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1. 新情境 体育课上,侧压腿动作可以抽象为如图所示的几何图形,点O,A,B在同一条直线上.若∠1=120°,∠ABC=90°,AB=40 cm,则AC的长为 (
A.20 cm
B.40 cm
C.80 cm
D.160 cm
C
)A.20 cm
B.40 cm
C.80 cm
D.160 cm
答案
∵ ∠1 = 120°,
∴ ∠BAC = 60°,
∴ ∠ACB = 30°.
∵ AB = 40 cm,
∴ AC = 2AB = 2 × 40 = 80(cm).
解析
【分析】
解题时首先根据邻补角和为180°，结合已知∠1=120°求出∠BAC的度数；再在Rt△ABC中，利用直角三角形两锐角互余求出∠ACB的度数，可得∠ACB=30°；最后根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，结合已知AB的长度即可求出AC的长。
【解析】
∵ 点O,A,B在同一条直线上，∠1=120°，
∴ ∠BAC = 180° - ∠1 = 180° - 120° = 60°，
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，
∴ ∠ACB = 90° - ∠BAC = 90° - 60° = 30°，
根据直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，AB是∠ACB对的直角边，
∴ AC = 2AB，
∵ AB=40 cm，
∴ AC = 2×40 = 80(cm)。
【答案】C
【知识点】邻补角性质；直角三角形两锐角互余；含30°角的直角三角形性质
【点评】本题结合生活中的运动场景考查直角三角形相关性质，解题的关键是先推导得到30°的内角，再对应性质计算边长，属于基础类应用题，注重对基础知识的考查。
【难度系数】0.8
解题时首先根据邻补角和为180°，结合已知∠1=120°求出∠BAC的度数；再在Rt△ABC中，利用直角三角形两锐角互余求出∠ACB的度数，可得∠ACB=30°；最后根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，结合已知AB的长度即可求出AC的长。
【解析】
∵ 点O,A,B在同一条直线上，∠1=120°，
∴ ∠BAC = 180° - ∠1 = 180° - 120° = 60°，
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，
∴ ∠ACB = 90° - ∠BAC = 90° - 60° = 30°，
根据直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，AB是∠ACB对的直角边，
∴ AC = 2AB，
∵ AB=40 cm，
∴ AC = 2×40 = 80(cm)。
【答案】C
【知识点】邻补角性质；直角三角形两锐角互余；含30°角的直角三角形性质
【点评】本题结合生活中的运动场景考查直角三角形相关性质，解题的关键是先推导得到30°的内角，再对应性质计算边长，属于基础类应用题，注重对基础知识的考查。
【难度系数】0.8
2. [2025安徽中考]如图，在$△ ABC$中，$∠ A = 120°$，$AB = AC$，边$AC$的中点为$D$，边$BC$上的点$E$满足$ED ⊥ AC$。若$DE = \sqrt{3}$，则$AC$的长是（
A.$4\sqrt{3}$
B.$6$
C.$2\sqrt{3}$
D.$3$
B
）A.$4\sqrt{3}$
B.$6$
C.$2\sqrt{3}$
D.$3$
答案
∵ ∠A = 120°, AB = AC,
∴ ∠B = ∠C = 1/2 × (180° - 120°) = 30°.
∵ ED ⊥ AC,
∴ ∠CDE = 90°,
∴ CE = 2DE = 2√3.
在Rt△CDE中,DE = √3, CE = 2√3,由勾股定理可得 CD = √(CE² - DE²) = √((2√3)² - (√3)²) = 3.
∵ 边AC的中点为D,
∴ AC = 2CD = 2 × 3 = 6.
解析
【分析】
解题时可按以下思路逐步推导：①首先根据等腰三角形“等边对等角”的性质，结合三角形内角和，计算出底角∠C的度数；②观察到ED⊥AC，可得△CDE是直角三角形，利用“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”求出CE的长度；③在Rt△CDE中用勾股定理计算出CD的长度；④最后根据D是AC中点的性质，即可求出AC的长度。
【解析】
∵ ∠A = 120°, AB = AC,
∴ ∠B = ∠C = $\frac{1}{2}$ × (180° - 120°) = 30°.
