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3.如图，$\odot O$的直径AB与弦CD交于点E，$AE=5$，$BE=1$，$CD=4\sqrt{2}$.求$∠ AED$的度数.
答案
解：
过点O作OF⊥CD于点F，连接OD。
∵ AE=5，BE=1，
∴ AB=AE+BE=6，
∴ ⊙O的半径OD=OA=OB=3，
∴ OE=OB - BE=3 - 1=2。
∵ OF⊥CD，由垂径定理得：
DF = $\frac{1}{2}$CD = $\frac{1}{2} × 4\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$。
在Rt△ODF中，
$OF = \sqrt{OD^2 - DF^2} = \sqrt{3^2 - (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{9 - 8} = 1$。
在Rt△OEF中，$\sin∠ OEF = \frac{OF}{OE} = \frac{1}{2}$，
∴ $∠ OEF = 30°$，即$∠ AED = 30°$。
过点O作OF⊥CD于点F，连接OD。
∵ AE=5，BE=1，
∴ AB=AE+BE=6，
∴ ⊙O的半径OD=OA=OB=3，
∴ OE=OB - BE=3 - 1=2。
∵ OF⊥CD，由垂径定理得：
DF = $\frac{1}{2}$CD = $\frac{1}{2} × 4\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$。
在Rt△ODF中，
$OF = \sqrt{OD^2 - DF^2} = \sqrt{3^2 - (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{9 - 8} = 1$。
在Rt△OEF中，$\sin∠ OEF = \frac{OF}{OE} = \frac{1}{2}$，
∴ $∠ OEF = 30°$，即$∠ AED = 30°$。
解析
【分析】
要求∠AED的度数，我们可以按照以下思路推导：首先根据已知的AE、BE长度求出圆的直径、半径，进而得到OE的长度；对于圆中弦的计算问题，常用辅助线是过圆心作弦的垂线，结合垂径定理得到半弦长，构造出直角三角形；再利用勾股定理求出垂线段的长度，最后在包含∠AED的直角三角形中，通过边的比值得到对应三角函数值，即可求出角度。
【解析】
过点O作$OF⊥CD$于点F，连接$OD$。
$\because AE=5$，$BE=1$，
$\therefore AB=AE+BE=6$，
$\therefore \odot O$的半径$OD=OA=OB=3$，
$\therefore OE=OB - BE=3 - 1=2$。
$\because OF⊥CD$，由垂径定理得：
$DF = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2} × 4\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$。
在$Rt△ ODF$中，
$OF = \sqrt{OD^2 - DF^2} = \sqrt{3^2 - (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{9 - 8} = 1$。
在$Rt△ OEF$中，$\sin∠ OEF = \frac{OF}{OE} = \frac{1}{2}$，
$\therefore ∠ OEF = 30°$，即$∠ AED = 30°$。
【答案】
$∠AED=30°$
【知识点】
垂径定理、勾股定理、特殊角的三角函数值
【点评】
本题是圆与三角函数结合的常规题型，解题核心是掌握圆中弦类问题的常用辅助线作法，通过构造直角三角形将已知条件转化为直角三角形的边长关系，结合特殊角的三角函数值即可求解，能够很好地考察学生对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
要求∠AED的度数，我们可以按照以下思路推导：首先根据已知的AE、BE长度求出圆的直径、半径，进而得到OE的长度；对于圆中弦的计算问题，常用辅助线是过圆心作弦的垂线，结合垂径定理得到半弦长，构造出直角三角形；再利用勾股定理求出垂线段的长度，最后在包含∠AED的直角三角形中，通过边的比值得到对应三角函数值，即可求出角度。
【解析】
过点O作$OF⊥CD$于点F，连接$OD$。
$\because AE=5$，$BE=1$，
$\therefore AB=AE+BE=6$，
$\therefore \odot O$的半径$OD=OA=OB=3$，
$\therefore OE=OB - BE=3 - 1=2$。
$\because OF⊥CD$，由垂径定理得：
$DF = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2} × 4\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$。
在$Rt△ ODF$中，
$OF = \sqrt{OD^2 - DF^2} = \sqrt{3^2 - (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{9 - 8} = 1$。
在$Rt△ OEF$中，$\sin∠ OEF = \frac{OF}{OE} = \frac{1}{2}$，
$\therefore ∠ OEF = 30°$，即$∠ AED = 30°$。
【答案】
$∠AED=30°$
【知识点】
垂径定理、勾股定理、特殊角的三角函数值
【点评】
本题是圆与三角函数结合的常规题型，解题核心是掌握圆中弦类问题的常用辅助线作法，通过构造直角三角形将已知条件转化为直角三角形的边长关系，结合特殊角的三角函数值即可求解，能够很好地考察学生对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
1. (1)$\tan 60° =$ ;
(2)计算：$\sin 60° · \cos 30° - \frac{1}{2} =$ ;
(3)计算：$\sin^2 30° + \cos^2 30° =$ .
