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1.[数学文化]《九章算术》中有一道题的条件是:“今有大器五小器一容三斛,大器一小器五容二斛.”大致意思是:有大、小两种盛米的桶,5大桶加1小桶共盛3斛米,1大桶加5小桶共盛2斛米.依据该条件,若设1个大桶可以盛米x斛,1个小桶可以盛米y斛,则可列方程组为 (
A.$\begin{cases}5x + y = 3, \\x + 5y = 2\end{cases}$
B.$\begin{cases}x + 5y = 3, \\5x + y = 2\end{cases}$
C.$\begin{cases}3x + y = 5, \\x + 5y = 2\end{cases}$
D.$\begin{cases}3x + y = 5, \\x + 5y = 3\end{cases}$
A
)A.$\begin{cases}5x + y = 3, \\x + 5y = 2\end{cases}$
B.$\begin{cases}x + 5y = 3, \\5x + y = 2\end{cases}$
C.$\begin{cases}3x + y = 5, \\x + 5y = 2\end{cases}$
D.$\begin{cases}3x + y = 5, \\x + 5y = 3\end{cases}$
答案
1.A
解析
【分析】
这是一道根据实际问题列二元一次方程组的基础题，解题核心是找准题干中的两个等量关系。首先明确题中已给出未知数的意义：x代表1个大桶的盛米量，y代表1个小桶的盛米量，接下来分别翻译两个题干条件即可：第一个条件“5大桶加1小桶共盛3斛米”，对应5个大桶的盛米总量加1个小桶的盛米量等于3斛；第二个条件“1大桶加5小桶共盛2斛米”，对应1个大桶的盛米量加5个小桶的盛米总量等于2斛，把两个等量关系转化为含x、y的方程，再对比选项就能得到答案。
【解析】
解：已知1个大桶可以盛米x斛，1个小桶可以盛米y斛。
根据“5大桶加1小桶共盛3斛米”的条件，可列方程：$5x + y = 3$；
根据“1大桶加5小桶共盛2斛米”的条件，可列方程：$x + 5y = 2$；
联立两个方程可得方程组$\begin{cases}5x + y = 3, \\x + 5y = 2\end{cases}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
列二元一次方程组、等量关系识别
【点评】
本题以古代数学典籍《九章算术》的经典问题为背景，考查结合实际情境列二元一次方程组的能力，解题的关键是读懂题意，准确提取题目中的两个等量关系，属于基础题型。
【难度系数】
0.9
这是一道根据实际问题列二元一次方程组的基础题，解题核心是找准题干中的两个等量关系。首先明确题中已给出未知数的意义：x代表1个大桶的盛米量，y代表1个小桶的盛米量，接下来分别翻译两个题干条件即可：第一个条件“5大桶加1小桶共盛3斛米”，对应5个大桶的盛米总量加1个小桶的盛米量等于3斛；第二个条件“1大桶加5小桶共盛2斛米”，对应1个大桶的盛米量加5个小桶的盛米总量等于2斛，把两个等量关系转化为含x、y的方程，再对比选项就能得到答案。
【解析】
解：已知1个大桶可以盛米x斛，1个小桶可以盛米y斛。
根据“5大桶加1小桶共盛3斛米”的条件，可列方程：$5x + y = 3$；
根据“1大桶加5小桶共盛2斛米”的条件，可列方程：$x + 5y = 2$；
联立两个方程可得方程组$\begin{cases}5x + y = 3, \\x + 5y = 2\end{cases}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
列二元一次方程组、等量关系识别
【点评】
本题以古代数学典籍《九章算术》的经典问题为背景，考查结合实际情境列二元一次方程组的能力，解题的关键是读懂题意，准确提取题目中的两个等量关系，属于基础题型。
【难度系数】
0.9
2. 某旅行团到森林游乐区参观，如表为两种参观方式与所需的缆车费用.已知旅行团的每个人皆从这两种方式中选择一种，且去程有15人搭乘缆车，回程有10人搭乘缆车.若他们缆车费用的总花费为4 100元，则此旅行团共有多少人？
