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1. 如图，$△ AOB$为等腰三角形，$OA=AB$，顶点$A$的坐标为$(2,\sqrt{5})$，底边$OB$在$x$轴上。将$△ AOB$绕点$B$按顺时针方向旋转一定角度后得$△ A'O'B$，点$A$的对应点$A'$在$x$轴上，则点$O'$的坐标为（
A.$(\dfrac{20}{3},\dfrac{10}{3})$
B.$(\dfrac{16}{3},\dfrac{4\sqrt{5}}{3})$
C.$(\dfrac{16}{3},4\sqrt{3})$
D.$(\dfrac{20}{3},\dfrac{4\sqrt{5}}{3})$
D
）A.$(\dfrac{20}{3},\dfrac{10}{3})$
B.$(\dfrac{16}{3},\dfrac{4\sqrt{5}}{3})$
C.$(\dfrac{16}{3},4\sqrt{3})$
D.$(\dfrac{20}{3},\dfrac{4\sqrt{5}}{3})$
答案
1. D
解析
【分析】
解题思路可分为三步：①先利用等腰三角形三线合一的性质，结合点A的坐标求出OB的长度和点B的坐标，再用勾股定理计算AB的长度；②根据旋转的性质可知旋转前后三角形全等，得到△A'O'B各对应边的长度和面积都与原三角形相等；③过O'作x轴的垂线构造直角三角形，先利用面积法求出O'的纵坐标，再用勾股定理求出水平线段长度，最终得到O'的横坐标。
【解析】
1. 过点A作$AC⊥ x$轴于点C，已知$A(2,\sqrt{5})$，则$OC=2$，$AC=\sqrt{5}$。
因为$△ AOB$是等腰三角形，$OA=AB$，$AC⊥ OB$，所以C是OB中点，因此$OB=2OC=4$，点B坐标为$(4,0)$。
在$Rt△ ACB$中，由勾股定理得：$AB=\sqrt{BC^2+AC^2}=\sqrt{2^2+(\sqrt{5})^2}=3$，即$OA=AB=3$。
2. 由旋转的性质得$△ A'O'B≌△ AOB$，因此$BO'=BO=4$，$A'B=AB=3$，$S_{△ A'O'B}=S_{△ AOB}$。
原三角形面积$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}× OB× AC=\frac{1}{2}×4×\sqrt{5}=2\sqrt{5}$。
3. 过点$O'$作$O'D⊥ x$轴于点D，$△ A'O'B$以$A'B$为底时，高为$O'D$，则$S_{△ A'O'B}=\frac{1}{2}× A'B× O'D$，代入数值：
$2\sqrt{5}=\frac{1}{2}×3× O'D$，解得$O'D=\frac{4\sqrt{5}}{3}$，即$O'$的纵坐标为$\frac{4\sqrt{5}}{3}$。
在$Rt△ O'BD$中，由勾股定理得：$BD=\sqrt{BO'^2-O'D^2}=\sqrt{4^2-(\frac{4\sqrt{5}}{3})^2}=\frac{8}{3}$。
因此$O'$的横坐标为$OB+BD=4+\frac{8}{3}=\frac{20}{3}$，即$O'$坐标为$(\frac{20}{3},\frac{4\sqrt{5}}{3})$。
【答案】D
【知识点】
等腰三角形性质，旋转的性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查平面直角坐标系与几何变换的结合，解题核心是抓住旋转前后图形全等的性质，通过作高构造直角三角形，结合面积法和勾股定理求解点坐标，是几何类坐标问题的典型考法。
【难度系数】
0.65
解题思路可分为三步：①先利用等腰三角形三线合一的性质，结合点A的坐标求出OB的长度和点B的坐标，再用勾股定理计算AB的长度；②根据旋转的性质可知旋转前后三角形全等，得到△A'O'B各对应边的长度和面积都与原三角形相等；③过O'作x轴的垂线构造直角三角形，先利用面积法求出O'的纵坐标，再用勾股定理求出水平线段长度，最终得到O'的横坐标。