(2)计算：$\sin 60° · \cos 30° - \frac{1}{2} =$ ;
(3)计算：$\sin^2 30° + \cos^2 30° =$ .
答案
(1) $\sqrt{3}$；(2) $\frac{1}{4}$；(3) $1$
解析
【分析】
这三道小题均围绕特殊角的三角函数相关知识设计：
1. 第(1)题直接考查特殊角的正切值记忆，直接调用记忆的tan60°结果即可作答；
2. 第(2)题需先准确写出sin60°、cos30°的数值，再按照先乘除后加减的实数运算顺序计算；
3. 第(3)题有两种解题思路，一是代入30°的正弦、余弦值计算平方和，二是直接利用同角三角函数的平方和恒等式快速得出结果。
【解析】
(1) 根据特殊角的三角函数值，直接可得$\tan 60°=\sqrt{3}$；
(2) 先写出对应特殊角的三角函数值：$\sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos 30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}\\&=\frac{3}{4}-\frac{2}{4}\\&=\frac{1}{4}\end{aligned}$
(3) 方法一：代入数值计算，$\sin 30°=\frac{1}{2}$，$\cos 30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，代入原式：
$\begin{aligned}原式&=(\frac{1}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2\\&=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}\\&=1\end{aligned}$
方法二：根据同角三角函数基本关系$\sin^2α+\cos^2α=1$，当$α=30°$时，直接得原式=1。
【答案】
(1) $\sqrt{3}$；(2) $\frac{1}{4}$；(3) $1$
【知识点】
特殊角的三角函数值、同角三角函数基本关系、实数混合运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查对特殊角三角函数值的掌握程度，运算量小，只要牢记30°、45°、60°的三角函数值，掌握基本运算规则和三角函数恒等式即可快速得分。
【难度系数】
0.9
这三道小题均围绕特殊角的三角函数相关知识设计：
1. 第(1)题直接考查特殊角的正切值记忆，直接调用记忆的tan60°结果即可作答；
2. 第(2)题需先准确写出sin60°、cos30°的数值，再按照先乘除后加减的实数运算顺序计算；
3. 第(3)题有两种解题思路，一是代入30°的正弦、余弦值计算平方和，二是直接利用同角三角函数的平方和恒等式快速得出结果。
【解析】
(1) 根据特殊角的三角函数值，直接可得$\tan 60°=\sqrt{3}$；
(2) 先写出对应特殊角的三角函数值：$\sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos 30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}\\&=\frac{3}{4}-\frac{2}{4}\\&=\frac{1}{4}\end{aligned}$
(3) 方法一：代入数值计算，$\sin 30°=\frac{1}{2}$，$\cos 30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，代入原式：
$\begin{aligned}原式&=(\frac{1}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2\\&=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}\\&=1\end{aligned}$
方法二：根据同角三角函数基本关系$\sin^2α+\cos^2α=1$，当$α=30°$时，直接得原式=1。
【答案】
(1) $\sqrt{3}$；(2) $\frac{1}{4}$；(3) $1$
【知识点】
特殊角的三角函数值、同角三角函数基本关系、实数混合运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查对特殊角三角函数值的掌握程度，运算量小，只要牢记30°、45°、60°的三角函数值，掌握基本运算规则和三角函数恒等式即可快速得分。
【难度系数】
0.9
2. 如图所示，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=2，BC=√3，则∠A=。
答案
$\boldsymbol{60}$
解析
【分析】
本题是直角三角形求锐角度数的问题，解题思路如下：首先明确已知条件：Rt△ABC中∠C=90°，已知斜边AB和∠A的对边BC的长度；其次根据锐角三角函数中正弦的定义，先计算出∠A的正弦值；最后对照特殊角的三角函数值，即可得出∠A的度数。