∵ ED ⊥ AC,
∴ ∠CDE = 90°,
∴ CE = 2DE = 2$\sqrt{3}$.
在Rt△CDE中，DE = $\sqrt{3}$, CE = 2$\sqrt{3}$, 由勾股定理可得：
CD = $\sqrt{CE^2 - DE^2}$ = $\sqrt{(2\sqrt{3})^2 - (\sqrt{3})^2}$ = 3.
∵ 边AC的中点为D,
∴ AC = 2CD = 2 × 3 = 6.
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题属于基础类几何计算题，解题的关键是先利用等腰三角形的性质求出30°的特殊角，再结合直角三角形的相关性质和勾股定理逐步推导线段长度，熟练掌握三角形基础性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
解题时可按以下思路逐步推导：①首先根据等腰三角形“等边对等角”的性质，结合三角形内角和，计算出底角∠C的度数；②观察到ED⊥AC，可得△CDE是直角三角形，利用“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”求出CE的长度；③在Rt△CDE中用勾股定理计算出CD的长度；④最后根据D是AC中点的性质，即可求出AC的长度。
【解析】
∵ ∠A = 120°, AB = AC,
∴ ∠B = ∠C = $\frac{1}{2}$ × (180° - 120°) = 30°.
∵ ED ⊥ AC,
∴ ∠CDE = 90°,
∴ CE = 2DE = 2$\sqrt{3}$.
在Rt△CDE中，DE = $\sqrt{3}$, CE = 2$\sqrt{3}$, 由勾股定理可得：
CD = $\sqrt{CE^2 - DE^2}$ = $\sqrt{(2\sqrt{3})^2 - (\sqrt{3})^2}$ = 3.
∵ 边AC的中点为D,
∴ AC = 2CD = 2 × 3 = 6.
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题属于基础类几何计算题，解题的关键是先利用等腰三角形的性质求出30°的特殊角，再结合直角三角形的相关性质和勾股定理逐步推导线段长度，熟练掌握三角形基础性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
3. [2024 兰州中考]如图,四边形ABCD为正方形,△ADE为等边三角形,EF⊥AB于点F.若AD=4,则EF=
2
.答案
∵ 四边形ABCD为正方形,
∴ ∠FAD = 90°.
∵ △ADE为等边三角形,
∴ ∠EAD = 60°, AE = AD = 4,
∴ ∠FAE = 30°.
∵ EF ⊥ AB,
∴ EF = 1/2 AE = 2.
解析
【分析】
解题时先结合已知特殊图形的性质推导相关边的长度和角的度数：首先利用正方形的性质得到∠BAD为90°，再结合等边三角形的性质得到AE的长度和∠EAD的度数，进而求出∠FAE的度数；最后在直角△AEF中，利用30°角所对的直角边等于斜边一半的性质，即可求出EF的长度。
【解析】
∵ 四边形ABCD为正方形，
∴ ∠FAD = 90°。
∵ △ADE为等边三角形，
∴ ∠EAD = 60°，AE = AD = 4，
∴ ∠FAE = ∠FAD - ∠EAD = 30°。
∵ EF ⊥ AB，即△AFE是直角三角形，
∴ EF = $\frac{1}{2}$AE = $\frac{1}{2}$×4 = 2。
【答案】
2
【知识点】
正方形的性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题关键是结合特殊图形的性质推导角的度数与边的长度关系，再利用直角三角形的特殊性质求解，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
解题时先结合已知特殊图形的性质推导相关边的长度和角的度数：首先利用正方形的性质得到∠BAD为90°，再结合等边三角形的性质得到AE的长度和∠EAD的度数，进而求出∠FAE的度数；最后在直角△AEF中，利用30°角所对的直角边等于斜边一半的性质，即可求出EF的长度。
【解析】
∵ 四边形ABCD为正方形，
∴ ∠FAD = 90°。
∵ △ADE为等边三角形，
∴ ∠EAD = 60°，AE = AD = 4，
∴ ∠FAE = ∠FAD - ∠EAD = 30°。
∵ EF ⊥ AB，即△AFE是直角三角形，
∴ EF = $\frac{1}{2}$AE = $\frac{1}{2}$×4 = 2。
【答案】
2
【知识点】
正方形的性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题关键是结合特殊图形的性质推导角的度数与边的长度关系，再利用直角三角形的特殊性质求解，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
4. [2026榆林期末]如图,在$△ ABC$中,$∠ B = 90°$,$∠ BAC = 60°$,$∠ BAC$的平分线$AD$交$BC$于点$D$,过点$D$作$DE ⊥ AC$于点$E$.若$BD = 3$,则$CD$的长为
6
.答案
∵ ∠B = 90°, ∠BAC = 60°,
∴ ∠C = 30°,
∴ CD = 2DE.
