登录
8.某工厂第一季度生产甲、乙两种机器共480台.改进生产技术后,计划第二季度生产这两种机器共554台,其中甲种机器产量要比第一季度增加10％,乙种机器产量要比第一季度增加20％.该厂第一季度生产甲、乙两种机器各多少台？
答案
8.解:设该厂第一季度生产甲种机器$x$台,乙种机器$y$台.依题意得 $\begin{cases} x+y=480, \\ (1+10\%)x+(1+20\%)y=554, \end{cases}$
解得 $\begin{cases} x=220, \\ y=260. \end{cases}$
答:该厂第一季度生产甲种机器220台,乙种机器260台.
解得 $\begin{cases} x=220, \\ y=260. \end{cases}$
答:该厂第一季度生产甲种机器220台,乙种机器260台.
解析
【分析】
这是一道用二元一次方程组求解的实际应用题，解题时先找两个核心等量关系：①第一季度甲机器产量与乙机器产量之和为480台；②第二季度甲增产10%、乙增产20%后，两种机器总产量为554台。我们可以分别设第一季度甲、乙两种机器的产量为未知数，将两个等量关系转化为方程组，再求解方程组即可得到结果。
【解析】
解：设该厂第一季度生产甲种机器$x$台，乙种机器$y$台。
根据第一季度总产量的关系，可得：$x+y=480$
根据第二季度增产之后的总产量关系，甲增产10%后产量为$(1+10\%)x$，乙增产20%后产量为$(1+20\%)y$，可得：$(1+10\%)x+(1+20\%)y=554$
联立得方程组：
$\begin{cases} x+y=480 \\ (1+10\%)x+(1+20\%)y=554 \end{cases}$
将第一个方程变形为$x=480-y$，代入第二个方程：
$1.1×(480-y)+1.2y=554$
$528-1.1y+1.2y=554$
$0.1y=26$，解得$y=260$
将$y=260$代入$x=480-y$，得$x=480-260=220$
即方程组的解为$\begin{cases} x=220 \\ y=260 \end{cases}$
答：该厂第一季度生产甲种机器220台，乙种机器260台。
【答案】
第一季度生产甲种机器220台，乙种机器260台。
【知识点】
二元一次方程组的应用、增长率问题
【点评】
本题是典型的变化率类应用题，解题关键是找准对应两个时段总产量的等量关系，列方程组求解即可，计算时注意百分数转化为小数时不要出错。
【难度系数】
0.7
这是一道用二元一次方程组求解的实际应用题，解题时先找两个核心等量关系：①第一季度甲机器产量与乙机器产量之和为480台；②第二季度甲增产10%、乙增产20%后，两种机器总产量为554台。我们可以分别设第一季度甲、乙两种机器的产量为未知数，将两个等量关系转化为方程组，再求解方程组即可得到结果。
【解析】
解：设该厂第一季度生产甲种机器$x$台，乙种机器$y$台。
根据第一季度总产量的关系，可得：$x+y=480$
根据第二季度增产之后的总产量关系，甲增产10%后产量为$(1+10\%)x$，乙增产20%后产量为$(1+20\%)y$，可得：$(1+10\%)x+(1+20\%)y=554$
联立得方程组：
$\begin{cases} x+y=480 \\ (1+10\%)x+(1+20\%)y=554 \end{cases}$
将第一个方程变形为$x=480-y$，代入第二个方程：
$1.1×(480-y)+1.2y=554$
$528-1.1y+1.2y=554$
$0.1y=26$，解得$y=260$
将$y=260$代入$x=480-y$，得$x=480-260=220$
即方程组的解为$\begin{cases} x=220 \\ y=260 \end{cases}$
答：该厂第一季度生产甲种机器220台，乙种机器260台。
【答案】
第一季度生产甲种机器220台，乙种机器260台。
【知识点】
二元一次方程组的应用、增长率问题
【点评】
本题是典型的变化率类应用题，解题关键是找准对应两个时段总产量的等量关系，列方程组求解即可，计算时注意百分数转化为小数时不要出错。
【难度系数】
0.7
9.有甲、乙两种原料，按不同比例混合后可熔炼成不同型号的合金.甲、乙两种原料若按5：4配料，则每吨混合原料的价格是5 000元.若按3：2配料，则每吨混合原料的价格是4 860元.混合前甲、乙两种原料每吨的价格各是多少元？
答案
9.解:设甲种原料每吨的价格是$x$元,乙种原料每吨的价格是$y$元,由题意,得 $\begin{cases} 5x+4y=5000×(5+4), \\ 3x+2y=4\ 860×(3+2), \end{cases}$
解得 $\begin{cases} x=3\ 600, \\ y=6\ 750. \end{cases}$
答:甲种原料每吨的价格是3 600元,乙种原料每吨的价格是6 750元.
解得 $\begin{cases} x=3\ 600, \\ y=6\ 750. \end{cases}$
答:甲种原料每吨的价格是3 600元,乙种原料每吨的价格是6 750元.