【解析】
1. 过点A作$AC⊥ x$轴于点C，已知$A(2,\sqrt{5})$，则$OC=2$，$AC=\sqrt{5}$。
因为$△ AOB$是等腰三角形，$OA=AB$，$AC⊥ OB$，所以C是OB中点，因此$OB=2OC=4$，点B坐标为$(4,0)$。
在$Rt△ ACB$中，由勾股定理得：$AB=\sqrt{BC^2+AC^2}=\sqrt{2^2+(\sqrt{5})^2}=3$，即$OA=AB=3$。
2. 由旋转的性质得$△ A'O'B≌△ AOB$，因此$BO'=BO=4$，$A'B=AB=3$，$S_{△ A'O'B}=S_{△ AOB}$。
原三角形面积$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}× OB× AC=\frac{1}{2}×4×\sqrt{5}=2\sqrt{5}$。
3. 过点$O'$作$O'D⊥ x$轴于点D，$△ A'O'B$以$A'B$为底时，高为$O'D$，则$S_{△ A'O'B}=\frac{1}{2}× A'B× O'D$，代入数值：
$2\sqrt{5}=\frac{1}{2}×3× O'D$，解得$O'D=\frac{4\sqrt{5}}{3}$，即$O'$的纵坐标为$\frac{4\sqrt{5}}{3}$。
在$Rt△ O'BD$中，由勾股定理得：$BD=\sqrt{BO'^2-O'D^2}=\sqrt{4^2-(\frac{4\sqrt{5}}{3})^2}=\frac{8}{3}$。
因此$O'$的横坐标为$OB+BD=4+\frac{8}{3}=\frac{20}{3}$，即$O'$坐标为$(\frac{20}{3},\frac{4\sqrt{5}}{3})$。
【答案】D
【知识点】
等腰三角形性质，旋转的性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查平面直角坐标系与几何变换的结合，解题核心是抓住旋转前后图形全等的性质，通过作高构造直角三角形，结合面积法和勾股定理求解点坐标，是几何类坐标问题的典型考法。
【难度系数】
0.65
2. 如图,在平面直角坐标系中,点$B(8,4)$,连接$OB$,将$OB$绕点$O$按逆时针方向旋转$90°$,得到$OB'$,则点$B'$的坐标为
(-4,8)
.答案
2. $(-4,8)$
解析
【分析】
本题是平面直角坐标系中点的旋转问题，解题思路如下：首先根据旋转的性质，可知旋转后$OB'$与$OB$长度相等，夹角为$90°$，我们可以通过分别过点$B$、$B'$作坐标轴的垂线，构造两个全等的直角三角形，利用全等三角形的性质得到点$B'$到$x$轴、$y$轴的距离，再结合$B'$所在的第二象限的坐标符号特征，即可求出$B'$的坐标；也可直接运用点绕原点逆时针旋转$90°$的坐标变化规律快速求解。
【解析】
解：过点$B$作$BC⊥ x$轴于点$C$，过点$B'$作$B'D⊥ y$轴于点$D$，
$\therefore∠ BCO=∠ ODB'=90°$。
已知点$B$的坐标为$(8,4)$，因此$OC=8$，$BC=4$。
由旋转的性质可得：$OB=OB'$，$∠ BOB'=90°$，
$\therefore∠ B'OD + ∠ BOC = 180° - 90° = 90°$。
又$\because$在$\mathrm{Rt}△ BOC$中，$∠ BOC + ∠ OBC = 90°$，
$\therefore∠ OBC = ∠ B'OD$。
在$△ BOC$和$△ OB'D$中：
$\begin{cases}∠ BCO=∠ ODB' \\∠ OBC=∠ B'OD \\OB=OB'\end{cases}$