∵ AD平分∠CAB, DB ⊥ AB, DE ⊥ AC,
∴ DE = BD = 3(角平分线的性质),
∴ CD = 2DE = 2 × 3 = 6.
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手，首先看到AD是∠BAC的角平分线，且DB⊥AB、DE⊥AC，可联想到角平分线的性质，得到DE与BD相等；再根据△ABC的内角条件求出∠C的度数，结合直角三角形中30°角所对直角边是斜边一半的性质，即可推出CD与DE的数量关系，代入数值就能计算得到CD的长度。
【解析】
在△ABC中，∠B=90°，∠BAC=60°，
∴∠C=180°-∠B-∠BAC=30°，
在Rt△DEC中，∠C=30°，可得CD=2DE（直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半）。
∵AD平分∠BAC，DB⊥AB，DE⊥AC，
∴DE=BD=3（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∴CD=2DE=2×3=6。
【答案】
6
【知识点】
角平分线的性质；直角三角形两锐角互余；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，将角平分线的性质与直角三角形的特殊性质结合考查，解题的关键是准确找到相等的线段和特殊角对应的边的关系，计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件入手，首先看到AD是∠BAC的角平分线，且DB⊥AB、DE⊥AC，可联想到角平分线的性质，得到DE与BD相等；再根据△ABC的内角条件求出∠C的度数，结合直角三角形中30°角所对直角边是斜边一半的性质，即可推出CD与DE的数量关系，代入数值就能计算得到CD的长度。
【解析】
在△ABC中，∠B=90°，∠BAC=60°，
∴∠C=180°-∠B-∠BAC=30°，
在Rt△DEC中，∠C=30°，可得CD=2DE（直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半）。
∵AD平分∠BAC，DB⊥AB，DE⊥AC，
∴DE=BD=3（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∴CD=2DE=2×3=6。
【答案】
6
【知识点】
角平分线的性质；直角三角形两锐角互余；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，将角平分线的性质与直角三角形的特殊性质结合考查，解题的关键是准确找到相等的线段和特殊角对应的边的关系，计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.8
5. 教材练习变式 如图，一艘轮船自西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东$75°$，航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东$60°$.若小岛周围的3.8海里内有暗礁，则该船一直向东航行，有无触礁的危险？并说明理由.
答案
有触礁的危险. 理由如下：
如图,过点P作PD ⊥ AB交AB的延长线于点D.
∵ 在A处测得小岛P在北偏东75°方向,
∴ ∠PAB = 15°.
∵ 在B处测得小岛P在北偏东60°方向,
∴ ∠PBD = 30°,
∴ ∠APB = ∠PBD - ∠PAB = 15°,
∴ ∠APB = ∠PAB,
∴ PB = AB = 7 海里.
