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七、(本题满分16分)
22. （2026·南京模拟）图①是某汽车转子发动机的截面图，其中有一个可以转动的部件，它的示意图如图②所示。图②的画法如下：画一个边长为$a$的正三角形$ABC$，分别以$A,B,C$为圆心，以$a$为半径画$\overset{\frown}{BC}$，$\overset{\frown}{AC}$，$\overset{\frown}{AB}$。这三段弧组成的图形叫作圆弧三角形$ABC$。
(1)圆弧三角形$ABC$的周长为
(2)圆弧三角形$ABC$运动时有何特性呢？
①如图③，圆弧三角形$ABC$沿直线向右滚动一周，在滚动过程中，它每时每刻都有一个最高点，最高点形成的图形大致为 (
②数学家发现：圆弧三角形$ABC$能在边长为$a$的正方形$DEFG$中转动，且始终保持与正方形的每一边都有且只有一个公共点。图④是转动过程中的一种情形(点$B,C$分别在边$EF,FG$上，$\overset{\frown}{AC}$与边$DG$有且只有一个公共点$M$).求证：$\overset{\frown}{AB}$与$DE$有且只有一个公共点。
(3)尝试画一个“圆弧多边形”，使其满足以下要求：①将它放在边长为$a$的正方形中转动时，也能始终保持与正方形的每一条边都有且只有一个公共点；②该图形不能是圆弧三角形或圆。请画出示意图并写出画法。
22. （2026·南京模拟）图①是某汽车转子发动机的截面图，其中有一个可以转动的部件，它的示意图如图②所示。图②的画法如下：画一个边长为$a$的正三角形$ABC$，分别以$A,B,C$为圆心，以$a$为半径画$\overset{\frown}{BC}$，$\overset{\frown}{AC}$，$\overset{\frown}{AB}$。这三段弧组成的图形叫作圆弧三角形$ABC$。
(1)圆弧三角形$ABC$的周长为
πa
，面积为$\frac{π-\sqrt{3}}{2}a^2$
.(都用含$a$的代数式表示)(2)圆弧三角形$ABC$运动时有何特性呢？
①如图③，圆弧三角形$ABC$沿直线向右滚动一周，在滚动过程中，它每时每刻都有一个最高点，最高点形成的图形大致为 (
A
)②数学家发现：圆弧三角形$ABC$能在边长为$a$的正方形$DEFG$中转动，且始终保持与正方形的每一边都有且只有一个公共点。图④是转动过程中的一种情形(点$B,C$分别在边$EF,FG$上，$\overset{\frown}{AC}$与边$DG$有且只有一个公共点$M$).求证：$\overset{\frown}{AB}$与$DE$有且只有一个公共点。
(3)尝试画一个“圆弧多边形”，使其满足以下要求：①将它放在边长为$a$的正方形中转动时，也能始终保持与正方形的每一条边都有且只有一个公共点；②该图形不能是圆弧三角形或圆。请画出示意图并写出画法。
答案
22. (1)$πa$ $\frac{π-\sqrt{3}}{2}a^2$ 解析:由题意可得,圆弧三角形ABC是由三段圆弧围成的,
∴圆弧三角形ABC的周长为$l_{\overset{\frown}{AC}}+l_{\overset{\frown}{BC}}+l_{\overset{\frown}{AB}}$.
∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°,AB=BC=AC=a,
∴$l_{\overset{\frown}{AC}}=l_{\overset{\frown}{BC}}=l_{\overset{\frown}{AB}}=\frac{60°}{360°}×2×π×a=\frac{1}{3}πa$,
∴圆弧三角形ABC的周长为$l_{\overset{\frown}{AC}}+l_{\overset{\frown}{BC}}+l_{\overset{\frown}{AB}}=3×\frac{1}{3}πa=πa$.如图①,过点A作AH⊥BC,垂足为H,
∴AH=sin∠ACB×AC=sin60°×a=$\frac{\sqrt{3}}{2}a$,
∴$S_{△ABC}=\frac{1}{2}BC×AH=\frac{1}{2}a×\frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$,$S_{扇形ABC}=\frac{60°}{360°}×π×a^2=\frac{1}{6}πa^2$,
∴圆弧三角形ABC的面积为$S_{扇形ABC}×3 - S_{△ABC}×2=\frac{1}{6}πa^2×3 - \frac{\sqrt{3}}{4}a^2×2=\frac{π-\sqrt{3}}{2}a^2$.
(2)①A 解析:圆弧三角形ABC沿直线向右滚动一周,在滚动过程中,与地面接触的圆弧是与地面相切的,如图②③④所示:
∵AP=CP=BP=a,
∴无论切点P的位置在哪段圆弧上,距离切点最远的长度都是相同的,
∴在滚动过程中的最高点距离地面的高度是保持不变的,
∴最高点形成的图形是一条直线.
②如图⑤,过点C作CN⊥ED,垂足为N,
∴∠DNC=90°.