$\therefore△ BOC≌△ OB'D$（$\mathrm{AAS}$），
$\therefore OD=BC=4$，$B'D=OC=8$。
$\because$点$B'$位于第二象限，横坐标为负，纵坐标为正，
$\therefore$点$B'$的坐标为$(-4,8)$。
【答案】
$(-4,8)$
【知识点】
图形的旋转，全等三角形的判定与性质，平面直角坐标系
【点评】
本题是旋转与坐标结合的基础题型，通过构造全等三角形推导坐标的方法，能帮我们更好地理解旋转的性质，也可记住点绕原点逆时针旋转$90°$的坐标变化规律：原坐标$(x,y)$旋转后变为$(-y,x)$，提高解题效率，解题时注意不要搞混坐标的符号和数值对应关系。
【难度系数】
0.7
本题是平面直角坐标系中点的旋转问题，解题思路如下：首先根据旋转的性质，可知旋转后$OB'$与$OB$长度相等，夹角为$90°$，我们可以通过分别过点$B$、$B'$作坐标轴的垂线，构造两个全等的直角三角形，利用全等三角形的性质得到点$B'$到$x$轴、$y$轴的距离，再结合$B'$所在的第二象限的坐标符号特征，即可求出$B'$的坐标；也可直接运用点绕原点逆时针旋转$90°$的坐标变化规律快速求解。
【解析】
解：过点$B$作$BC⊥ x$轴于点$C$，过点$B'$作$B'D⊥ y$轴于点$D$，
$\therefore∠ BCO=∠ ODB'=90°$。
已知点$B$的坐标为$(8,4)$，因此$OC=8$，$BC=4$。
由旋转的性质可得：$OB=OB'$，$∠ BOB'=90°$，
$\therefore∠ B'OD + ∠ BOC = 180° - 90° = 90°$。
又$\because$在$\mathrm{Rt}△ BOC$中，$∠ BOC + ∠ OBC = 90°$，
$\therefore∠ OBC = ∠ B'OD$。
在$△ BOC$和$△ OB'D$中：
$\begin{cases}∠ BCO=∠ ODB' \\∠ OBC=∠ B'OD \\OB=OB'\end{cases}$
$\therefore△ BOC≌△ OB'D$（$\mathrm{AAS}$），
$\therefore OD=BC=4$，$B'D=OC=8$。
$\because$点$B'$位于第二象限，横坐标为负，纵坐标为正，
$\therefore$点$B'$的坐标为$(-4,8)$。
【答案】
$(-4,8)$
【知识点】
图形的旋转，全等三角形的判定与性质，平面直角坐标系
【点评】
本题是旋转与坐标结合的基础题型，通过构造全等三角形推导坐标的方法，能帮我们更好地理解旋转的性质，也可记住点绕原点逆时针旋转$90°$的坐标变化规律：原坐标$(x,y)$旋转后变为$(-y,x)$，提高解题效率，解题时注意不要搞混坐标的符号和数值对应关系。
【难度系数】
0.7
3. 如图,点$A,B,C$的坐标分别为$(-4,0),(2,0),(0,6)$.
(1) 求$△ ABC$的面积$S_{△ ABC}$；
(2) 过点$C$作直线$l // x$轴,点$M$为直线$l$上任意一点,试猜想$S_{△ CAB}$与$S_{△ MAB}$的关系,并证明你的猜想；
(3) 试在坐标轴上找一点$P$,使$S_{△ ACP}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$,请直接写出满足条件的点$P$的坐标.
(1) 求$△ ABC$的面积$S_{△ ABC}$；
(2) 过点$C$作直线$l // x$轴,点$M$为直线$l$上任意一点,试猜想$S_{△ CAB}$与$S_{△ MAB}$的关系,并证明你的猜想；
(3) 试在坐标轴上找一点$P$,使$S_{△ ACP}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$,请直接写出满足条件的点$P$的坐标.
