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5. 新趋势·数学文化《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法，“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺(即图中的ABC)。“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度。如图，点A,B,Q在同一水平线上，∠ABC和∠AQP均为直角，AP与BC相交于点D，测得AB = 40 cm，BD = 20 cm，BQ = 11.6 m，则树高PQ为 (
A.5.8 m
B.6 m
C.6.8 m
D.25.8 m
B
)A.5.8 m
B.6 m
C.6.8 m
D.25.8 m
答案
5 B
∵ 点A,B,Q在同一水平线上,∠ABC = ∠AQP = 90°,∠A = ∠A,
∴ △ABD∽△AQP,
∴ PQ/BD = AQ/AB.
∵ AB = 40 cm,BD = 20 cm,BQ = 11.6 m = 1 160 cm(注意统一单位),
∴ AQ = 40 + 1 160 = 1 200(cm),
∴ PQ/20 = 1200/40,解得 PQ = 600,
∴ PQ = 600 cm = 6 m.
∵ 点A,B,Q在同一水平线上,∠ABC = ∠AQP = 90°,∠A = ∠A,
∴ △ABD∽△AQP,
∴ PQ/BD = AQ/AB.
∵ AB = 40 cm,BD = 20 cm,BQ = 11.6 m = 1 160 cm(注意统一单位),
∴ AQ = 40 + 1 160 = 1 200(cm),
∴ PQ/20 = 1200/40,解得 PQ = 600,
∴ PQ = 600 cm = 6 m.
解析
【分析】
解决本题首先观察图形的角的特征：存在公共角∠A，还有两个相等的直角，首先想到利用两角分别相等判定两个三角形相似，再借助相似三角形对应边成比例的性质建立等式求解树高。解题时要注意先统一所有长度的单位，避免单位不一致导致计算错误。具体步骤为：先证明△ABD与△AQP相似，再计算AQ的总长度，代入比例式求解PQ后换算单位得到最终结果。
【解析】
∵ 点A,B,Q在同一水平线上，$∠ ABC = ∠ AQP = 90°$，$∠ A$是公共角，
∴ $△ ABD ∽ △ AQP$（两角分别相等的两个三角形相似），
∴ 对应边成比例：$\frac{PQ}{BD}=\frac{AQ}{AB}$。
已知$AB=40\ \mathrm{cm}$，$BD=20\ \mathrm{cm}$，$BQ=11.6\ \mathrm{m}=1160\ \mathrm{cm}$，
∴ $AQ=AB+BQ=40+1160=1200\ \mathrm{cm}$，
将数值代入比例式得：$\frac{PQ}{20}=\frac{1200}{40}$，
解得$PQ=600\ \mathrm{cm}=6\ \mathrm{m}$。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形判定，相似三角形性质，长度单位换算
【点评】
本题结合古代数学文化背景，考查相似三角形在实际测量中的应用，解题的核心是准确识别相似三角形，计算时要格外注意单位统一，避免因单位混淆出现错误。
【难度系数】
0.7
解决本题首先观察图形的角的特征：存在公共角∠A，还有两个相等的直角，首先想到利用两角分别相等判定两个三角形相似，再借助相似三角形对应边成比例的性质建立等式求解树高。解题时要注意先统一所有长度的单位，避免单位不一致导致计算错误。具体步骤为：先证明△ABD与△AQP相似，再计算AQ的总长度，代入比例式求解PQ后换算单位得到最终结果。
【解析】
∵ 点A,B,Q在同一水平线上，$∠ ABC = ∠ AQP = 90°$，$∠ A$是公共角，
∴ $△ ABD ∽ △ AQP$（两角分别相等的两个三角形相似），
∴ 对应边成比例：$\frac{PQ}{BD}=\frac{AQ}{AB}$。
已知$AB=40\ \mathrm{cm}$，$BD=20\ \mathrm{cm}$，$BQ=11.6\ \mathrm{m}=1160\ \mathrm{cm}$，
∴ $AQ=AB+BQ=40+1160=1200\ \mathrm{cm}$，
将数值代入比例式得：$\frac{PQ}{20}=\frac{1200}{40}$，
解得$PQ=600\ \mathrm{cm}=6\ \mathrm{m}$。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形判定，相似三角形性质，长度单位换算
【点评】
本题结合古代数学文化背景，考查相似三角形在实际测量中的应用，解题的核心是准确识别相似三角形，计算时要格外注意单位统一，避免因单位混淆出现错误。
【难度系数】
0.7
6. [2026包头青山区期末]如图1是两扇完全相同的半开窗户,图2是其俯视示意图,双窗的距离CD为10 cm,点C和点D到窗台AB的距离DE,CG均为25 cm,则窗台AB的长为
130
cm. 答案
6 130 如图,取 AB 的中点 O,则AO = AD = BO = BC(推开窗户的过程可看作以点 A 为圆心、AD 为半径画圆),
∴ AB = 2AD. 在Rt△ADE中,由勾股定理可得AD² = AE² + DE².
