$=9-5\sqrt{3}$
【答案】
(1)$0$；(2)$2\sqrt{3}-1$；(3)$9-5\sqrt{3}$
【知识点】
特殊角的三角函数值、实数混合运算、二次根式化简
【点评】
本题属于三角函数基础计算题，核心是熟练记忆特殊角的三角函数值，运算时注意负指数幂、绝对值、分母有理化的处理规则，按照运算顺序逐步计算即可避免错误。
【难度系数】
0.7

12.求使下列各等式成立的锐角α.
(1)$2\cos^2α -1=0$；
(2)$\tan^2α -(\sqrt{3}+1)\tanα +\sqrt{3}=0$.

解：
(1) 由$2\cos^2α -1=0$，移项得：
$\cos^2α=\frac{1}{2}$
∵α是锐角，∴$\cosα＞0$，
∴$\cosα=\frac{\sqrt{2}}{2}$
∴$α=45°$
(2) 对$\tan^2α -(\sqrt{3}+1)\tanα +\sqrt{3}=0$因式分解，得：
$(\tanα -1)(\tanα -\sqrt{3})=0$
∴$\tanα=1$ 或 $\tanα=\sqrt{3}$
∵α是锐角，
当$\tanα=1$时，$α=45°$；
当$\tanα=\sqrt{3}$时，$α=60°$。
∴$α=45°$或$α=60°$

【分析】
(1) 求解第一小题时，先对给定的方程移项变形，求出$\cos^2α$的值；再结合α是锐角的条件，明确余弦值为正数，得到$\cosα$的具体取值；最后对照特殊角的三角函数值，即可确定α的度数。
(2) 求解第二小题时，先将方程看作关于$\tanα$的一元二次方程，用十字相乘法因式分解，得到$\tanα$的两个可能取值；再结合α是锐角的条件，分别对应特殊角的正切值，即可得到α的所有符合要求的度数。
【解析】
(1) 由$2\cos^2α -1=0$，移项得：
$\cos^2α=\frac{1}{2}$
∵α是锐角，
∴$\cosα＞0$，
∴$\cosα=\frac{\sqrt{2}}{2}$
∴$α=45°$
(2) 对$\tan^2α -(\sqrt{3}+1)\tanα +\sqrt{3}=0$因式分解，得：
$(\tanα -1)(\tanα -\sqrt{3})=0$
∴$\tanα=1$ 或 $\tanα=\sqrt{3}$
∵α是锐角，
当$\tanα=1$时，$α=45°$；
当$\tanα=\sqrt{3}$时，$α=60°$。
∴$α=45°$或$α=60°$
【答案】
(1) $\boldsymbol{α=45°}$；(2) $\boldsymbol{α=45°}$或$\boldsymbol{α=60°}$
【知识点】
特殊角的三角函数值、因式分解法解一元二次方程、锐角三角函数的性质
【点评】
本题将方程求解和特殊角的三角函数值结合考查，解题时需注意锐角条件对三角函数值的范围限制，避免出现增解，要求熟练掌握常见特殊角的各三角函数值，同时能灵活运用合适的方法解一元二次方程。
【难度系数】
0.8

13.已知角α为锐角，且$\tanα$是方程$x^2 + 2x - 3 = 0$的一个根，求$2\sin^2α + \cos^2α - \sqrt{3}\tan(α + 15°)$的值.

解：
解方程$x^2 + 2x - 3 = 0$，
因式分解得$(x+3)(x-1)=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=-3$。
∵$α$为锐角，
∴$\tanα＞0$，
∴$\tanα=1$，
∴锐角$α=45°$。
将$α=45°$代入$2\sin^2α + \cos^2α - \sqrt{3}\tan(α+15°)$：
原式$=2\sin^245° + \cos^245° - \sqrt{3}\tan60°$
$=2×(\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 - \sqrt{3}×\sqrt{3}$
$=2×\frac{1}{2} + \frac{1}{2} - 3$
$=1 + \frac{1}{2} - 3$
$=-\frac{3}{2}$

