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[2024自贡中考]为测量水平操场上旗杆的高度,九(2)班各学习小组运用了多种测量方法.
(1)如图1,小张在测量时发现,自己在操场上的影长EF恰好等于自己的身高DE.此时,小组同学测得旗杆AB的影长BC为11.3 m,据此可得旗杆高度为
(2)如图2,小李站在操场上点E处,前面水平放置镜面C,并通过镜面观测到旗杆顶部A,小组同学测得小李的眼睛距地面高度$DE = 1.5$ m,小李到镜面距离$EC = 2$ m,镜面到旗杆的距离$CB = 16$ m. 求旗杆高度.
(3)小王所在小组采用图3的方法测量,结果误差较大. 在更新测量工具,优化测量方法后,测量精度明显提高,研学旅行时,他们利用自制工具,成功测量了江姐故里广场雕塑的高度.方法如下:
如图4,在透明的塑料软管内注入适量的水,利用连通器原理,保持管内水面$M,N$两点始终处于同一水平线上.
如图5,在支架上端$P$处,用细线系小重物$Q$,标高线$PQ$始终垂直于水平地面.
如图6,在江姐故里广场上点$E$处,同学们用注水管确定与雕塑底部$B$处于同一水平线的$D,G$两点,并标记观测视线$DA$与标高线交点$C$,测得标高$CG = 1.8$ m,$DG = 1.5$ m. 将观测点$D$后移24 m到点$D'$处.采用同样方法,测得$C'G' = 1.2$ m,$D'G' = 2$ m. 求雕塑高度.(结果精确到1 m)
(1)如图1,小张在测量时发现,自己在操场上的影长EF恰好等于自己的身高DE.此时,小组同学测得旗杆AB的影长BC为11.3 m,据此可得旗杆高度为
11.3
m.(2)如图2,小李站在操场上点E处,前面水平放置镜面C,并通过镜面观测到旗杆顶部A,小组同学测得小李的眼睛距地面高度$DE = 1.5$ m,小李到镜面距离$EC = 2$ m,镜面到旗杆的距离$CB = 16$ m. 求旗杆高度.
(3)小王所在小组采用图3的方法测量,结果误差较大. 在更新测量工具,优化测量方法后,测量精度明显提高,研学旅行时,他们利用自制工具,成功测量了江姐故里广场雕塑的高度.方法如下:
如图4,在透明的塑料软管内注入适量的水,利用连通器原理,保持管内水面$M,N$两点始终处于同一水平线上.
如图5,在支架上端$P$处,用细线系小重物$Q$,标高线$PQ$始终垂直于水平地面.
如图6,在江姐故里广场上点$E$处,同学们用注水管确定与雕塑底部$B$处于同一水平线的$D,G$两点,并标记观测视线$DA$与标高线交点$C$,测得标高$CG = 1.8$ m,$DG = 1.5$ m. 将观测点$D$后移24 m到点$D'$处.采用同样方法,测得$C'G' = 1.2$ m,$D'G' = 2$ m. 求雕塑高度.(结果精确到1 m)
答案
解:(1)11.3
(2)$\because ∠ DEC = ∠ ABC = 90°$,$∠ DCE = ∠ ACB$(根据光的反射定理可得),
$\therefore △ DEC ∽ △ ABC$,$\therefore \frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EC}$,即$\frac{AB}{1.5} = \frac{16}{2}$,
解得 $AB = 12$,$\therefore$ 旗杆高度为 $12\ \mathrm{m}$.
(3)$\because ∠ CDG = ∠ ADB$,$∠ CGD = ∠ ABD = 90°$,
$\therefore △ DCG ∽ △ DAB$,$\therefore \frac{CG}{AB} = \frac{DG}{DB}$.
设 $AB = x\ \mathrm{m}$,$BD = y\ \mathrm{m}$,
则$\frac{1.8}{x} = \frac{1.5}{y}$,$\therefore y = \frac{5}{6}x$.
同理,可得$\frac{C'G'}{AB} = \frac{D'G'}{D'B}$,$\therefore \frac{1.2}{x} = \frac{2}{24 + y}$,
$\therefore \frac{1.2}{x} = \frac{2}{24 + \frac{5}{6}x}$,解得 $x = 28.8$.
经检验,$x = 28.8$ 是原分式方程的解且符合实际,
$\therefore AB \approx 29\ \mathrm{m}$,即雕塑高度约为 $29\ \mathrm{m}$.
(2)$\because ∠ DEC = ∠ ABC = 90°$,$∠ DCE = ∠ ACB$(根据光的反射定理可得),
$\therefore △ DEC ∽ △ ABC$,$\therefore \frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EC}$,即$\frac{AB}{1.5} = \frac{16}{2}$,
解得 $AB = 12$,$\therefore$ 旗杆高度为 $12\ \mathrm{m}$.
(3)$\because ∠ CDG = ∠ ADB$,$∠ CGD = ∠ ABD = 90°$,
$\therefore △ DCG ∽ △ DAB$,$\therefore \frac{CG}{AB} = \frac{DG}{DB}$.
设 $AB = x\ \mathrm{m}$,$BD = y\ \mathrm{m}$,
则$\frac{1.8}{x} = \frac{1.5}{y}$,$\therefore y = \frac{5}{6}x$.
同理,可得$\frac{C'G'}{AB} = \frac{D'G'}{D'B}$,$\therefore \frac{1.2}{x} = \frac{2}{24 + y}$,
$\therefore \frac{1.2}{x} = \frac{2}{24 + \frac{5}{6}x}$,解得 $x = 28.8$.