（
A.16
B.19
C.22
D.25
（
A
）A.16
B.19
C.22
D.25
答案
2.A
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以通过设未知数建立方程组来求解。首先明确两类人群的缆车乘坐特点：往返都搭乘缆车的人，去程和回程均会乘坐缆车，每人贡献2次缆车乘坐记录，花费300元；单程搭乘缆车的人，仅乘坐1次缆车，花费200元。我们可以分别设这两类人群的人数为未知数，根据“总缆车乘坐人次=去程搭乘人数+回程搭乘人数”和“总缆车费用=两类人群费用之和”两个等量关系列方程组，求解后相加得到总人数。
【解析】
解：设此旅行团中去程及回程均搭乘缆车的有x人，单程搭乘缆车、单程步行的有y人。
根据题意，可列方程组：
$\begin{cases}2x + y = 15 + 10\\300x + 200y = 4100\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}2x + y = 25&①\\3x + 2y = 41&②\end{cases}$
由①得：$y = 25 - 2x$ ③
将③代入②得：
$3x + 2(25 - 2x) = 41$
$3x + 50 - 4x = 41$
解得$x = 9$
把$x=9$代入③得：$y=25 - 2×9=7$
总人数为$x + y = 9 + 7 = 16$（人）
故选A。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组的实际应用、列方程解应用题
【点评】
本题属于生活中的实际应用类题型，解题核心是理清不同参观方式对应的缆车乘坐次数和费用的对应关系，准确找到等量关系建立方程组即可求解，解题时要注意区分总人数和总乘坐人次的差异，避免混淆出错。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们可以通过设未知数建立方程组来求解。首先明确两类人群的缆车乘坐特点：往返都搭乘缆车的人，去程和回程均会乘坐缆车，每人贡献2次缆车乘坐记录，花费300元；单程搭乘缆车的人，仅乘坐1次缆车，花费200元。我们可以分别设这两类人群的人数为未知数，根据“总缆车乘坐人次=去程搭乘人数+回程搭乘人数”和“总缆车费用=两类人群费用之和”两个等量关系列方程组，求解后相加得到总人数。
【解析】
解：设此旅行团中去程及回程均搭乘缆车的有x人，单程搭乘缆车、单程步行的有y人。
根据题意，可列方程组：
$\begin{cases}2x + y = 15 + 10\\300x + 200y = 4100\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}2x + y = 25&①\\3x + 2y = 41&②\end{cases}$
由①得：$y = 25 - 2x$ ③
将③代入②得：
$3x + 2(25 - 2x) = 41$
$3x + 50 - 4x = 41$
解得$x = 9$
把$x=9$代入③得：$y=25 - 2×9=7$
总人数为$x + y = 9 + 7 = 16$（人）
故选A。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组的实际应用、列方程解应用题
【点评】
本题属于生活中的实际应用类题型，解题核心是理清不同参观方式对应的缆车乘坐次数和费用的对应关系，准确找到等量关系建立方程组即可求解，解题时要注意区分总人数和总乘坐人次的差异，避免混淆出错。
【难度系数】
0.7
3.某车间有22名工人，每人每天可以生产1 200个螺钉或2 000个螺母.1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？
答案
3.解:设安排x名工人生产螺母,y名工人生产螺钉,由题意得$\begin{cases} x+y=22, \\ 2000x=2×1200y, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x=12, \\ y=10. \end{cases}$ 答:应安排10人生产螺钉,12名工人生产螺母.