解析
【分析】
本题要求甲、乙两种原料的单价，存在两个未知量，可通过列二元一次方程组求解。首先设两个未知数分别表示甲、乙的单价，再根据两种配料方案的总费用相等找等量关系：①按5:4配料时，5吨甲的费用+4吨乙的费用=总重量（5+4）吨×每吨价格5000元；②按3:2配料时，3吨甲的费用+2吨乙的费用=总重量（3+2）吨×每吨价格4860元，列出方程组后求解即可得到答案。
【解析】
解：设混合前甲种原料每吨的价格是$x$元，乙种原料每吨的价格是$y$元。
根据题意列方程组：
$\begin{cases} 5x+4y=5000×(5+4) \\ 3x+2y=4860×(3+2) \end{cases}$
化简得：
$\begin{cases} 5x+4y=45000 ① \\ 3x+2y=24300 ② \end{cases}$
将②$×2$得：$6x+4y=48600$ ③
用③$-$①得：$x=3600$
把$x=3600$代入②得：$3×3600 + 2y=24300$，解得$y=6750$
所以方程组的解为$\begin{cases} x=3600 \\ y=6750 \end{cases}$
答：混合前甲种原料每吨的价格是3600元，乙种原料每吨的价格是6750元。
【答案】
甲种原料每吨3600元，乙种原料每吨6750元
【知识点】
二元一次方程组应用；解二元一次方程组；配比问题求解
【点评】
本题是典型的配比类应用题，解题关键是找准不同配料比例下的总费用等量关系，列方程组时要注意先计算对应配料方案的总重量，避免出现总费用计算错误的问题。
【难度系数】
0.7
本题要求甲、乙两种原料的单价，存在两个未知量，可通过列二元一次方程组求解。首先设两个未知数分别表示甲、乙的单价，再根据两种配料方案的总费用相等找等量关系：①按5:4配料时，5吨甲的费用+4吨乙的费用=总重量（5+4）吨×每吨价格5000元；②按3:2配料时，3吨甲的费用+2吨乙的费用=总重量（3+2）吨×每吨价格4860元，列出方程组后求解即可得到答案。
【解析】
解：设混合前甲种原料每吨的价格是$x$元，乙种原料每吨的价格是$y$元。
根据题意列方程组：
$\begin{cases} 5x+4y=5000×(5+4) \\ 3x+2y=4860×(3+2) \end{cases}$
化简得：
$\begin{cases} 5x+4y=45000 ① \\ 3x+2y=24300 ② \end{cases}$
将②$×2$得：$6x+4y=48600$ ③
用③$-$①得：$x=3600$
把$x=3600$代入②得：$3×3600 + 2y=24300$，解得$y=6750$
所以方程组的解为$\begin{cases} x=3600 \\ y=6750 \end{cases}$
答：混合前甲种原料每吨的价格是3600元，乙种原料每吨的价格是6750元。
【答案】
甲种原料每吨3600元，乙种原料每吨6750元
【知识点】
二元一次方程组应用；解二元一次方程组；配比问题求解
【点评】
本题是典型的配比类应用题，解题关键是找准不同配料比例下的总费用等量关系，列方程组时要注意先计算对应配料方案的总重量，避免出现总费用计算错误的问题。
【难度系数】
0.7
10.[学科素养·应用意识]某出租汽车公司有出租车100辆，平均每天每辆车消耗的汽油费为80元，为了减少环境污染，市场推出一种叫“CNG”的改烧汽油为烧天然气的装置，每辆车改装价格为4000元.公司第一次改装了部分车辆后核算:已改装后的车辆每天的燃料费占剩下未改装车辆每天燃料费的15%,公司第二次再改装同样多的车辆后,所有改装后的车辆每天的燃料费占剩下未改装车辆每天燃料费的40%.
(1)公司共改装了多少辆出租车？改装后的每辆出租车平均每天的燃料费比改装前的燃料费下降了百分之多少？
(2)若公司一次性将全部出租车改装，多少天后就可以从节省的燃料费中收回成本？
(1)公司共改装了多少辆出租车？改装后的每辆出租车平均每天的燃料费比改装前的燃料费下降了百分之多少？
(2)若公司一次性将全部出租车改装，多少天后就可以从节省的燃料费中收回成本？
答案
10.解:(1)设公司第一次改装了$y$辆车,改装后的每辆出租车平均每天的燃料费比改装前的燃料费下降的百分数为$x$,依题意,得
$\begin{cases} y(1-x)×80=\dfrac{3}{20}(100-y)×80, \\ 2y(1-x)×80=\dfrac{2}{5}(100-2y)×80, \end{cases}$
解得 $\begin{cases} x=\dfrac{2}{5}=40\%, \\ y=20. \end{cases}$
由题意知第二次改装的辆数与第一次同样多,所以$20 + 20 =40$(辆).答:公司共改装了40辆车,改装后的每辆出租车平均每天的燃料费比改装前的燃料费下降了40%.