∵ 四边形 CDEG 为矩形,
∴ CD = GE = 10 cm,
∴ OE = 5 cm.
∵ AE = AO - OE = AD - OE,DE = 25 cm,
∴ AD² = (AD - 5)² + 25²,
∴ AD = 65 cm,
∴ AB = 2AD = 2×65 = 130(cm).
解析
【分析】
首先结合生活实际分析窗户开合的特点：窗户推开的过程可看作以窗轴A、B为圆心，窗户侧边长度为半径的圆弧运动，因此可得AD=AO，BC=BO，又因为两扇窗户完全相同，故AO=BO，即AB=2AD。再观察图形，DE、CG均垂直于AB，CD平行于AB，因此四边形CDEG是矩形，可得CD=GE=10cm，结合O是AB中点可推出OE=5cm。最后在Rt△ADE中，AE=AO-OE=AD-5，已知DE=25cm，利用勾股定理列出关于AD的方程，求解得到AD的长度后即可算出AB的长。
【解析】
取AB的中点O，根据窗户开合的特点，推开窗户的过程可看作以点A为圆心、AD为半径画圆，因此AO=AD，同理BO=BC。
∵两扇窗户完全相同，
∴AD=BC，
∴AO=BO=AD=BC，即AB=2AO=2AD。
∵DE⊥AB，CG⊥AB，CD//AB，
∴四边形CDEG为矩形，
∴GE=CD=10cm。
∵O是AB中点，
∴OE=OG=½GE=5cm。
在Rt△ADE中，由勾股定理得：$AD^2=AE^2+DE^2$，
其中$AE=AO-OE=AD-5$，$DE=25\mathrm{cm}$，代入得：
$AD^2=(AD-5)^2+25^2$
展开计算：$AD^2=AD^2-10AD+25+625$
移项化简得：$10AD=650$，解得$AD=65\mathrm{cm}$
∴$AB=2AD=2×65=130\mathrm{cm}$
【答案】
130
【知识点】
勾股定理的应用，矩形的性质，一元一次方程的应用
【点评】
本题以生活中常见的窗户开合场景为背景，将实际问题转化为几何计算问题，解题的关键是结合生活常识得到AD与AO的等量关系，再借助勾股定理建立方程求解，很好地考查了数学建模能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.6
首先结合生活实际分析窗户开合的特点：窗户推开的过程可看作以窗轴A、B为圆心，窗户侧边长度为半径的圆弧运动，因此可得AD=AO，BC=BO，又因为两扇窗户完全相同，故AO=BO，即AB=2AD。再观察图形，DE、CG均垂直于AB，CD平行于AB，因此四边形CDEG是矩形，可得CD=GE=10cm，结合O是AB中点可推出OE=5cm。最后在Rt△ADE中，AE=AO-OE=AD-5，已知DE=25cm，利用勾股定理列出关于AD的方程，求解得到AD的长度后即可算出AB的长。
【解析】
取AB的中点O，根据窗户开合的特点，推开窗户的过程可看作以点A为圆心、AD为半径画圆，因此AO=AD，同理BO=BC。
∵两扇窗户完全相同，
∴AD=BC，
∴AO=BO=AD=BC，即AB=2AO=2AD。
∵DE⊥AB，CG⊥AB，CD//AB，
∴四边形CDEG为矩形，
∴GE=CD=10cm。
∵O是AB中点，
∴OE=OG=½GE=5cm。
在Rt△ADE中，由勾股定理得：$AD^2=AE^2+DE^2$，
其中$AE=AO-OE=AD-5$，$DE=25\mathrm{cm}$，代入得：
$AD^2=(AD-5)^2+25^2$
展开计算：$AD^2=AD^2-10AD+25+625$
移项化简得：$10AD=650$，解得$AD=65\mathrm{cm}$
∴$AB=2AD=2×65=130\mathrm{cm}$
【答案】
130
【知识点】
勾股定理的应用，矩形的性质，一元一次方程的应用
【点评】
本题以生活中常见的窗户开合场景为背景，将实际问题转化为几何计算问题，解题的关键是结合生活常识得到AD与AO的等量关系，再借助勾股定理建立方程求解，很好地考查了数学建模能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.6
7. 跨学科·物理 [2026长春力旺实验学校期末] 物理课上同学们在做定滑轮实验，实验初始状态如图1，将一根长度固定的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上（物体C静止在水平轨道上），通过滑块B的左右滑动调节物体C的升降。此时物体C到滑块B的水平距离为30 cm，定滑轮A到物体C的高度为40 cm。（定滑轮A，滑块B，物体C的大小忽略不计）
(1)绳子的总长为
(2)如图2，若滑块B水平向左滑动45 cm，求物体C上升的高度。
(1)绳子的总长为
90
cm；(2)如图2，若滑块B水平向左滑动45 cm，求物体C上升的高度。
答案
7 解:(1)90
在Rt△ABC中,AC = 40 cm,BC = 30 cm,由勾股定理可得AB = √(AC²+BC²) = √(40²+30²) = 50(cm),
∴ 绳子的总长为AB + AC = 50 + 40 = 90(cm).