解析
【分析】
要解决这道配套问题，首先需要找准两个核心等量关系：①生产螺母的工人人数+生产螺钉的工人人数=车间总人数22；②由于1个螺钉需要配2个螺母，因此每天生产的螺母总数量=2×每天生产的螺钉总数量。我们可以设两个未知数分别对应生产两种零件的工人人数，将等量关系转化为方程组求解即可，解题时要注意不要搞反螺母和螺钉的数量倍数关系。
【解析】
解：设安排x名工人生产螺母，y名工人生产螺钉，由题意得
$\begin{cases} x+y=22, \\ 2000x=2×1200y, \end{cases}$
化简第二个方程得：$2000x=2400y$，即$5x=6y$，
由第一个方程变形得$x=22-y$，代入$5x=6y$得：
$5(22-y)=6y$
$110-5y=6y$
$11y=110$
解得$y=10$，则$x=22-10=12$。
答：应安排10人生产螺钉，12名工人生产螺母。
【答案】
应安排10名工人生产螺钉，12名工人生产螺母。
【知识点】
配套问题、二元一次方程组的应用、解二元一次方程组
【点评】
本题是配套类应用题的典型习题，解题的关键是准确提炼题目中的等量关系，尤其要注意配套要求中两种产品的数量倍数关系，避免将倍数写反导致错误。
【难度系数】
0.7
要解决这道配套问题，首先需要找准两个核心等量关系：①生产螺母的工人人数+生产螺钉的工人人数=车间总人数22；②由于1个螺钉需要配2个螺母，因此每天生产的螺母总数量=2×每天生产的螺钉总数量。我们可以设两个未知数分别对应生产两种零件的工人人数，将等量关系转化为方程组求解即可，解题时要注意不要搞反螺母和螺钉的数量倍数关系。
【解析】
解：设安排x名工人生产螺母，y名工人生产螺钉，由题意得
$\begin{cases} x+y=22, \\ 2000x=2×1200y, \end{cases}$
化简第二个方程得：$2000x=2400y$，即$5x=6y$，
由第一个方程变形得$x=22-y$，代入$5x=6y$得：
$5(22-y)=6y$
$110-5y=6y$
$11y=110$
解得$y=10$，则$x=22-10=12$。
答：应安排10人生产螺钉，12名工人生产螺母。
【答案】
应安排10名工人生产螺钉，12名工人生产螺母。
【知识点】
配套问题、二元一次方程组的应用、解二元一次方程组
【点评】
本题是配套类应用题的典型习题，解题的关键是准确提炼题目中的等量关系，尤其要注意配套要求中两种产品的数量倍数关系，避免将倍数写反导致错误。
【难度系数】
0.7
4.现用160张铁皮做盒子，每张铁皮做6个盒身或20个盒底，而一个盒身与两个盒底配成一个盒子。设用x张铁皮做盒身，y张铁皮做盒底，使盒底与盒身正好配套。可列方程组为
（
A.$\begin{cases} x + y = 160, \\ 2 × 6x = 20y \end{cases}$
B.$\begin{cases} x + y = 160, \\ 6x = 2 × 20y \end{cases}$
C.$\begin{cases} 2y + x = 160, \\ 2 × 6x = 20y \end{cases}$
D.$\begin{cases} 2y + x = 160, \\ 6x = 20y \end{cases}$
（
A
）A.$\begin{cases} x + y = 160, \\ 2 × 6x = 20y \end{cases}$
B.$\begin{cases} x + y = 160, \\ 6x = 2 × 20y \end{cases}$
C.$\begin{cases} 2y + x = 160, \\ 2 × 6x = 20y \end{cases}$
D.$\begin{cases} 2y + x = 160, \\ 6x = 20y \end{cases}$
答案
4.A
解析
【分析】
列方程组解应用题的核心是找到两个独立的等量关系。首先找总铁皮的等量：总共有160张铁皮，分别用于做盒身和盒底，因此做盒身的铁皮数x加做盒底的铁皮数y等于总张数160，得到第一个方程，可排除第一个方程不符合的选项。再找配套的等量关系：1个盒身需要配2个盒底，说明盒底总数量是盒身总数量的2倍，分别计算出盒身总数量为6x、盒底总数量为20y，代入倍数关系得到第二个方程，即可选出正确选项。
【解析】
第一步，根据铁皮总张数列方程：
做盒身的铁皮张数+做盒底的铁皮张数=160，即$x + y = 160$，由此排除第一个方程错误的C、D选项。
第二步，根据配套关系列方程：
1个盒身配2个盒底，因此盒底总数量=2×盒身总数量。
x张铁皮可做盒身共6x个，y张铁皮可做盒底共20y个，代入得：$2×6x = 20y$，由此排除第二个方程错误的B选项。