∵ ∠PBD = 30°, ∠PDB = 90°,
∴ PD = 1/2 PB = 1/2 × 7 = 3.5(海里).
∵ 3.5 ＜ 3.8,
∴ 该船一直向东航行,有触礁的危险.
解析
【分析】
要判断轮船是否有触礁危险，本质是比较小岛P到轮船航行路线（直线AB）的最短距离与3.8海里的大小关系，点到直线的最短距离为垂线段长度，因此首先过P作PD⊥AB交AB延长线于D，只需计算PD的长度即可。首先根据给出的方位角，换算出△ABP中的内角∠PAB和外角∠PBD，利用三角形外角性质推出∠APB=∠PAB，得到PB=AB=7海里；再在Rt△PBD中，利用含30°角的直角三角形的性质求出PD的长度，最后和3.8比较大小就能得出结论。
【解析】
解：过点P作PD ⊥ AB交AB的延长线于点D。
∵ 正北方向与AB所在的正西正东方向垂直，在A处测得小岛P在北偏东75°方向，
∴ ∠PAB = 90° - 75° = 15°。
∵ 同理，在B处测得小岛P在北偏东60°方向，
∴ ∠PBD = 90° - 60° = 30°。
∵ ∠PBD是△ABP的外角，
∴ ∠APB = ∠PBD - ∠PAB = 30° - 15° = 15°，
∴ ∠APB = ∠PAB，根据等角对等边可得 PB = AB = 7 海里。
在Rt△PBD中，∠PBD = 30°, ∠PDB = 90°，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，得：
PD = $\frac{1}{2}$ PB = $\frac{1}{2}$ × 7 = 3.5（海里）。
∵ 3.5 ＜ 3.8，
∴ 该船一直向东航行有触礁的危险。
【答案】
有触礁的危险. 理由如下：
如图,过点P作PD ⊥ AB交AB的延长线于点D.
∵ 在A处测得小岛P在北偏东75°方向,
∴ ∠PAB = 15°.
∵ 在B处测得小岛P在北偏东60°方向,
∴ ∠PBD = 30°,
∴ ∠APB = ∠PBD - ∠PAB = 15°,
∴ ∠APB = ∠PAB,
∴ PB = AB = 7 海里.
∵ ∠PBD = 30°, ∠PDB = 90°,
∴ PD = 1/2 PB = 1/2 × 7 = 3.5(海里).
∵ 3.5 ＜ 3.8,
∴ 该船一直向东航行,有触礁的危险.
【知识点】
方位角的应用，等腰三角形的判定，含30°角的直角三角形性质
【点评】
本题是直角三角形性质的实际应用类题型，解题核心是将实际的触礁问题转化为点到直线的距离比较问题，需要准确理解方位角的含义，结合三角形角度关系和特殊直角三角形的性质求解，贴合生活实际，能够考查学生的数学建模能力。
【难度系数】
0.7
要判断轮船是否有触礁危险，本质是比较小岛P到轮船航行路线（直线AB）的最短距离与3.8海里的大小关系，点到直线的最短距离为垂线段长度，因此首先过P作PD⊥AB交AB延长线于D，只需计算PD的长度即可。首先根据给出的方位角，换算出△ABP中的内角∠PAB和外角∠PBD，利用三角形外角性质推出∠APB=∠PAB，得到PB=AB=7海里；再在Rt△PBD中，利用含30°角的直角三角形的性质求出PD的长度，最后和3.8比较大小就能得出结论。
【解析】
解：过点P作PD ⊥ AB交AB的延长线于点D。
∵ 正北方向与AB所在的正西正东方向垂直，在A处测得小岛P在北偏东75°方向，
∴ ∠PAB = 90° - 75° = 15°。
∵ 同理，在B处测得小岛P在北偏东60°方向，
∴ ∠PBD = 90° - 60° = 30°。
∵ ∠PBD是△ABP的外角，
∴ ∠APB = ∠PBD - ∠PAB = 30° - 15° = 15°，
∴ ∠APB = ∠PAB，根据等角对等边可得 PB = AB = 7 海里。
在Rt△PBD中，∠PBD = 30°, ∠PDB = 90°，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，得：
PD = $\frac{1}{2}$ PB = $\frac{1}{2}$ × 7 = 3.5（海里）。
∵ 3.5 ＜ 3.8，
∴ 该船一直向东航行有触礁的危险。
【答案】
有触礁的危险. 理由如下：
如图,过点P作PD ⊥ AB交AB的延长线于点D.