(2)设一次性改装后,$m$天可以收回成本,则 $100×80×40\%×m=4\ 000×100$,解得 $m=125$.答:125天后就可以从节省的燃料费中收回成本.
$\begin{cases} y(1-x)×80=\dfrac{3}{20}(100-y)×80, \\ 2y(1-x)×80=\dfrac{2}{5}(100-2y)×80, \end{cases}$
解得 $\begin{cases} x=\dfrac{2}{5}=40\%, \\ y=20. \end{cases}$
由题意知第二次改装的辆数与第一次同样多,所以$20 + 20 =40$(辆).答:公司共改装了40辆车,改装后的每辆出租车平均每天的燃料费比改装前的燃料费下降了40%.
(2)设一次性改装后,$m$天可以收回成本,则 $100×80×40\%×m=4\ 000×100$,解得 $m=125$.答:125天后就可以从节省的燃料费中收回成本.
解析
【分析】
解题时可按以下思路思考：
(1) 第一问存在两个未知量：每次改装的车辆数、改装后燃料费下降的百分比，因此设两个未知数，根据两次改装后的燃料费比例关系列二元一次方程组求解。两个等量关系分别为：①第一次改装后，已改装车辆总燃料费=未改装车辆总燃料费×15%；②第二次改装后，所有已改装车辆总燃料费=剩余未改装车辆总燃料费×40%。解出未知数后，总改装量为两次改装数量之和。
(2) 第二问求收回成本的时间，首先明确“收回成本”即累计节省的燃料总费用等于全部车辆的改装总成本，据此设未知数列一元一次方程求解即可。
【解析】
(1) 设公司第一次改装了$y$辆车，改装后的每辆出租车平均每天的燃料费比改装前的燃料费下降的百分数为$x$，依题意列方程组：
$\begin{cases} y(1-x)×80=\dfrac{3}{20}(100-y)×80 \\ 2y(1-x)×80=\dfrac{2}{5}(100-2y)×80 \end{cases}$
方程两边同时约去80化简后，解得 $\begin{cases} x=\dfrac{2}{5}=40\% \\ y=20 \end{cases}$
因为第二次改装的辆数与第一次相同，所以总改装车辆数为$20 + 20 =40$（辆）。
(2) 设一次性将全部出租车改装后，$m$天可以收回成本，根据“总节省燃料费=总改装成本”列方程：
$100×80×40\%×m=4\ 000×100$
解得$m=125$。
【答案】
(1) 公司共改装了40辆出租车，改装后的每辆出租车平均每天的燃料费比改装前的燃料费下降了40%；
(2) 125天后就可以从节省的燃料费中收回成本。
【知识点】
二元一次方程组应用，百分率问题，一元一次方程应用
【点评】
本题结合生活实际场景考察方程的实际应用，解题核心是准确提炼题目中的等量关系，需要理解改装后燃料费的比例关系、“收回成本”的实际含义，对提升实际问题分析能力有较好的训练作用。
【难度系数】
0.6
解题时可按以下思路思考：
(1) 第一问存在两个未知量：每次改装的车辆数、改装后燃料费下降的百分比，因此设两个未知数，根据两次改装后的燃料费比例关系列二元一次方程组求解。两个等量关系分别为：①第一次改装后，已改装车辆总燃料费=未改装车辆总燃料费×15%；②第二次改装后，所有已改装车辆总燃料费=剩余未改装车辆总燃料费×40%。解出未知数后，总改装量为两次改装数量之和。
(2) 第二问求收回成本的时间，首先明确“收回成本”即累计节省的燃料总费用等于全部车辆的改装总成本，据此设未知数列一元一次方程求解即可。
【解析】
(1) 设公司第一次改装了$y$辆车，改装后的每辆出租车平均每天的燃料费比改装前的燃料费下降的百分数为$x$，依题意列方程组：
$\begin{cases} y(1-x)×80=\dfrac{3}{20}(100-y)×80 \\ 2y(1-x)×80=\dfrac{2}{5}(100-2y)×80 \end{cases}$
方程两边同时约去80化简后，解得 $\begin{cases} x=\dfrac{2}{5}=40\% \\ y=20 \end{cases}$
因为第二次改装的辆数与第一次相同，所以总改装车辆数为$20 + 20 =40$（辆）。
(2) 设一次性将全部出租车改装后，$m$天可以收回成本，根据“总节省燃料费=总改装成本”列方程：
$100×80×40\%×m=4\ 000×100$
解得$m=125$。
【答案】
(1) 公司共改装了40辆出租车，改装后的每辆出租车平均每天的燃料费比改装前的燃料费下降了40%；
(2) 125天后就可以从节省的燃料费中收回成本。
【知识点】
二元一次方程组应用，百分率问题，一元一次方程应用
【点评】
本题结合生活实际场景考察方程的实际应用，解题核心是准确提炼题目中的等量关系，需要理解改装后燃料费的比例关系、“收回成本”的实际含义，对提升实际问题分析能力有较好的训练作用。
【难度系数】
0.6
