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1. 已知一张正方形纸片的边长减少3 cm，它的面积减少了27 cm²。设正方形纸片的边长为x cm，根据题意，可列方程()。
A.$x^2 - 9 = 27$
B.$x^2 - 6x = 27$
C.$3x + 3x + 9 = 27$
D.$3x + 3(x - 3) = 27$
A.$x^2 - 9 = 27$
B.$x^2 - 6x = 27$
C.$3x + 3x + 9 = 27$
D.$3x + 3(x - 3) = 27$
答案
D
解析
设正方形纸片的边长为$x\ \mathrm{cm}$，则原正方形面积为$x^2\ \mathrm{cm}^2$，边长减少$3\ \mathrm{cm}$后，新正方形边长为$(x-3)\ \mathrm{cm}$，新面积为$(x-3)^2\ \mathrm{cm}^2$。根据面积减少$27\ \mathrm{cm}^2$，可得等式：原面积$-$新面积$=27$，即$x^2-(x-3)^2=27$，展开去括号得$x^2-x^2+6x-9=27$，整理后得到$3x+3(x-3)=27$。
2. 在月历中，任意框出竖列上三个相邻的数，这三个数的和可能是().
A.54
B.62
C.65
D.75
A.54
B.62
C.65
D.75
答案
A
解析
设竖列上三个相邻的数中间的数为$x$，则上方的数为$x-7$，下方的数为$x+7$，三个数的和为$(x-7)+x+(x+7)=3x$，因此三个数的和一定是3的倍数，据此排除不是3的倍数的选项B、C。
若和为54，则$3x=54$，解得$x=18$，三个数分别为11、18、25，均为合法的月历日期，符合要求。
若和为75，则$3x=75$，解得$x=25$，下方的数为$25+7=32$，一个月最多31天，该数不存在，不符合要求。
综上答案为A。
若和为54，则$3x=54$，解得$x=18$，三个数分别为11、18、25，均为合法的月历日期，符合要求。
若和为75，则$3x=75$，解得$x=25$，下方的数为$25+7=32$，一个月最多31天，该数不存在，不符合要求。
综上答案为A。
3. 如图是由边长相同的灰、白方块拼成的图形.
第个图形中灰色和白色方块的总和为2025.
第个图形中灰色和白色方块的总和为2025.
答案
解：设第$ n $个图形中灰色和白色方块的总和为2025。
观察图形可知：
第1个图形方块总数为$ 9 = 8×1 + 1 $，
第2个图形方块总数为$ 17 = 8×2 + 1 $，
第3个图形方块总数为$ 25 = 8×3 + 1 $，
因此第$ n $个图形方块总数可表示为$ 8n+1 $。
列方程得：
$8n + 1 = 2025$
移项合并得：
$8n = 2024$
系数化为1得：
$n = 253$
答：第253个图形中灰色和白色方块的总和为2025。
观察图形可知：
第1个图形方块总数为$ 9 = 8×1 + 1 $，
第2个图形方块总数为$ 17 = 8×2 + 1 $，
第3个图形方块总数为$ 25 = 8×3 + 1 $，
因此第$ n $个图形方块总数可表示为$ 8n+1 $。
列方程得：
$8n + 1 = 2025$
移项合并得：
$8n = 2024$
系数化为1得：
$n = 253$
答：第253个图形中灰色和白色方块的总和为2025。
4. 长方形的长与宽的比是$5:2$，它的周长为56，这个长方形的面积为。
答案
解：设长方形的长为$5x$，宽为$2x$。
根据题意列方程得：
$2(5x + 2x) = 56$
化简得：$14x = 56$
解得：$x = 4$
则长方形的长为$5×4=20$，宽为$2×4=8$，
长方形的面积为$20×8=160$。
答：这个长方形的面积为160。
根据题意列方程得：
$2(5x + 2x) = 56$
化简得：$14x = 56$
解得：$x = 4$
则长方形的长为$5×4=20$，宽为$2×4=8$，
长方形的面积为$20×8=160$。
答：这个长方形的面积为160。
5. 一个直角三角形三边长之比为$3:4:5$，周长为36，此三角形的面积为。
答案
解：设此直角三角形的三边长分别为$3x$，$4x$，$5x$。
根据题意列方程得：
$3x + 4x + 5x = 36$
合并同类项，得：
$12x = 36$
系数化为1，得：
$x = 3$
则两条直角边的长度分别为$3x=9$，$4x=12$。
三角形面积为$\frac{1}{2} × 9 × 12 = 54$。
答：此三角形的面积为54。
根据题意列方程得：
$3x + 4x + 5x = 36$
合并同类项，得：
$12x = 36$
系数化为1，得：
$x = 3$
则两条直角边的长度分别为$3x=9$，$4x=12$。
三角形面积为$\frac{1}{2} × 9 × 12 = 54$。
答：此三角形的面积为54。
6. 某游戏规则:赢一次得4分,败一次扣2分.小明连续玩了30次这种游戏是否能得到100分?
答案
解：设小明赢了x次，则败了(30-x)次。
根据题意列方程：
$4x - 2(30 - x) = 100$
去括号，得：
$4x - 60 + 2x = 100$
移项、合并同类项，得：
$6x = 160$
解得：
$x = \dfrac{80}{3}$
因为x表示赢游戏的次数，必须为正整数，$\dfrac{80}{3}$不是整数，不符合实际意义。
答：小明连续玩30次这种游戏不能得到100分。
根据题意列方程：
$4x - 2(30 - x) = 100$
去括号，得：
$4x - 60 + 2x = 100$
移项、合并同类项，得：
$6x = 160$
解得：
$x = \dfrac{80}{3}$
因为x表示赢游戏的次数，必须为正整数，$\dfrac{80}{3}$不是整数，不符合实际意义。
答：小明连续玩30次这种游戏不能得到100分。