∵ 在A处测得小岛P在北偏东75°方向,
∴ ∠PAB = 15°.
∵ 在B处测得小岛P在北偏东60°方向,
∴ ∠PBD = 30°,
∴ ∠APB = ∠PBD - ∠PAB = 15°,
∴ ∠APB = ∠PAB,
∴ PB = AB = 7 海里.
∵ ∠PBD = 30°, ∠PDB = 90°,
∴ PD = 1/2 PB = 1/2 × 7 = 3.5(海里).
∵ 3.5 ＜ 3.8,
∴ 该船一直向东航行,有触礁的危险.
【知识点】
方位角的应用，等腰三角形的判定，含30°角的直角三角形性质
【点评】
本题是直角三角形性质的实际应用类题型，解题核心是将实际的触礁问题转化为点到直线的距离比较问题，需要准确理解方位角的含义，结合三角形角度关系和特殊直角三角形的性质求解，贴合生活实际，能够考查学生的数学建模能力。
【难度系数】
0.7
6. 教材练习变式 [2026长春朝阳区期末] 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C = 90°$，$BC = 6$，$AC = 9$，折叠$△ ACB$，使点$A$与$BC$的中点$D$重合，折痕交$AB$于点$E$，交$AC$于点$F$，则$CF$的长为
4
. 答案
在Rt△CDF中,由勾股定理可得 CF² = DF² - CD².
∵ D是BC的中点,
∴ CD = 3. 由折叠的性质可得 AF = FD.
∵ AC = 9,
∴ DF = 9 - CF,
∴ CF² = (9 - CF)² - 3²,解得 CF = 4.
∵ D是BC的中点,
∴ CD = 3. 由折叠的性质可得 AF = FD.
∵ AC = 9,
∴ DF = 9 - CF,
∴ CF² = (9 - CF)² - 3²,解得 CF = 4.
解析
【分析】
解题时先从所求线段CF入手，CF位于直角△CDF中，已知∠C=90°，若能表示出△CDF的另外两条边即可用勾股定理求解。第一步先根据D是BC中点求出CD的长度；第二步利用折叠的性质得到相等线段AF=DF，将DF用含CF的代数式表示；第三步把三条边代入勾股定理列方程，解方程即可得到CF的长度。
【解析】
解：
∵ D是BC的中点，BC=6，
∴ CD = $\frac{1}{2}$BC = 3。
根据折叠的性质可得：AF = FD，
∵ AC=9，
∴ DF = AF = AC - CF = 9 - CF，
在Rt△CDF中，∠C=90°，由勾股定理得：
$CF^2 + CD^2 = DF^2$，
代入得：$CF^2 + 3^2 = (9 - CF)^2$，
展开计算：$CF^2 + 9 = 81 - 18CF + CF^2$，
消去$CF^2$后化简得：18CF = 72，
解得：CF = 4。
【答案】
4
【知识点】
折叠的性质、勾股定理、中点的定义
【点评】
本题是几何折叠计算的常规题型，核心是借助折叠的性质转化相等线段，将未知量和已知量整合到同一个直角三角形中，通过勾股定理建立方程求解，渗透了方程思想在几何问题中的应用。
【难度系数】
0.7
解题时先从所求线段CF入手，CF位于直角△CDF中，已知∠C=90°，若能表示出△CDF的另外两条边即可用勾股定理求解。第一步先根据D是BC中点求出CD的长度；第二步利用折叠的性质得到相等线段AF=DF，将DF用含CF的代数式表示；第三步把三条边代入勾股定理列方程，解方程即可得到CF的长度。
【解析】
解：
∵ D是BC的中点，BC=6，
∴ CD = $\frac{1}{2}$BC = 3。
根据折叠的性质可得：AF = FD，
∵ AC=9，
∴ DF = AF = AC - CF = 9 - CF，