(2)根据题意可得物体 C 上升的高度 CC' = AC - AC'.
在Rt△AB'C中,
∵ B'B = 45 cm,
∴ B'C = 45 + 30 = 75(cm),
由勾股定理可得AB' = √(B'C²+AC²) = √(75²+40²) = 85(cm).
∵ 绳子的总长为 90 cm,
∴ AC' = 90 - 85 = 5(cm),
∴ 物体 C 上升的高度 CC' = 40 - 5 = 35(cm).
在Rt△ABC中,AC = 40 cm,BC = 30 cm,由勾股定理可得AB = √(AC²+BC²) = √(40²+30²) = 50(cm),
∴ 绳子的总长为AB + AC = 50 + 40 = 90(cm).
(2)根据题意可得物体 C 上升的高度 CC' = AC - AC'.
在Rt△AB'C中,
∵ B'B = 45 cm,
∴ B'C = 45 + 30 = 75(cm),
由勾股定理可得AB' = √(B'C²+AC²) = √(75²+40²) = 85(cm).
∵ 绳子的总长为 90 cm,
∴ AC' = 90 - 85 = 5(cm),
∴ 物体 C 上升的高度 CC' = 40 - 5 = 35(cm).
解析
【分析】
本题结合定滑轮实验的实际情境考查勾股定理的应用，解题时需抓住绳子总长不变这一核心特点：
(1) 初始状态下△ABC是直角三角形，已知两条直角边AC、BC的长度，先利用勾股定理求出斜边AB的长度，绳子总长即为AB与AC的长度和；
(2) 滑块B左移后，先求出新的直角三角形AB'C的水平直角边B'C的长度，再用勾股定理求出斜边AB'的长度，结合绳子总长不变求出此时AC'的长度，物体C上升的高度就是原来AC的长度减去AC'的长度。
【解析】
(1) 由题意可知△ABC为直角三角形，∠C=90°，AC=40cm，BC=30cm，
根据勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{40^2+30^2}=50$（cm），
绳子总长为$AB+AC=50+40=90$（cm）。
(2) 滑块B水平向左滑动45cm后，水平距离$B'C=BC+B'B=30+45=75$（cm），
在Rt△AB'C中，由勾股定理得：$AB'=\sqrt{B'C^2+AC^2}=\sqrt{75^2+40^2}=85$（cm），
因为绳子总长固定为90cm，所以此时竖直段绳子长度$AC'=90-AB'=90-85=5$（cm），
则物体C上升的高度$CC'=AC-AC'=40-5=35$（cm）。
【答案】
(1) $\boldsymbol{90}$；(2) $\boldsymbol{35\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
勾股定理的应用，实际问题几何建模
【点评】
本题结合物理定滑轮实验场景，将实际测量问题转化为直角三角形边长计算问题，解题的关键是明确绳子总长不变的特点，灵活运用勾股定理求解，能够很好地考查跨学科知识融合运用的能力。
【难度系数】
0.7
本题结合定滑轮实验的实际情境考查勾股定理的应用，解题时需抓住绳子总长不变这一核心特点：
(1) 初始状态下△ABC是直角三角形，已知两条直角边AC、BC的长度，先利用勾股定理求出斜边AB的长度，绳子总长即为AB与AC的长度和；
(2) 滑块B左移后，先求出新的直角三角形AB'C的水平直角边B'C的长度，再用勾股定理求出斜边AB'的长度，结合绳子总长不变求出此时AC'的长度，物体C上升的高度就是原来AC的长度减去AC'的长度。