经检验,$x = 28.8$ 是原分式方程的解且符合实际,
$\therefore AB \approx 29\ \mathrm{m}$,即雕塑高度约为 $29\ \mathrm{m}$.
解析
【分析】
(1) 同一时刻同一地点，物高和影长的比值为定值。已知人的身高等于影长，说明此时物高与影长相等，因此旗杆高度等于它的影长，直接代入影长数值即可得到结果。
(2) 根据光的反射定律可得入射角等于反射角，进而推出两组角对应相等，证明△DEC和△ABC相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知数据即可求出旗杆高度。
(3) 两次观测都可得到一组相似三角形，设雕塑高度和B到第一次观测点的水平距离为未知数，根据相似三角形的比例关系列两个等式，联立得到分式方程，解方程后检验符合实际，取近似值即可得到雕塑高度。
【解析】
(1) 同一时刻物高与影长成正比，由人的身高DE=影长EF，可得旗杆高度AB=影长BC=11.3 m。
(2) 由光的反射定律可得∠DCE=∠ACB，
∵∠DEC=∠ABC=90°，
∴△DEC∽△ABC，
∴$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EC}$，
将DE=1.5 m，EC=2 m，CB=16 m代入得：$\frac{AB}{1.5}=\frac{16}{2}$，
解得AB=12 m，即旗杆高度为12 m。
(3)
∵CG⊥DB，AB⊥DB，
∴∠CGD=∠ABD=90°，
又
∵∠CDG=∠ADB，
∴△DCG∽△DAB，
∴$\frac{CG}{AB}=\frac{DG}{DB}$，
设AB=x m，BD=y m，代入CG=1.8 m，DG=1.5 m得：$\frac{1.8}{x}=\frac{1.5}{y}$，整理得$y=\frac{5}{6}x$。
同理可证△D'C'G'∽△D'AB，可得$\frac{C'G'}{AB}=\frac{D'G'}{D'B}$，其中D'B=24+y，
代入C'G'=1.2 m，D'G'=2 m得：$\frac{1.2}{x}=\frac{2}{24+y}$，
将$y=\frac{5}{6}x$代入上式得：$\frac{1.2}{x}=\frac{2}{24+\frac{5}{6}x}$，
解得x=28.8，经检验x=28.8是原分式方程的解且符合实际，
∴$AB\approx29\ \mathrm{m}$，即雕塑高度约为29 m。
【答案】
(1) 11.3
(2) 12 m
(3) 29 m
【知识点】
相似三角形的应用，平行投影性质，分式方程的应用
【点评】
本题结合生活中的测量场景，考查用数学知识解决实际问题的能力，需要熟练掌握相似三角形的判定和性质，能结合题意建立方程模型求解，题目贴近生活，有利于锻炼实践应用和数学建模能力。
【难度系数】
0.6
(1) 同一时刻同一地点，物高和影长的比值为定值。已知人的身高等于影长，说明此时物高与影长相等，因此旗杆高度等于它的影长，直接代入影长数值即可得到结果。
(2) 根据光的反射定律可得入射角等于反射角，进而推出两组角对应相等，证明△DEC和△ABC相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知数据即可求出旗杆高度。
(3) 两次观测都可得到一组相似三角形，设雕塑高度和B到第一次观测点的水平距离为未知数，根据相似三角形的比例关系列两个等式，联立得到分式方程，解方程后检验符合实际，取近似值即可得到雕塑高度。
【解析】
(1) 同一时刻物高与影长成正比，由人的身高DE=影长EF，可得旗杆高度AB=影长BC=11.3 m。
(2) 由光的反射定律可得∠DCE=∠ACB，
∵∠DEC=∠ABC=90°，
∴△DEC∽△ABC，
∴$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EC}$，
将DE=1.5 m，EC=2 m，CB=16 m代入得：$\frac{AB}{1.5}=\frac{16}{2}$，
解得AB=12 m，即旗杆高度为12 m。
(3)
∵CG⊥DB，AB⊥DB，
∴∠CGD=∠ABD=90°，
又
∵∠CDG=∠ADB，
∴△DCG∽△DAB，
∴$\frac{CG}{AB}=\frac{DG}{DB}$，
设AB=x m，BD=y m，代入CG=1.8 m，DG=1.5 m得：$\frac{1.8}{x}=\frac{1.5}{y}$，整理得$y=\frac{5}{6}x$。
同理可证△D'C'G'∽△D'AB，可得$\frac{C'G'}{AB}=\frac{D'G'}{D'B}$，其中D'B=24+y，
代入C'G'=1.2 m，D'G'=2 m得：$\frac{1.2}{x}=\frac{2}{24+y}$，
将$y=\frac{5}{6}x$代入上式得：$\frac{1.2}{x}=\frac{2}{24+\frac{5}{6}x}$，
解得x=28.8，经检验x=28.8是原分式方程的解且符合实际，
∴$AB\approx29\ \mathrm{m}$，即雕塑高度约为29 m。
【答案】
(1) 11.3
(2) 12 m
(3) 29 m
【知识点】
相似三角形的应用，平行投影性质，分式方程的应用
【点评】
本题结合生活中的测量场景，考查用数学知识解决实际问题的能力，需要熟练掌握相似三角形的判定和性质，能结合题意建立方程模型求解，题目贴近生活，有利于锻炼实践应用和数学建模能力。
【难度系数】
0.6