∵四边形DEFG是正方形,
∴∠G=∠D=90°,
∴四边形CGDN是矩形,
∴CN=DG=a,
∴CN是$\overset{\frown}{AB}$所在圆的半径,
∴DE与$\overset{\frown}{AB}$相切,即$\overset{\frown}{AB}$与DE有且只有一个公共点.
(3)如图⑥,画正五边形ABCDE,使其对角线AD=BD=BE=CA=CE=a,分别以A,B,C,D,E为圆心,以a为半径画$\overset{\frown}{DC}$,$\overset{\frown}{DE}$,$\overset{\frown}{AE}$,$\overset{\frown}{AB}$,$\overset{\frown}{BC}$,这五段圆弧组成圆弧五边形.
连接AC,分别过点A、点C作AC的垂线,过点B作AC的平行线,与过点A、点C作的AC的垂线分别交于点F,G,过点B作AC的垂线交$\overset{\frown}{DE}$于点M,过点M作AC的平行线,与过点A、点C作的AC的垂线分别交于点I,H,
∴FG=AC=IH=a,GH=BM=FI=a,∠F=∠G=∠H=∠I=90°,
∴四边形FGHI是边长为a的正方形,
∴圆弧五边形可以在正方形FGHI中转动,并且始终保持与正方形的每一边都有且只有一个公共点,所作图形符合题意.(答案不唯一,合理即可)
解析
【分析】
本题围绕新定义“圆弧三角形”展开考查：
(1) 求周长和面积时，先明确圆弧三角形由3段圆心角为60°、半径为a的等弧围成，周长直接利用弧长公式计算单段弧长后乘3即可；面积可通过“3个扇形面积之和减去重叠的2个正三角形面积”计算，因为三个扇形叠加时中间正三角形部分被重复计算了2次，需扣除多算的部分。
(2) ①判断滚动时最高点的轨迹：圆弧三角形是定宽曲线，宽度等于正三角形边长a，滚动过程中最高点到接触直线的距离始终为a，因此轨迹为水平直线，对应选项即可。②证明弧与DE有且只有一个公共点，本质是证明DE与弧所在的圆相切，即证弧AB的圆心到DE的距离等于半径a，结合正方形边长为a，构造矩形即可得到距离等于半径，根据切线判定定理得证相切，即只有一个公共点。
(3) 构造符合要求的圆弧多边形，需满足定宽等于a的性质，可选正奇数边的正多边形，以各顶点为圆心、定长（等于正方形边长a）为半径画对边对应的弧，即可得到满足条件的图形。
【解析】
(1) 由题意知，圆弧三角形ABC由3段等弧围成，△ABC是边长为a的等边三角形，因此三个内角均为60°，每段弧的半径为a，圆心角为60°。
单段弧长：$l=\frac{60°}{360°}×2πa=\frac{1}{3}πa$，
因此周长为$3×\frac{1}{3}πa=πa$。
过A作AH⊥BC于H，等边三角形高$AH=\frac{\sqrt{3}}{2}a$，
则$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×a×\frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$，
单个扇形面积$S_{扇形}=\frac{60°}{360°}×πa^2=\frac{1}{6}πa^2$，
圆弧三角形面积 = 3个扇形面积 - 2个△ABC面积（三个扇形叠加时中间三角形重复计算2次），即：
$S=3×\frac{1}{6}πa^2 - 2×\frac{\sqrt{3}}{4}a^2=\frac{π-\sqrt{3}}{2}a^2$。
(2) ① 圆弧三角形为定宽曲线，宽度等于边长a，沿直线滚动时，最高点到接触直线的距离始终等于宽度a，因此最高点形成的图形是水平直线，故选A。
② 过点C作CN⊥ED，垂足为N，
∵四边形DEFG是边长为a的正方形，
∴∠D=∠G=90°，
∴四边形CGDN是矩形，
∴CN=DG=a，
又
∵$\overset{\frown}{AB}$所在圆的圆心为C，半径为a，
∴圆心C到DE的距离等于半径a，因此DE与$\overset{\frown}{AB}$所在圆相切，即$\overset{\frown}{AB}$与DE有且只有一个公共点。
(3) 示例：画法如下：
1. 画正五边形ABCDE，使其对角线长为a（即AD=BD=BE=CA=CE=a）；
2. 分别以A,B,C,D,E为圆心，以a为半径画$\overset{\frown}{DC}$，$\overset{\frown}{DE}$，$\overset{\frown}{AE}$，$\overset{\frown}{AB}$，$\overset{\frown}{BC}$，这五段圆弧组成的圆弧五边形即为所求图形。
该图形为定宽等于a的曲线，可在边长为a的正方形内转动，始终与各边有且只有一个公共点，符合要求（答案不唯一，合理即可）。
【答案】