【解析】
(1) 由题意可知△ABC为直角三角形，∠C=90°，AC=40cm，BC=30cm，
根据勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{40^2+30^2}=50$（cm），
绳子总长为$AB+AC=50+40=90$（cm）。
(2) 滑块B水平向左滑动45cm后，水平距离$B'C=BC+B'B=30+45=75$（cm），
在Rt△AB'C中，由勾股定理得：$AB'=\sqrt{B'C^2+AC^2}=\sqrt{75^2+40^2}=85$（cm），
因为绳子总长固定为90cm，所以此时竖直段绳子长度$AC'=90-AB'=90-85=5$（cm），
则物体C上升的高度$CC'=AC-AC'=40-5=35$（cm）。
【答案】
(1) $\boldsymbol{90}$；(2) $\boldsymbol{35\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
勾股定理的应用，实际问题几何建模
【点评】
本题结合物理定滑轮实验场景，将实际测量问题转化为直角三角形边长计算问题，解题的关键是明确绳子总长不变的特点，灵活运用勾股定理求解，能够很好地考查跨学科知识融合运用的能力。
【难度系数】
0.7
8. 教材习题变式|应用意识 [2025兰州城关区天庆实验中学期中]如图,A,B两个工厂位于一段直线形河的异侧,A厂到河边的距离$AC=1\ \mathrm{km}$,B厂到河边的距离$BD=2\ \mathrm{km}$,经测量,河上C,D两地间的距离$CD=3\ \mathrm{km}$,现准备在河边某处(河宽不计)修一个污水处理厂E.
(1)设$CE=x\ \mathrm{km}$,请用含$x$的代数式表示$AE + BE$.
(2)为使两厂的排污管道总长度最短,污水处理厂E的位置应确定在哪里?请在图中画出.需要多长的管道?(结果精确到$0.1\ \mathrm{km}$)
(1)设$CE=x\ \mathrm{km}$,请用含$x$的代数式表示$AE + BE$.
(2)为使两厂的排污管道总长度最短,污水处理厂E的位置应确定在哪里?请在图中画出.需要多长的管道?(结果精确到$0.1\ \mathrm{km}$)
答案
8 解:(1)
∵ CD = 3 km,
∴ DE = (3 - x)km,
∴ AE = √(AC²+CE²) = √(1+x²) km, BE = √(DE²+BD²) = √((3-x)²+4) km,
∴ AE + BE = (√(1+x²) + √((3-x)²+4))km.
(2)如图,连接 AB 交 CD 于点 E,点 E 即污水处理厂的位置(两点之间线段最短).
过点 B 作 BF//CD,交 AC 的延长线于点 F,则四边形 BDCF 是矩形,
∴ BD = CF = 2 km,CD = BF = 3 km,
∴ AF = AC + CF = 3 km,
∴ AB = √(AF²+BF²) = √(3²+3²) = 3√2(km) ≈4.3(km),
∴ △ABF 是等腰直角三角形,
∴ ∠ABF = 45°.
∵ AC⊥CD,BF//CD,
∴ ∠AEC = ∠ABF = 45°.
∴ △ACE 是等腰直角三角形,
∴ AC = CE = 1 km.
∴ 污水处理厂 E 的位置应确定在离 C 1 km 处,需要 4.3 km 的管道.