答案
3. (1) $\because A,B,C$三点的坐标分别为$(-4,0),(2,0),(0,6). \therefore AB=6,OC=6$. 由图可知,$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} AB · OC=\frac{1}{2} × 6 × 6=18$
(2) 猜想:$S_{△ CAB}=S_{△ MAB}. \because$ 直线$l$平行于$x$轴,点$M$与点$C$在直线$l$上,$\therefore △ CAB$和$△ MAB$的$AB$边上的高相等,都为6. 又$\because △ CAB$和$△ MAB$同底,为$AB=6, \therefore S_{△ MAB}=S_{△ ABC}$
(3) 如图①,当点$P$在$x$轴上时,设$P(x,0)$,则$AP=|x+4|, \therefore S_{△ ACP}=\frac{1}{2} AP · OC=\frac{1}{2} × |x+4| × 6=|3x+12|. \because S_{△ ACP}=\frac{1}{2}S_{△ ABC},S_{△ ABC}=18, \therefore |3x+12|=\frac{1}{2} × 18$,解得$x=-1$或$x=-7. \therefore P_1(-1,0),P_2(-7,0)$. 如图②,当点$P$在$y$轴上时,设$P(0,y)$,则$CP=|y-6|, \therefore S_{△ ACP}=\frac{1}{2} CP · OA=\frac{1}{2} × |y-6| × 4=|2y-12|. \because S_{△ ACP}=\frac{1}{2}S_{△ ABC},S_{△ ABC}=18, \therefore |2y-12|=\frac{1}{2} × 18$,解得$y=\frac{21}{2}$或$y=\frac{3}{2}. \therefore$ 满足条件的点$P$坐标为$P_1(-7,0),P_2(-1,0),P_3(0,\frac{21}{2}),P_4(0,\frac{3}{2})$
解析
【分析】
(1) 求△ABC的面积时，先观察到A、B均在x轴上，可先计算AB的长度，AB的长度等于两点横坐标差的绝对值，△ABC中AB边上的高是点C到x轴的距离，也就是C点的纵坐标长度，代入三角形面积公式即可求解。
(2) 判断两个三角形面积关系时，首先发现△CAB和△MAB共底AB，再结合直线l平行x轴的性质，可知直线l上所有点到x轴的距离相等，即两个三角形AB边上的高相等，根据“同底等高的三角形面积相等”即可得出结论。
(3) 找坐标轴上的点P时，需分两种情况讨论：①点P在x轴上时，设P(x,0)，以AP为底，OC为高，结合面积关系列含绝对值的方程求解；②点P在y轴上时，设P(0,y)，以CP为底，OA为高，同样根据面积关系列含绝对值的方程求解，注意绝对值方程有两个解，避免漏解。
【解析】
(1) 已知A(-4,0)、B(2,0)、C(0,6)，则$AB=|2 - (-4)|=6$，点C到x轴的距离$OC=6$。
根据三角形面积公式：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AB × OC = \frac{1}{2} × 6 × 6 = 18$。
(2) 猜想：$S_{△ CAB}=S_{△ MAB}$。
证明：
∵直线$l // x$轴，点C、M都在直线l上，
∴点C和点M到AB所在直线（x轴）的距离相等，均为6，即△CAB和△MAB的AB边上的高相等，
又
∵两个三角形共底AB，底长为6，
∴$S_{△ MAB}=S_{△ CAB}$。
(3) 分两种情况讨论：
① 当点P在x轴上时，设$P(x,0)$，则$AP=|x + 4|$，
$S_{△ ACP}=\frac{1}{2} × AP × OC = \frac{1}{2} × |x + 4| × 6 = |3x + 12|$，
由题意$S_{△ ACP}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=9$，
∴$|3x + 12| = 9$，解得$x=-1$或$x=-7$，即$P_1(-1,0)$，$P_2(-7,0)$。
② 当点P在y轴上时，设$P(0,y)$，则$CP=|y - 6|$，