【分析】
本题可按三步思路求解：第一步先解给定的一元二次方程，得到tanα的两个可能取值；第二步结合α是锐角的条件，锐角的正切值恒为正数，排除负根，确定tanα的准确值，进而得到α的度数；第三步将α的度数代入所求代数式，利用特殊角的三角函数值逐一计算各项，最终合并得到结果。
【解析】
解方程$x^2 + 2x - 3 = 0$，
因式分解得$(x+3)(x-1)=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=-3$。
∵α为锐角，锐角的正切值大于0，
∴$\tanα=1$，
∴锐角$α=45°$。
将$α=45°$代入$2\sin^2α + \cos^2α - \sqrt{3}\tan(α+15°)$得：
原式$=2\sin^245° + \cos^245° - \sqrt{3}\tan60°$
$=2×(\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 - \sqrt{3}×\sqrt{3}$
$=2×\frac{1}{2} + \frac{1}{2} - 3$
$=1 + \frac{1}{2} - 3$
$=-\frac{3}{2}$
【答案】
$-\dfrac{3}{2}$
【知识点】
1. 一元二次方程的解法 2. 特殊角的三角函数值 3. 锐角三角函数的符号
【点评】
本题属于基础综合题，解题的核心是先结合方程根的性质与锐角三角函数的符号特征确定α的度数，代入计算时要准确记忆特殊角的三角函数值，避免因记错数值或计算疏漏出错。
【难度系数】
0.7

14. 关于$x$的方程$x^2 - \sqrt{2}x + \cos A = 0$有两个相等的实数根，$A$为直角三角形的锐角，如图所示.
(1)求$∠ B$；
(2)若$AB=10$，求$AC$，$BC$的长.

解：
(1) ∵ 方程$x^2 - \sqrt{2}x + \cos A = 0$有两个相等的实数根，
∴ 判别式$\Delta = (-\sqrt{2})^2 - 4×1×\cos A = 0$，
即$2 - 4\cos A = 0$，
解得$\cos A = \frac{1}{2}$。
∵ $A$为直角三角形的锐角，
∴ $∠ A = 60°$。
又∵ $∠ C = 90°$，
∴ $∠ B = 90° - ∠ A = 30°$。
(2) 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AB=10$，
$\because \cos A = \frac{AC}{AB}$，
$\therefore AC = AB· \cos A = 10× \frac{1}{2} = 5$。
$\because \sin A = \frac{BC}{AB}$，
$\therefore BC = AB· \sin60° = 10× \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}$。
综上，(1) $∠ B = 30°$；(2) $AC=5$，$BC=5\sqrt{3}$。

【分析】
(1) 要求∠B的度数，首先需要先求出∠A的度数：已知一元二次方程有两个相等的实数根，根据一元二次方程根的判别式Δ=0的性质，可列关于cosA的等式，求出cosA的值后，结合A是锐角的条件得到∠A的度数，最后利用直角三角形两锐角互余的性质即可求出∠B。
(2) 要求AC、BC的长度，已知斜边AB的长度和∠A的度数，结合直角三角形中锐角三角函数的定义（余弦为邻边比斜边、正弦为对边比斜边），代入对应数值计算即可得到两条直角边的长度。
【解析】
(1)
∵ 方程$x^2 - \sqrt{2}x + \cos A = 0$有两个相等的实数根，
∴ 判别式$\Delta = (-\sqrt{2})^2 - 4×1×\cos A = 0$，
即$2 - 4\cos A = 0$，
解得$\cos A = \frac{1}{2}$。
∵ $A$为直角三角形的锐角，
∴ $∠ A = 60°$。
又
∵ $∠ C = 90°$，
∴ $∠ B = 90° - ∠ A = 30°$。
(2) 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AB=10$，
$\because \cos A = \frac{AC}{AB}$，
$\therefore AC = AB· \cos A = 10× \frac{1}{2} = 5$。
$\because \sin A = \frac{BC}{AB}$，
$\therefore BC = AB· \sin60° = 10× \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠B=30°}$
(2) $\boldsymbol{AC=5}$，$\boldsymbol{BC=5\sqrt{3}}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，特殊角的三角函数值，解直角三角形
【点评】
本题是代数与几何结合的基础综合题，将一元二次方程根的判别式、特殊角的三角函数值、直角三角形的性质融合考查，解题核心是熟练掌握各基础知识点的应用逻辑，计算难度较低，侧重考查对基础概念的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7