在Rt△CDF中，∠C=90°，由勾股定理得：
$CF^2 + CD^2 = DF^2$，
代入得：$CF^2 + 3^2 = (9 - CF)^2$，
展开计算：$CF^2 + 9 = 81 - 18CF + CF^2$，
消去$CF^2$后化简得：18CF = 72，
解得：CF = 4。
【答案】
4
【知识点】
折叠的性质、勾股定理、中点的定义
【点评】
本题是几何折叠计算的常规题型，核心是借助折叠的性质转化相等线段，将未知量和已知量整合到同一个直角三角形中，通过勾股定理建立方程求解，渗透了方程思想在几何问题中的应用。
【难度系数】
0.7
变式 [2026 银川三中期末] 如图,在三角形纸片$ABC$中,$∠ BAC=90°$,$AB=3$,$AC=5$,将$△ ABC$折叠,使点$B$,$C$在$BC$上重合于点$D$处,则$AE$的长为
17/5
.答案
由折叠的性质可得∠ADB = ∠B, ∠EDC = ∠C.
∵ ∠B + ∠C = 90°,
∴ ∠ADE = 180° - 90° = 90°. 在Rt△ADE中,由勾股定理可得 AE² = AD² + DE². 由折叠的性质可得 AD = AB = 3, CE = DE.
∵ AC = 5,
∴ DE = 5 - AE,
∴ AE² = 3² + (5 - AE)²,解得 AE = 17/5.
∵ ∠B + ∠C = 90°,
∴ ∠ADE = 180° - 90° = 90°. 在Rt△ADE中,由勾股定理可得 AE² = AD² + DE². 由折叠的性质可得 AD = AB = 3, CE = DE.
∵ AC = 5,
∴ DE = 5 - AE,
∴ AE² = 3² + (5 - AE)²,解得 AE = 17/5.
解析
【分析】
解决本题首先从折叠的性质入手，折叠前后对应角相等、对应边相等，因此可先得到∠ADB=∠B，∠EDC=∠C，AD=AB，CE=DE。结合∠BAC=90°，可得∠B+∠C=90°，进而推导出∠ADE为直角，此时可在Rt△ADE中利用勾股定理建立方程求解。已知AC=5，可将DE用含AE的式子表示，代入勾股公式解方程即可得到AE的长度。
【解析】
由折叠的性质可得：$∠ ADB = ∠ B$，$∠ EDC = ∠ C$，$AD=AB=3$，$CE=DE$。
∵ 在$Rt△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，
∴ $∠ B + ∠ C = 90°$，
∴ $∠ ADB + ∠ EDC = ∠ B + ∠ C = 90°$，
∴ $∠ ADE = 180° - (∠ ADB + ∠ EDC) = 180° - 90° = 90°$，即$△ ADE$是直角三角形。
∵ $AC = AE + CE = 5$，
∴ $CE = 5 - AE$，即$DE = 5 - AE$。
在$Rt△ ADE$中，由勾股定理得：$AE^2 = AD^2 + DE^2$，
代入得：$AE^2 = 3^2 + (5 - AE)^2$，
展开计算：$AE^2 = 9 + 25 - 10AE + AE^2$，
移项化简得：$10AE = 34$，
解得：$AE = \frac{17}{5}$。
【答案】
$\dfrac{17}{5}$
【知识点】
折叠的性质，直角三角形两锐角互余，勾股定理的应用
【点评】
本题是几何折叠类的典型题型，解题核心是利用折叠的性质挖掘出相等的边与角，进而构造出直角三角形，结合方程思想通过勾股定理求解未知线段长度，需要熟练掌握折叠性质与勾股定理的结合应用方法。
【难度系数】
0.6