解析
【分析】
(1) 由图可知AC⊥CD、BD⊥CD，因此△ACE和△BDE均为直角三角形。已知CE=x km，CD=3 km，可得DE=(3-x)km，分别对两个直角三角形应用勾股定理表示出AE、BE的长度，相加即可得到AE+BE的表达式。
(2) 根据“两点之间线段最短”，连接AB与CD的交点即为总长度最短时污水处理厂E的位置。要求最短总长度，可过B作BF平行于CD，交AC的延长线于F，构造出矩形BDCF和直角三角形ABF，先通过矩形性质得到BF、CF的长度，再在Rt△ABF中用勾股定理算出AB的长度就是最短总长度，最后根据三角形的角度特征算出CE的长度，即可确定E的位置。
【解析】
(1)
∵ CD = 3 km，CE=x km，
∴ DE = CD - CE = (3 - x)km，
在Rt△ACE中，由勾股定理得：$AE = \sqrt{AC^2+CE^2} = \sqrt{1+x^2}\ \mathrm{km}$，
在Rt△BDE中，由勾股定理得：$BE = \sqrt{DE^2+BD^2} = \sqrt{(3-x)^2+4}\ \mathrm{km}$，
∴ $AE + BE = (\sqrt{1+x^2} + \sqrt{(3-x)^2+4})\mathrm{km}$。
(2) 根据两点之间线段最短，连接AB交CD于点E，该点即为污水处理厂的位置。
过点B作BF//CD，交AC的延长线于点F，
∵ AC⊥CD，BD⊥CD，BF//CD，
∴ 四边形BDCF是矩形，
∴ BD = CF = 2 km，CD = BF = 3 km，
∴ AF = AC + CF = 1 + 2 = 3 km，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：$AB = \sqrt{AF^2+BF^2} = \sqrt{3^2+3^2} = 3\sqrt{2} \approx4.3(\mathrm{km})$，
此时△ABF是等腰直角三角形，
∴ $∠ ABF = 45°$，
∵ BF//CD，
∴ $∠ AEC = ∠ ABF = 45°$，
∴ △ACE是等腰直角三角形，
∴ CE = AC = 1 km。
【答案】
(1) $AE+BE=(\sqrt{1+x^2}+\sqrt{(3-x)^2+4})\mathrm{km}$；
(2) 污水处理厂E应建在距离C点1km处，最短管道总长约为4.3km，位置如图：
【知识点】
勾股定理，最短路径问题，矩形的性质
【点评】
本题以实际工程选址问题为载体，考查了几何知识在实际生活中的应用，解题关键是利用两点之间线段最短确定最优位置，通过构造辅助线将分散的线段整合到同一个直角三角形中计算长度，能有效锻炼学生的建模能力和计算能力。
【难度系数】
0.7
(1) 由图可知AC⊥CD、BD⊥CD，因此△ACE和△BDE均为直角三角形。已知CE=x km，CD=3 km，可得DE=(3-x)km，分别对两个直角三角形应用勾股定理表示出AE、BE的长度，相加即可得到AE+BE的表达式。
(2) 根据“两点之间线段最短”，连接AB与CD的交点即为总长度最短时污水处理厂E的位置。要求最短总长度，可过B作BF平行于CD，交AC的延长线于F，构造出矩形BDCF和直角三角形ABF，先通过矩形性质得到BF、CF的长度，再在Rt△ABF中用勾股定理算出AB的长度就是最短总长度，最后根据三角形的角度特征算出CE的长度，即可确定E的位置。
【解析】
(1)
∵ CD = 3 km，CE=x km，
∴ DE = CD - CE = (3 - x)km，
在Rt△ACE中，由勾股定理得：$AE = \sqrt{AC^2+CE^2} = \sqrt{1+x^2}\ \mathrm{km}$，
在Rt△BDE中，由勾股定理得：$BE = \sqrt{DE^2+BD^2} = \sqrt{(3-x)^2+4}\ \mathrm{km}$，
∴ $AE + BE = (\sqrt{1+x^2} + \sqrt{(3-x)^2+4})\mathrm{km}$。
(2) 根据两点之间线段最短，连接AB交CD于点E，该点即为污水处理厂的位置。
过点B作BF//CD，交AC的延长线于点F，
∵ AC⊥CD，BD⊥CD，BF//CD，
∴ 四边形BDCF是矩形，
∴ BD = CF = 2 km，CD = BF = 3 km，
∴ AF = AC + CF = 1 + 2 = 3 km，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：$AB = \sqrt{AF^2+BF^2} = \sqrt{3^2+3^2} = 3\sqrt{2} \approx4.3(\mathrm{km})$，
此时△ABF是等腰直角三角形，
∴ $∠ ABF = 45°$，
∵ BF//CD，
∴ $∠ AEC = ∠ ABF = 45°$，
∴ △ACE是等腰直角三角形，
∴ CE = AC = 1 km。
【答案】
(1) $AE+BE=(\sqrt{1+x^2}+\sqrt{(3-x)^2+4})\mathrm{km}$；
(2) 污水处理厂E应建在距离C点1km处，最短管道总长约为4.3km，位置如图：
【知识点】
勾股定理，最短路径问题，矩形的性质
【点评】
本题以实际工程选址问题为载体，考查了几何知识在实际生活中的应用，解题关键是利用两点之间线段最短确定最优位置，通过构造辅助线将分散的线段整合到同一个直角三角形中计算长度，能有效锻炼学生的建模能力和计算能力。
【难度系数】
0.7