【解析】
在Rt△ABC中，∠C=90°，根据正弦函数的定义：
$\sin A = \frac{∠ A\mathrm{的对边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{BC}{AB}$
将AB=2，$BC=\sqrt{3}$代入得：
$\sin A = \frac{\sqrt{3}}{2}$
∵∠A是锐角，且$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$
∴$∠ A=60°$
【答案】
$\boldsymbol{60}$
【知识点】
正弦函数的定义，特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于基础题，重点考查对锐角三角函数定义的理解和特殊角三角函数值的记忆，掌握相关基础知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题是直角三角形求锐角度数的问题，解题思路如下：首先明确已知条件：Rt△ABC中∠C=90°，已知斜边AB和∠A的对边BC的长度；其次根据锐角三角函数中正弦的定义，先计算出∠A的正弦值；最后对照特殊角的三角函数值，即可得出∠A的度数。
【解析】
在Rt△ABC中，∠C=90°，根据正弦函数的定义：
$\sin A = \frac{∠ A\mathrm{的对边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{BC}{AB}$
将AB=2，$BC=\sqrt{3}$代入得：
$\sin A = \frac{\sqrt{3}}{2}$
∵∠A是锐角，且$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$
∴$∠ A=60°$
【答案】
$\boldsymbol{60}$
【知识点】
正弦函数的定义，特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于基础题，重点考查对锐角三角函数定义的理解和特殊角三角函数值的记忆，掌握相关基础知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.8
3. 在锐角三角形ABC中，∠A，∠C满足$\left| \sin A - \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right| + \left| \tan C -1 \right| =0$，则∠A=，∠B=，∠C=。
答案
$\boldsymbol{60°}$，$\boldsymbol{75°}$，$\boldsymbol{45°}$
解析
【分析】
解题时先利用绝对值的非负性：几个非负数的和为0时，每个非负数都为0，据此得到sinA和tanC的取值；再结合锐角三角形的内角都是锐角的特点，对应特殊角的三角函数值求出∠A、∠C的度数；最后根据三角形内角和为180°即可算出∠B的度数。
【解析】
解：
∵绝对值的结果为非负数，即$\left| \sin A - \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right|≥0$，$\left| \tan C -1 \right|≥0$，且两者之和为0
∴$\left| \sin A - \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right|=0$，$\left| \tan C -1 \right|=0$
可得$\sin A=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan C=1$
∵△ABC是锐角三角形，三个内角均为锐角
∴∠A=60°，∠C=45°
根据三角形内角和为180°，得：
∠B=180°-∠A-∠C=180°-60°-45°=75°
【答案】
$\boldsymbol{60°}$，$\boldsymbol{75°}$，$\boldsymbol{45°}$
【知识点】
绝对值的非负性，特殊角的三角函数值，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础综合题，将非负数的性质、特殊角的三角函数值、三角形内角和三个知识点结合考查，难度较低，熟记特殊角的三角函数值是解题的核心。
【难度系数】
0.8
解题时先利用绝对值的非负性：几个非负数的和为0时，每个非负数都为0，据此得到sinA和tanC的取值；再结合锐角三角形的内角都是锐角的特点，对应特殊角的三角函数值求出∠A、∠C的度数；最后根据三角形内角和为180°即可算出∠B的度数。
【解析】
解：
∵绝对值的结果为非负数，即$\left| \sin A - \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right|≥0$，$\left| \tan C -1 \right|≥0$，且两者之和为0