综上，正确的方程组为选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 二元一次方程组应用 2. 配套问题
【点评】
本题是典型的配套类方程组应用题，解题关键是准确提取题干中的等量关系，尤其要注意配套关系中数量的倍数对应，避免将倍数关系写反。
【难度系数】
0.75
列方程组解应用题的核心是找到两个独立的等量关系。首先找总铁皮的等量：总共有160张铁皮，分别用于做盒身和盒底，因此做盒身的铁皮数x加做盒底的铁皮数y等于总张数160，得到第一个方程，可排除第一个方程不符合的选项。再找配套的等量关系：1个盒身需要配2个盒底，说明盒底总数量是盒身总数量的2倍，分别计算出盒身总数量为6x、盒底总数量为20y，代入倍数关系得到第二个方程，即可选出正确选项。
【解析】
第一步，根据铁皮总张数列方程：
做盒身的铁皮张数+做盒底的铁皮张数=160，即$x + y = 160$，由此排除第一个方程错误的C、D选项。
第二步，根据配套关系列方程：
1个盒身配2个盒底，因此盒底总数量=2×盒身总数量。
x张铁皮可做盒身共6x个，y张铁皮可做盒底共20y个，代入得：$2×6x = 20y$，由此排除第二个方程错误的B选项。
综上，正确的方程组为选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 二元一次方程组应用 2. 配套问题
【点评】
本题是典型的配套类方程组应用题，解题关键是准确提取题干中的等量关系，尤其要注意配套关系中数量的倍数对应，避免将倍数关系写反。
【难度系数】
0.75
5. 要用16张白卡纸做包装盒，准备把这些白卡纸分成两部分，一部分x张做侧面，另一部分y张做底面。已知每张白卡纸可以做侧面2个或做底面3个，如果4个侧面可以和2个底面做成一个包装盒。则侧面要
12
张，底面要4
张。答案
5.12 4
解析
【分析】
这是典型的配套类应用题，解题需先找到两个核心等量关系：①做侧面的白卡纸张数+做底面的白卡纸张数=总张数16；②做成的包装盒数量相等，即侧面总个数除以每个包装盒需要的侧面数 = 底面总个数除以每个包装盒需要的底面数。根据这两个等量关系列方程（组），求解即可得到结果。
【解析】
解：根据题意列等量关系：
1. 总卡纸数量关系：做侧面的张数+做底面的张数=16，即$x + y = 16$
2. 配套数量关系：总侧面数÷每个包装盒所需侧面数=总底面数÷每个包装盒所需底面数
已知每张白卡纸可做2个侧面、3个底面，因此总侧面数为$2x$，总底面数为$3y$，代入得：
$\frac{2x}{4} = \frac{3y}{2}$
化简该式：左边约分后为$\frac{x}{2}$，两边同时乘2可得$x=3y$
将$x=3y$代入$x+y=16$，得：
$3y + y = 16$
解得$y=4$，则$x=16 - 4=12$
【答案】
12；4
【知识点】
二元一次方程组应用，配套问题
【点评】
本题是配套类应用题的典型题型，解题关键是准确梳理总数量关系和配套的比例对应关系，注意不要混淆配套比例，熟练掌握列方程解应用题的步骤即可快速求解。
【难度系数】
0.7
这是典型的配套类应用题，解题需先找到两个核心等量关系：①做侧面的白卡纸张数+做底面的白卡纸张数=总张数16；②做成的包装盒数量相等，即侧面总个数除以每个包装盒需要的侧面数 = 底面总个数除以每个包装盒需要的底面数。根据这两个等量关系列方程（组），求解即可得到结果。
【解析】
解：根据题意列等量关系：
1. 总卡纸数量关系：做侧面的张数+做底面的张数=16，即$x + y = 16$
2. 配套数量关系：总侧面数÷每个包装盒所需侧面数=总底面数÷每个包装盒所需底面数
已知每张白卡纸可做2个侧面、3个底面，因此总侧面数为$2x$，总底面数为$3y$，代入得：
$\frac{2x}{4} = \frac{3y}{2}$
化简该式：左边约分后为$\frac{x}{2}$，两边同时乘2可得$x=3y$
将$x=3y$代入$x+y=16$，得：
$3y + y = 16$
解得$y=4$，则$x=16 - 4=12$
【答案】
12；4
【知识点】
二元一次方程组应用，配套问题
【点评】
本题是配套类应用题的典型题型，解题关键是准确梳理总数量关系和配套的比例对应关系，注意不要混淆配套比例，熟练掌握列方程解应用题的步骤即可快速求解。
【难度系数】
0.7
6.一套仪器由一个A部件和三个B部件构成.
用$1 m^3$钢材可做40个A部件或240个B部件.现要用$6 m^3$钢材制作这种仪器,应用多少钢材做A部件,多少钢材做B部件,才能使A部件和B部件恰好配套?恰好配成这种仪器多少套?