$S_{△ ACP}=\frac{1}{2} × CP × OA = \frac{1}{2} × |y - 6| × 4 = |2y - 12|$，
由题意$|2y - 12| = 9$，解得$y=\frac{21}{2}$或$y=\frac{3}{2}$，即$P_3(0,\frac{21}{2})$，$P_4(0,\frac{3}{2})$。
【答案】
(1) $S_{△ ABC}=18$；
(2) $S_{△ CAB}=S_{△ MAB}$，证明如上；
(3) 满足条件的点P坐标为$(-7,0)$、$(-1,0)$、$(0,\frac{3}{2})$、$(0,\frac{21}{2})$。
【知识点】
三角形面积计算，平行线的性质，坐标与图形性质
【点评】
本题结合平面直角坐标系考察三角形面积的相关计算，前两问侧重基础，核心是利用同底等高的三角形面积相等的性质解题；第三问需要运用分类讨论思想，分别考虑点在x轴和y轴上的两种情况，结合绝对值方程求解，解题时注意不要漏解，能有效考察对基础公式的运用能力和思维的严谨性。
【难度系数】
0.7
(1) 求△ABC的面积时，先观察到A、B均在x轴上，可先计算AB的长度，AB的长度等于两点横坐标差的绝对值，△ABC中AB边上的高是点C到x轴的距离，也就是C点的纵坐标长度，代入三角形面积公式即可求解。
(2) 判断两个三角形面积关系时，首先发现△CAB和△MAB共底AB，再结合直线l平行x轴的性质，可知直线l上所有点到x轴的距离相等，即两个三角形AB边上的高相等，根据“同底等高的三角形面积相等”即可得出结论。
(3) 找坐标轴上的点P时，需分两种情况讨论：①点P在x轴上时，设P(x,0)，以AP为底，OC为高，结合面积关系列含绝对值的方程求解；②点P在y轴上时，设P(0,y)，以CP为底，OA为高，同样根据面积关系列含绝对值的方程求解，注意绝对值方程有两个解，避免漏解。
【解析】
(1) 已知A(-4,0)、B(2,0)、C(0,6)，则$AB=|2 - (-4)|=6$，点C到x轴的距离$OC=6$。
根据三角形面积公式：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AB × OC = \frac{1}{2} × 6 × 6 = 18$。
(2) 猜想：$S_{△ CAB}=S_{△ MAB}$。
证明：
∵直线$l // x$轴，点C、M都在直线l上，
∴点C和点M到AB所在直线（x轴）的距离相等，均为6，即△CAB和△MAB的AB边上的高相等，
又
∵两个三角形共底AB，底长为6，
∴$S_{△ MAB}=S_{△ CAB}$。
(3) 分两种情况讨论：
① 当点P在x轴上时，设$P(x,0)$，则$AP=|x + 4|$，
$S_{△ ACP}=\frac{1}{2} × AP × OC = \frac{1}{2} × |x + 4| × 6 = |3x + 12|$，
由题意$S_{△ ACP}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=9$，
∴$|3x + 12| = 9$，解得$x=-1$或$x=-7$，即$P_1(-1,0)$，$P_2(-7,0)$。
② 当点P在y轴上时，设$P(0,y)$，则$CP=|y - 6|$，
$S_{△ ACP}=\frac{1}{2} × CP × OA = \frac{1}{2} × |y - 6| × 4 = |2y - 12|$，
由题意$|2y - 12| = 9$，解得$y=\frac{21}{2}$或$y=\frac{3}{2}$，即$P_3(0,\frac{21}{2})$，$P_4(0,\frac{3}{2})$。
【答案】
(1) $S_{△ ABC}=18$；
(2) $S_{△ CAB}=S_{△ MAB}$，证明如上；
(3) 满足条件的点P坐标为$(-7,0)$、$(-1,0)$、$(0,\frac{3}{2})$、$(0,\frac{21}{2})$。
【知识点】
三角形面积计算，平行线的性质，坐标与图形性质
【点评】
本题结合平面直角坐标系考察三角形面积的相关计算，前两问侧重基础，核心是利用同底等高的三角形面积相等的性质解题；第三问需要运用分类讨论思想，分别考虑点在x轴和y轴上的两种情况，结合绝对值方程求解，解题时注意不要漏解，能有效考察对基础公式的运用能力和思维的严谨性。
【难度系数】
0.7