15. 如图，在$△ ABC$中，$∠ C = 150°, AC = 4$，$\tan B = \dfrac{1}{8}$。
(1)求$BC$的长；
(2)求$\tan 15°$的值(结果保留根号)。

解：
(1) 过点A作$AD ⊥ BC$，交$BC$的延长线于点D。
$\because ∠ ACB=150°$，
$\therefore ∠ ACD=180° - 150°=30°$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$AC=4$，
$\therefore AD=AC· \sin30°=4× \frac{1}{2}=2$，
$CD=AC· \cos30°=4× \frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$\tan B=\frac{AD}{BD}=\frac{1}{8}$，
$\therefore BD=\frac{AD}{\tan B}=\frac{2}{\frac{1}{8}}=16$，
$\therefore BC=BD-CD=16-2\sqrt{3}$。
(2) 在$BC$边上取点E，使得$CE=AC=4$，连接$AE$。
$\because ∠ ACB=150°$，
$\therefore ∠ CAE=∠ CEA=\frac{180° - 150°}{2}=15°$。
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，$AD=2$，$DE=CD+CE=2\sqrt{3}+4$，
$\therefore \tan15°=\tan∠ AED=\frac{AD}{DE}=\frac{2}{4+2\sqrt{3}}=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}$。
综上，(1) $BC$的长为$16-2\sqrt{3}$；(2) $\tan15°=2-\sqrt{3}$。

【分析】
(1) 已知△ABC中∠C为150°钝角，无法直接求解BC边长，因此考虑作高构造直角三角形：先通过邻补角求出∠ACD=30°，在Rt△ACD中利用特殊角的三角函数值求出AD、CD的长度，再结合tanB的数值在Rt△ABD中求出BD的长度，最后用BD减去CD即可得到BC的长。
(2) 要求tan15°的值，可利用15°是30°一半的关系构造等腰三角形：在BC上取CE=AC，得到底角为15°的等腰△ACE，将tan15°转化为Rt△ADE中∠AED的正切值，代入边长计算后做分母有理化即可得到结果。
【解析】
(1) 过点A作$AD ⊥ BC$，交$BC$的延长线于点D。
$\because ∠ ACB=150°$，
$\therefore ∠ ACD=180° - 150°=30°$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$AC=4$，
$\therefore AD=AC· \sin30°=4× \frac{1}{2}=2$，
$CD=AC· \cos30°=4× \frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$\tan B=\frac{AD}{BD}=\frac{1}{8}$，
$\therefore BD=\frac{AD}{\tan B}=\frac{2}{\frac{1}{8}}=16$，
$\therefore BC=BD-CD=16-2\sqrt{3}$。
(2) 在$BC$边上取点E，使得$CE=AC=4$，连接$AE$。
$\because ∠ ACB=150°$，
$\therefore ∠ CAE=∠ CEA=\frac{180° - 150°}{2}=15°$。
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，$AD=2$，$DE=CD+CE=2\sqrt{3}+4$，
$\therefore \tan15°=\tan∠ AED=\frac{AD}{DE}=\frac{2}{4+2\sqrt{3}}=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $16-2\sqrt{3}$；(2) $2-\sqrt{3}$
【知识点】
解直角三角形；特殊角的三角函数值；等腰三角形的性质
【点评】
本题是三角函数应用的典型题型，解题核心是通过作辅助线构造直角三角形，将钝角三角形的边、角求解问题转化为直角三角形的计算问题，第二问构造等腰三角形得到15°角是解题关键，运算时要注意二次根式分母有理化的规范。
【难度系数】
0.6