解决本题首先从折叠的性质入手，折叠前后对应角相等、对应边相等，因此可先得到∠ADB=∠B，∠EDC=∠C，AD=AB，CE=DE。结合∠BAC=90°，可得∠B+∠C=90°，进而推导出∠ADE为直角，此时可在Rt△ADE中利用勾股定理建立方程求解。已知AC=5，可将DE用含AE的式子表示，代入勾股公式解方程即可得到AE的长度。
【解析】
由折叠的性质可得：$∠ ADB = ∠ B$，$∠ EDC = ∠ C$，$AD=AB=3$，$CE=DE$。
∵ 在$Rt△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，
∴ $∠ B + ∠ C = 90°$，
∴ $∠ ADB + ∠ EDC = ∠ B + ∠ C = 90°$，
∴ $∠ ADE = 180° - (∠ ADB + ∠ EDC) = 180° - 90° = 90°$，即$△ ADE$是直角三角形。
∵ $AC = AE + CE = 5$，
∴ $CE = 5 - AE$，即$DE = 5 - AE$。
在$Rt△ ADE$中，由勾股定理得：$AE^2 = AD^2 + DE^2$，
代入得：$AE^2 = 3^2 + (5 - AE)^2$，
展开计算：$AE^2 = 9 + 25 - 10AE + AE^2$，
移项化简得：$10AE = 34$，
解得：$AE = \frac{17}{5}$。
【答案】
$\dfrac{17}{5}$
【知识点】
折叠的性质，直角三角形两锐角互余，勾股定理的应用
【点评】
本题是几何折叠类的典型题型，解题核心是利用折叠的性质挖掘出相等的边与角，进而构造出直角三角形，结合方程思想通过勾股定理求解未知线段长度，需要熟练掌握折叠性质与勾股定理的结合应用方法。
【难度系数】
0.6
7. 教材例题变式 [2026天水麦积区期末] 如图,在长方形纸片ABCD中,AB=10,AD=8,点E在AD边上,将△ABE沿BE折叠后,点A落在CD边上的点F处.
(1)求DF的长;
(2)求△BEF的面积.
(1)求DF的长;
(2)求△BEF的面积.
答案
(1)在Rt△BCF中,BF = AB = 10, BC = AD = 8,
由勾股定理可得 CF = √(BF² - BC²) = √(10² - 8²) = 6,
∴ DF = DC - CF = AB - CF = 10 - 6 = 4.
(2)由折叠的性质可得 S△BEF = S△AEB.
在Rt△DEF中,DE² = EF² - DF².
∵ EF = AD - DE = 8 - DE, DF = 4,
∴ DE² = (8 - DE)² - 4²,解得 DE = 3,
∴ AE = AD - DE = 8 - 3 = 5,
∴ S△BEF = S△AEB = 1/2 AB · AE = 1/2 × 10 × 5 = 25.
得分要点：折叠前后图形中的对应角相等,对应线段相等.
由勾股定理可得 CF = √(BF² - BC²) = √(10² - 8²) = 6,
∴ DF = DC - CF = AB - CF = 10 - 6 = 4.
(2)由折叠的性质可得 S△BEF = S△AEB.
在Rt△DEF中,DE² = EF² - DF².
∵ EF = AD - DE = 8 - DE, DF = 4,
∴ DE² = (8 - DE)² - 4²,解得 DE = 3,
∴ AE = AD - DE = 8 - 3 = 5,
∴ S△BEF = S△AEB = 1/2 AB · AE = 1/2 × 10 × 5 = 25.
得分要点：折叠前后图形中的对应角相等,对应线段相等.