∴$\left| \sin A - \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right|=0$，$\left| \tan C -1 \right|=0$
可得$\sin A=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan C=1$
∵△ABC是锐角三角形，三个内角均为锐角
∴∠A=60°，∠C=45°
根据三角形内角和为180°，得：
∠B=180°-∠A-∠C=180°-60°-45°=75°
【答案】
$\boldsymbol{60°}$，$\boldsymbol{75°}$，$\boldsymbol{45°}$
【知识点】
绝对值的非负性，特殊角的三角函数值，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础综合题，将非负数的性质、特殊角的三角函数值、三角形内角和三个知识点结合考查，难度较低，熟记特殊角的三角函数值是解题的核心。
【难度系数】
0.8
4.正比例函数$y=\sqrt{3}x$的图象与x轴的夹角为锐角α，则α=。
答案
解：在正比例函数$y=\sqrt{3}x$的图象上取异于原点的点$A(1,\sqrt{3})$，过点$A$作$AB⊥ x$轴于点$B$，
则$OB=1$，$AB=\sqrt{3}$。
在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，
$\tanα=\frac{AB}{OB}=\frac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3}$，
已知$α$为锐角，且$\tan60°=\sqrt{3}$，
因此$α=60°$。
则$OB=1$，$AB=\sqrt{3}$。
在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，
$\tanα=\frac{AB}{OB}=\frac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3}$，
已知$α$为锐角，且$\tan60°=\sqrt{3}$，
因此$α=60°$。
解析
【分析】
要计算正比例函数图象与x轴的锐角夹角α，可结合锐角正切的定义求解：首先正比例函数图象过原点，我们可以在图象上取一个坐标便于计算的异于原点的点，过该点向x轴作垂线，即可构造出包含夹角α的直角三角形，α的正切值等于所取点的纵坐标与横坐标的比值，也就是正比例函数的比例系数，最后结合特殊角的三角函数值就能得出α的度数。
【解析】
在正比例函数$y=\sqrt{3}x$的图象上取异于原点的点$A(1,\sqrt{3})$，过点$A$作$AB⊥ x$轴于点$B$，则$OB=1$，$AB=\sqrt{3}$。
在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，$\tanα=\frac{AB}{OB}=\frac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3}$，
已知$α$为锐角，且$\tan60°=\sqrt{3}$，因此$α=60°$。
【答案】
$60°$
【知识点】
正比例函数图象性质；锐角正切的定义；特殊角的三角函数值
【点评】
本题是函数与三角函数的基础综合题，解题关键是通过取点构造直角三角形，建立直线斜率与夹角正切值的联系，结合特殊角的三角函数值即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要计算正比例函数图象与x轴的锐角夹角α，可结合锐角正切的定义求解：首先正比例函数图象过原点，我们可以在图象上取一个坐标便于计算的异于原点的点，过该点向x轴作垂线，即可构造出包含夹角α的直角三角形，α的正切值等于所取点的纵坐标与横坐标的比值，也就是正比例函数的比例系数，最后结合特殊角的三角函数值就能得出α的度数。
【解析】
在正比例函数$y=\sqrt{3}x$的图象上取异于原点的点$A(1,\sqrt{3})$，过点$A$作$AB⊥ x$轴于点$B$，则$OB=1$，$AB=\sqrt{3}$。
在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，$\tanα=\frac{AB}{OB}=\frac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3}$，
已知$α$为锐角，且$\tan60°=\sqrt{3}$，因此$α=60°$。
【答案】
$60°$
【知识点】
正比例函数图象性质；锐角正切的定义；特殊角的三角函数值
【点评】
本题是函数与三角函数的基础综合题，解题关键是通过取点构造直角三角形，建立直线斜率与夹角正切值的联系，结合特殊角的三角函数值即可快速求解。
【难度系数】
0.8
5. 下列式子中,错误的是()
A.$\cos40°=\sin50°$