用$1 m^3$钢材可做40个A部件或240个B部件.现要用$6 m^3$钢材制作这种仪器,应用多少钢材做A部件,多少钢材做B部件,才能使A部件和B部件恰好配套?恰好配成这种仪器多少套?
答案
6.解:设应用$x\ \mathrm{m}^3$钢材做A部件,用$y\ \mathrm{m}^3$钢材做B部件,根据题意,得$\begin{cases} x+y=6, \\ 3×40x=240y, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x=4, \\ y=2, \end{cases}$ 则$40x=160$.答:应用$4\ \mathrm{m}^3$钢材做A部件,$2\ \mathrm{m}^3$钢材做B部件,才能使A部件和B部件恰好配套,恰好配成这种仪器160套.
解析
【分析】
本题属于配套类应用题，解题时首先梳理题目中的两个核心等量关系：①制作A部件的钢材体积+制作B部件的钢材体积=总钢材体积$6\ \mathrm{m}^3$；②由于1套仪器需要1个A部件和3个B部件，因此生产出的B部件总数量=3×A部件总数量，这是配套问题的解题关键。接下来我们可以设两个未知数分别表示做A、B部件的钢材体积，再根据两个等量关系列出二元一次方程组，求解得到钢材分配结果，最后根据A部件的总数量即可得到配成仪器的总套数。
【解析】
解：设应用$x\ \mathrm{m}^3$钢材做A部件，用$y\ \mathrm{m}^3$钢材做B部件，根据题意，得
$\begin{cases} x+y=6, \\ 3×40x=240y, \end{cases}$
解这个方程组：
由第一个方程得$y=6-x$，代入第二个方程可得：
$120x=240(6-x)$
$120x=1440-240x$
$360x=1440$
解得$x=4$，则$y=6-4=2$
可配成仪器的套数等于A部件的总数量：$40x=40×4=160$
答：应用$4\ \mathrm{m}^3$钢材做A部件，$2\ \mathrm{m}^3$钢材做B部件，才能使A部件和B部件恰好配套，恰好配成这种仪器160套。
【答案】
应用$4\ \mathrm{m}^3$钢材做A部件，$2\ \mathrm{m}^3$钢材做B部件，恰好配成这种仪器160套。
【知识点】
二元一次方程组的应用、配套问题
【点评】
本题是配套问题的典型习题，解题核心是准确抓住两种部件的配套数量关系，结合总量约束列方程求解，掌握配套逻辑后很容易得出正确结果。
【难度系数】
0.8
本题属于配套类应用题，解题时首先梳理题目中的两个核心等量关系：①制作A部件的钢材体积+制作B部件的钢材体积=总钢材体积$6\ \mathrm{m}^3$；②由于1套仪器需要1个A部件和3个B部件，因此生产出的B部件总数量=3×A部件总数量，这是配套问题的解题关键。接下来我们可以设两个未知数分别表示做A、B部件的钢材体积，再根据两个等量关系列出二元一次方程组，求解得到钢材分配结果，最后根据A部件的总数量即可得到配成仪器的总套数。
【解析】
解：设应用$x\ \mathrm{m}^3$钢材做A部件，用$y\ \mathrm{m}^3$钢材做B部件，根据题意，得
$\begin{cases} x+y=6, \\ 3×40x=240y, \end{cases}$
解这个方程组：
由第一个方程得$y=6-x$，代入第二个方程可得：
$120x=240(6-x)$
$120x=1440-240x$
$360x=1440$
解得$x=4$，则$y=6-4=2$
可配成仪器的套数等于A部件的总数量：$40x=40×4=160$
答：应用$4\ \mathrm{m}^3$钢材做A部件，$2\ \mathrm{m}^3$钢材做B部件，才能使A部件和B部件恰好配套，恰好配成这种仪器160套。
【答案】
应用$4\ \mathrm{m}^3$钢材做A部件，$2\ \mathrm{m}^3$钢材做B部件，恰好配成这种仪器160套。
【知识点】
二元一次方程组的应用、配套问题
【点评】
本题是配套问题的典型习题，解题核心是准确抓住两种部件的配套数量关系，结合总量约束列方程求解，掌握配套逻辑后很容易得出正确结果。
【难度系数】
0.8