解析
【分析】
(1) 求DF的长时，已知长方形对边DC=AB=10，只需先求出CF的长度即可。根据折叠的性质，折叠后对应边BF=AB=10，结合长方形中BC=AD=8，在Rt△BCF中用勾股定理可算出CF，再用DC减去CF就能得到DF。
(2) 求△BEF的面积时，根据折叠性质可知△BEF与△BEA面积相等，因此只需计算△ABE的面积。△ABE的底AB已知，只需再求出高AE的长度：设AE为x，则EF=x，DE=8-x，在Rt△DEF中结合已求的DF=4，用勾股定理列方程即可求出AE，进而算出面积。
【解析】
(1)
∵ 四边形ABCD是长方形，
∴ BC=AD=8，DC=AB=10，∠C=90°，
由折叠的性质可得：BF=AB=10，
在Rt△BCF中，由勾股定理得：
$CF=\sqrt{BF^2-BC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6$，
∴ $DF=DC-CF=10-6=4$。
(2) 由折叠的性质可得：$△ BEF≌△ BEA$，即$EF=AE$，$S_{△ BEF}=S_{△ AEB}$，
设$AE=EF=x$，则$DE=AD-AE=8-x$，
在Rt△DEF中，由勾股定理得：
$DE^2+DF^2=EF^2$，
代入得：$(8-x)^2+4^2=x^2$，
展开化简得：$64-16x+x^2+16=x^2$，
解得$x=5$，即$AE=5$，
∴ $S_{△ BEF}=S_{△ AEB}=\frac{1}{2}× AB× AE=\frac{1}{2}×10×5=25$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{DF=4}$；
(2) $\boldsymbol{S_{△ BEF}=25}$
【知识点】
矩形的性质，折叠的性质，勾股定理
【点评】
本题是折叠类几何计算的基础题型，解题关键是利用折叠的性质转化相等的边和面积，结合勾股定理建立方程求解，能够很好地考察几何性质的应用能力和方程思想的运用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 求DF的长时，已知长方形对边DC=AB=10，只需先求出CF的长度即可。根据折叠的性质，折叠后对应边BF=AB=10，结合长方形中BC=AD=8，在Rt△BCF中用勾股定理可算出CF，再用DC减去CF就能得到DF。
(2) 求△BEF的面积时，根据折叠性质可知△BEF与△BEA面积相等，因此只需计算△ABE的面积。△ABE的底AB已知，只需再求出高AE的长度：设AE为x，则EF=x，DE=8-x，在Rt△DEF中结合已求的DF=4，用勾股定理列方程即可求出AE，进而算出面积。
【解析】
(1)
∵ 四边形ABCD是长方形，
∴ BC=AD=8，DC=AB=10，∠C=90°，
由折叠的性质可得：BF=AB=10，
在Rt△BCF中，由勾股定理得：
$CF=\sqrt{BF^2-BC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6$，
∴ $DF=DC-CF=10-6=4$。
(2) 由折叠的性质可得：$△ BEF≌△ BEA$，即$EF=AE$，$S_{△ BEF}=S_{△ AEB}$，
设$AE=EF=x$，则$DE=AD-AE=8-x$，
在Rt△DEF中，由勾股定理得：
$DE^2+DF^2=EF^2$，
代入得：$(8-x)^2+4^2=x^2$，
展开化简得：$64-16x+x^2+16=x^2$，
解得$x=5$，即$AE=5$，
∴ $S_{△ BEF}=S_{△ AEB}=\frac{1}{2}× AB× AE=\frac{1}{2}×10×5=25$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{DF=4}$；
(2) $\boldsymbol{S_{△ BEF}=25}$
【知识点】
矩形的性质，折叠的性质，勾股定理
【点评】
本题是折叠类几何计算的基础题型，解题关键是利用折叠的性质转化相等的边和面积，结合勾股定理建立方程求解，能够很好地考察几何性质的应用能力和方程思想的运用能力。
【难度系数】
0.7