B.$\tan15°·\tan75°=1$
C.$\sin^225°+\cos^225°=1$
D.$\sin60°=2\sin30°$
A.$\cos40°=\sin50°$
B.$\tan15°·\tan75°=1$
C.$\sin^225°+\cos^225°=1$
D.$\sin60°=2\sin30°$
答案
D
解析
【分析】
这道题考查三角函数的基本性质和特殊角的三角函数值，解题时逐个验证每个选项的正确性即可。首先回忆相关核心知识点：1. 互余两角的三角函数关系；2. 同角三角函数的平方关系；3. 常见特殊角的三角函数值，对应判断每个选项的正误即可得出答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：因为$40°+50°=90°$，根据互余角的三角函数性质$\cosα=\sin(90°-α)$，可得$\cos40°=\sin(90°-40°)=\sin50°$，该选项正确。
B选项：因为$15°+75°=90°$，所以$\tan75°=\tan(90°-15°)=\cot15°$，又因为$\tanα·\cotα=1$，因此$\tan15°·\tan75°=\tan15°·\cot15°=1$，该选项正确。
C选项：根据同角三角函数的平方关系，对任意锐角$α$都满足$\sin^2α+\cos^2α=1$，因此$\sin^225°+\cos^225°=1$，该选项正确。
D选项：代入特殊角的三角函数值计算：$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$2\sin30°=2×\frac{1}{2}=1$，显然$\frac{\sqrt{3}}{2}≠1$，该选项错误。
题目要求选择错误的式子，因此选D。
【答案】
D
【知识点】
互余角的三角函数关系，同角三角函数平方关系，特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于基础题，主要考查三角函数的基本性质和特殊角的三角函数值的计算，熟练掌握相关公式和特殊角的函数值是解题的关键。
【难度系数】
0.8
这道题考查三角函数的基本性质和特殊角的三角函数值，解题时逐个验证每个选项的正确性即可。首先回忆相关核心知识点：1. 互余两角的三角函数关系；2. 同角三角函数的平方关系；3. 常见特殊角的三角函数值，对应判断每个选项的正误即可得出答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：因为$40°+50°=90°$，根据互余角的三角函数性质$\cosα=\sin(90°-α)$，可得$\cos40°=\sin(90°-40°)=\sin50°$，该选项正确。
B选项：因为$15°+75°=90°$，所以$\tan75°=\tan(90°-15°)=\cot15°$，又因为$\tanα·\cotα=1$，因此$\tan15°·\tan75°=\tan15°·\cot15°=1$，该选项正确。
C选项：根据同角三角函数的平方关系，对任意锐角$α$都满足$\sin^2α+\cos^2α=1$，因此$\sin^225°+\cos^225°=1$，该选项正确。
D选项：代入特殊角的三角函数值计算：$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$2\sin30°=2×\frac{1}{2}=1$，显然$\frac{\sqrt{3}}{2}≠1$，该选项错误。
题目要求选择错误的式子，因此选D。
【答案】
D
【知识点】
互余角的三角函数关系，同角三角函数平方关系，特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于基础题，主要考查三角函数的基本性质和特殊角的三角函数值的计算，熟练掌握相关公式和特殊角的函数值是解题的关键。
【难度系数】
0.8
6.与$2\sin 30°$的结果相同的是()
A.$\tan 45°$
B.$\sin 60°$
C.$\tan 60°$
D.$\cos^2 45°$
A.$\tan 45°$
B.$\sin 60°$
C.$\tan 60°$
D.$\cos^2 45°$
答案
A
解析
【分析】
本题考查特殊角的三角函数值的应用，解题思路分为两步：第一步先计算出题干中$2\sin 30°$的结果，第二步分别计算四个选项的三角函数值，将结果与题干结果对比，找到相等的选项即可。解题的关键是准确记忆$30°$、$45°$、$60°$这几个特殊角的正弦、余弦、正切值。
【解析】
首先计算题干的结果：
∵$\sin 30°=\frac{1}{2}$，
∴$2\sin 30°=2×\frac{1}{2}=1$。
接下来分别计算各选项的结果：
A选项：$\tan 45°=1$，与题干结果相等；
B选项：$\sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{2}≠1$，不符合要求；
C选项：$\tan 60°=\sqrt{3}≠1$，不符合要求；
D选项：