(1) $\boldsymbol{πa}$；$\boldsymbol{\frac{π-\sqrt{3}}{2}a^2}$
(2) ① $\boldsymbol{A}$
② 证明见上述解析
(3) 示例：，画法见上述解析（答案不唯一，合理即可）
【知识点】
1. 弧长与扇形面积计算
2. 切线的判定
3. 正多边形的性质
【点评】
本题以汽车转子发动机截面为背景，结合新定义“圆弧三角形”考查圆的相关性质，题目梯度设置合理：第一问为基础计算，考查弧长、扇形面积公式的应用；第二问为探究应用，考查定宽曲线的特性和切线的判定，注重逻辑推理能力的考查；第三问为创新作图，考查知识迁移和动手实践能力，能有效区分不同层次的学生水平。
【难度系数】
0.5
本题围绕新定义“圆弧三角形”展开考查：
(1) 求周长和面积时，先明确圆弧三角形由3段圆心角为60°、半径为a的等弧围成，周长直接利用弧长公式计算单段弧长后乘3即可；面积可通过“3个扇形面积之和减去重叠的2个正三角形面积”计算，因为三个扇形叠加时中间正三角形部分被重复计算了2次，需扣除多算的部分。
(2) ①判断滚动时最高点的轨迹：圆弧三角形是定宽曲线，宽度等于正三角形边长a，滚动过程中最高点到接触直线的距离始终为a，因此轨迹为水平直线，对应选项即可。②证明弧与DE有且只有一个公共点，本质是证明DE与弧所在的圆相切，即证弧AB的圆心到DE的距离等于半径a，结合正方形边长为a，构造矩形即可得到距离等于半径，根据切线判定定理得证相切，即只有一个公共点。
(3) 构造符合要求的圆弧多边形，需满足定宽等于a的性质，可选正奇数边的正多边形，以各顶点为圆心、定长（等于正方形边长a）为半径画对边对应的弧，即可得到满足条件的图形。
【解析】
(1) 由题意知，圆弧三角形ABC由3段等弧围成，△ABC是边长为a的等边三角形，因此三个内角均为60°，每段弧的半径为a，圆心角为60°。
单段弧长：$l=\frac{60°}{360°}×2πa=\frac{1}{3}πa$，
因此周长为$3×\frac{1}{3}πa=πa$。
过A作AH⊥BC于H，等边三角形高$AH=\frac{\sqrt{3}}{2}a$，
则$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×a×\frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$，
单个扇形面积$S_{扇形}=\frac{60°}{360°}×πa^2=\frac{1}{6}πa^2$，
圆弧三角形面积 = 3个扇形面积 - 2个△ABC面积（三个扇形叠加时中间三角形重复计算2次），即：
$S=3×\frac{1}{6}πa^2 - 2×\frac{\sqrt{3}}{4}a^2=\frac{π-\sqrt{3}}{2}a^2$。
(2) ① 圆弧三角形为定宽曲线，宽度等于边长a，沿直线滚动时，最高点到接触直线的距离始终等于宽度a，因此最高点形成的图形是水平直线，故选A。
② 过点C作CN⊥ED，垂足为N，
∵四边形DEFG是边长为a的正方形，
∴∠D=∠G=90°，
∴四边形CGDN是矩形，
∴CN=DG=a，
又
∵$\overset{\frown}{AB}$所在圆的圆心为C，半径为a，
∴圆心C到DE的距离等于半径a，因此DE与$\overset{\frown}{AB}$所在圆相切，即$\overset{\frown}{AB}$与DE有且只有一个公共点。
(3) 示例：画法如下：
1. 画正五边形ABCDE，使其对角线长为a（即AD=BD=BE=CA=CE=a）；
2. 分别以A,B,C,D,E为圆心，以a为半径画$\overset{\frown}{DC}$，$\overset{\frown}{DE}$，$\overset{\frown}{AE}$，$\overset{\frown}{AB}$，$\overset{\frown}{BC}$，这五段圆弧组成的圆弧五边形即为所求图形。
该图形为定宽等于a的曲线，可在边长为a的正方形内转动，始终与各边有且只有一个公共点，符合要求（答案不唯一，合理即可）。
【答案】
(1) $\boldsymbol{πa}$；$\boldsymbol{\frac{π-\sqrt{3}}{2}a^2}$
(2) ① $\boldsymbol{A}$
② 证明见上述解析
(3) 示例：
，画法见上述解析（答案不唯一，合理即可）【知识点】
1. 弧长与扇形面积计算
2. 切线的判定
3. 正多边形的性质
【点评】
本题以汽车转子发动机截面为背景，结合新定义“圆弧三角形”考查圆的相关性质，题目梯度设置合理：第一问为基础计算，考查弧长、扇形面积公式的应用；第二问为探究应用，考查定宽曲线的特性和切线的判定，注重逻辑推理能力的考查；第三问为创新作图，考查知识迁移和动手实践能力，能有效区分不同层次的学生水平。
【难度系数】
0.5