∵$\cos 45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\cos^2 45°=(\frac{\sqrt{2}}{2})^2=\frac{1}{2}≠1$，不符合要求。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于基础题，核心考查对特殊角三角函数值的记忆与简单运算，只要能准确熟记特殊角的三角函数值，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.9
本题考查特殊角的三角函数值的应用，解题思路分为两步：第一步先计算出题干中$2\sin 30°$的结果，第二步分别计算四个选项的三角函数值，将结果与题干结果对比，找到相等的选项即可。解题的关键是准确记忆$30°$、$45°$、$60°$这几个特殊角的正弦、余弦、正切值。
【解析】
首先计算题干的结果：
∵$\sin 30°=\frac{1}{2}$，
∴$2\sin 30°=2×\frac{1}{2}=1$。
接下来分别计算各选项的结果：
A选项：$\tan 45°=1$，与题干结果相等；
B选项：$\sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{2}≠1$，不符合要求；
C选项：$\tan 60°=\sqrt{3}≠1$，不符合要求；
D选项：
∵$\cos 45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\cos^2 45°=(\frac{\sqrt{2}}{2})^2=\frac{1}{2}≠1$，不符合要求。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于基础题，核心考查对特殊角三角函数值的记忆与简单运算，只要能准确熟记特殊角的三角函数值，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.9
7.已知锐角α满足$\cos(α - 10°)=\frac{1}{2}$，则锐角α的度数是()
A.$40°$
B.$55°$
C.$60°$
D.$70°$
A.$40°$
B.$55°$
C.$60°$
D.$70°$
答案
D
解析
【分析】
解题时首先回忆特殊角的三角函数值，明确余弦值为$\frac{1}{2}$的锐角是$60°$；再结合题干中$α$是锐角的限定，可得$α-10°$的取值范围符合锐角要求，因此可列等式$α-10°=60°$，最后计算求出$α$的度数即可。
【解析】
我们知道特殊角的三角函数值中，$\cos60°=\frac{1}{2}$。
已知$\cos(α - 10°)=\frac{1}{2}$，且$α$是锐角，因此$α-10°$是介于$-10°$到$80°$之间的角，在该范围内余弦值为$\frac{1}{2}$的角只有$60°$，因此可得：
$α - 10°=60°$
移项计算得：$α=60°+10°=70°$，$70°$是锐角，符合题意。
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 特殊角的三角函数值
2. 锐角的概念
【点评】
本题属于基础题，重点考查对特殊角三角函数值的记忆，以及简单的角度计算，解题的关键是准确掌握$\cos60°=\frac{1}{2}$，同时注意题干中锐角的限定条件，避免出现错解。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆特殊角的三角函数值，明确余弦值为$\frac{1}{2}$的锐角是$60°$；再结合题干中$α$是锐角的限定，可得$α-10°$的取值范围符合锐角要求，因此可列等式$α-10°=60°$，最后计算求出$α$的度数即可。
【解析】
我们知道特殊角的三角函数值中，$\cos60°=\frac{1}{2}$。
已知$\cos(α - 10°)=\frac{1}{2}$，且$α$是锐角，因此$α-10°$是介于$-10°$到$80°$之间的角，在该范围内余弦值为$\frac{1}{2}$的角只有$60°$，因此可得：
$α - 10°=60°$
移项计算得：$α=60°+10°=70°$，$70°$是锐角，符合题意。
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 特殊角的三角函数值
2. 锐角的概念
【点评】
本题属于基础题，重点考查对特殊角三角函数值的记忆，以及简单的角度计算，解题的关键是准确掌握$\cos60°=\frac{1}{2}$，同时注意题干中锐角的限定条件，避免出现错解。
【难度系数】
0.9
8.若规定$\sin(α+β)=\sinα\cosβ+\cosα\sinβ$，则$\sin75°=\sin(45°+30°)=(\quad)$
A.$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$
B.$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$
C.$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$
D.$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$
A.$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$
B.$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$
C.$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$
D.$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$
答案
A
解析
【分析】
本题属于新公式应用类题目，解题思路清晰明了：首先要明确题目给出的正弦和角公式的结构，将75°对应拆分为提示的45°+30°，匹配公式中α=45°、β=30°；其次回忆30°、45°两个特殊角的正弦、余弦值；最后把对应数值代入公式，按照二次根式运算规则计算即可得到结果。
【解析】
根据题目给出的公式$\sin(α+β)=\sinα\cosβ+\cosα\sinβ$，令$α=45°$，$β=30°$，代入可得：
$\sin75°=\sin(45°+30°)=\sin45°\cos30°+\cos45°\sin30°$
结合特殊角的三角函数值：$\sin45°=\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sin30°=\frac{1}{2}$，代入上式计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{1}{2}\\&=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}\\&=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
特殊角的三角函数值；新定义运算；二次根式计算
【点评】
本题核心是套用给定的新公式计算，解题关键是准确记忆特殊角的三角函数值，计算时要遵循二次根式的运算规则，避免出现乘法、加法计算错误。
【难度系数】
0.8
本题属于新公式应用类题目，解题思路清晰明了：首先要明确题目给出的正弦和角公式的结构，将75°对应拆分为提示的45°+30°，匹配公式中α=45°、β=30°；其次回忆30°、45°两个特殊角的正弦、余弦值；最后把对应数值代入公式，按照二次根式运算规则计算即可得到结果。
【解析】
根据题目给出的公式$\sin(α+β)=\sinα\cosβ+\cosα\sinβ$，令$α=45°$，$β=30°$，代入可得：
$\sin75°=\sin(45°+30°)=\sin45°\cos30°+\cos45°\sin30°$
结合特殊角的三角函数值：$\sin45°=\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sin30°=\frac{1}{2}$，代入上式计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{1}{2}\\&=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}\\&=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
特殊角的三角函数值；新定义运算；二次根式计算
【点评】
本题核心是套用给定的新公式计算，解题关键是准确记忆特殊角的三角函数值，计算时要遵循二次根式的运算规则，避免出现乘法、加法计算错误。
【难度系数】
0.8
9. 在$△ ABC$中，$∠ A = 60°$，$∠ B = 45°$，$AB = 2\sqrt{3}$，则$△ ABC$的面积为（）
A.$6 - 6\sqrt{3}$
B.$9 - 3\sqrt{3}$
C.$6 - 2\sqrt{3}$
D.$3\sqrt{3} - 3$
A.$6 - 6\sqrt{3}$
B.$9 - 3\sqrt{3}$
C.$6 - 2\sqrt{3}$
D.$3\sqrt{3} - 3$
答案
B
解析
【分析】
要求△ABC的面积，已知底边AB的长度，只需先求出AB边上的高即可。题目给出了两个特殊内角，因此可过点C作AB的垂线，将原三角形拆分为两个含特殊角的直角三角形，设高为未知量，利用特殊角的三角函数值表示出AB被高分成的两段长度，根据AB的总长列方程求出高，最后代入面积公式计算即可。
【解析】
解：过点C作CD⊥AB，垂足为D，设CD = h。
1. 在Rt△BCD中，∠B = 45°，
∴ △BCD为等腰直角三角形，BD = CD = h。
2. 在Rt△ACD中，∠A = 60°，
由$\tan A=\frac{CD}{AD}$，即$\tan60°=\frac{h}{AD}$，
得$AD = \frac{h}{\tan60°} = \frac{h}{\sqrt{3}}$。
3.
∵ $AB = AD + BD = 2\sqrt{3}$，
∴ $\frac{h}{\sqrt{3}} + h = 2\sqrt{3}$，
整理得：$h·\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}$，
解得$h=\frac{6}{1+\sqrt{3}}$，分母有理化得$h=3(\sqrt{3}-1)$。
4. 三角形面积$S=\frac{1}{2}× AB× CD=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×3(\sqrt{3}-1)=9-3\sqrt{3}$。
【答案】
B
【知识点】
特殊角的三角函数值，三角形面积计算，解直角三角形
【点评】
本题解题的核心是通过作高将斜三角形转化为两个特殊直角三角形，结合特殊角的三角函数值建立方程求解高，是解三角形类题目的常规考法。
【难度系数】
0.65
要求△ABC的面积，已知底边AB的长度，只需先求出AB边上的高即可。题目给出了两个特殊内角，因此可过点C作AB的垂线，将原三角形拆分为两个含特殊角的直角三角形，设高为未知量，利用特殊角的三角函数值表示出AB被高分成的两段长度，根据AB的总长列方程求出高，最后代入面积公式计算即可。
【解析】
解：过点C作CD⊥AB，垂足为D，设CD = h。
1. 在Rt△BCD中，∠B = 45°，
∴ △BCD为等腰直角三角形，BD = CD = h。
2. 在Rt△ACD中，∠A = 60°，
由$\tan A=\frac{CD}{AD}$，即$\tan60°=\frac{h}{AD}$，
得$AD = \frac{h}{\tan60°} = \frac{h}{\sqrt{3}}$。
3.
∵ $AB = AD + BD = 2\sqrt{3}$，
∴ $\frac{h}{\sqrt{3}} + h = 2\sqrt{3}$，
整理得：$h·\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}$，
解得$h=\frac{6}{1+\sqrt{3}}$，分母有理化得$h=3(\sqrt{3}-1)$。
4. 三角形面积$S=\frac{1}{2}× AB× CD=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×3(\sqrt{3}-1)=9-3\sqrt{3}$。
【答案】
B
【知识点】
特殊角的三角函数值，三角形面积计算，解直角三角形
【点评】
本题解题的核心是通过作高将斜三角形转化为两个特殊直角三角形，结合特殊角的三角函数值建立方程求解高，是解三角形类题目的常规考法。
【难度系数】
0.65
10.在$△ ABC$中，$∠ A$，$∠ B$都是锐角，且$\sin A=\dfrac{1}{2}$，$\cos B=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，则$△ ABC$是（）
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形
答案
C
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，结合∠A、∠B都是锐角的条件，根据特殊角的三角函数值，分别求出∠A和∠B的度数；第二步，利用三角形内角和为180°，计算出第三个内角∠C的度数；第三步，根据∠C的度数判断三角形的类型。
【解析】
解：
∵∠A是锐角，且$\sin A=\dfrac{1}{2}$，
∴$∠ A=30°$，
∵∠B是锐角，且$\cos B=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$∠ B=45°$，
根据三角形内角和定理得：
$∠ C=180°-∠ A-∠ B=180°-30°-45°=105°$，
∵$105°$是钝角，
∴$△ ABC$是钝角三角形。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，三角形的分类
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对特殊角三角函数值的掌握，以及三角形内角和定理的应用，只要准确记忆特殊角的三角函数值，就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
解题思路可分为三步：第一步，结合∠A、∠B都是锐角的条件，根据特殊角的三角函数值，分别求出∠A和∠B的度数；第二步，利用三角形内角和为180°，计算出第三个内角∠C的度数；第三步，根据∠C的度数判断三角形的类型。
【解析】
解：
∵∠A是锐角，且$\sin A=\dfrac{1}{2}$，
∴$∠ A=30°$，
∵∠B是锐角，且$\cos B=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$∠ B=45°$，
根据三角形内角和定理得：
$∠ C=180°-∠ A-∠ B=180°-30°-45°=105°$，
∵$105°$是钝角，
∴$△ ABC$是钝角三角形。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，三角形的分类
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对特殊角三角函数值的掌握，以及三角形内角和定理的应用，只要准确记忆特殊角的三角函数值，就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
