1. （2026·曲靖模拟）请你根据下列素材，完成有关任务.
背景:张雪机车凭借自主研发的470cc直列四缸、819cc直列三缸发动机打破国际垄断,旗下820RR车型性能比肩国际竞品.2026年3月WSBK葡萄牙站,基于820RR打造的张雪53号赛车斩获两天两连冠,成为中国品牌首个WSBK中量级冠军——赛事中直线加速“硬吃”雅马哈、杜卡迪,第一回合领先3.685秒,第二回合直道强行一穿二夺冠,完美诠释国产摩托从0到1的突破.为满足市场需求,某销售门店计划购进这两款自研主力车型.
素材一:购进2辆500RR车型与购进1辆820RR车型需要的费用相等；
素材二:购进5辆500RR车型和3辆820RR车型共需33万元；
素材三:该门店计划购进两款车型共15辆,两款车型均需购进,且购进500RR的辆数不超过购进820RR辆数的3倍.
请完成下列任务:
(1)任务一:每辆500RR车型、每辆820RR车型的进价分别是多少万元?
(2)任务二:若每辆500RR车型售价3.8万元,每辆820RR车型售价6.5万元,哪种购买方案能获得最大利润?最大利润是多少万元?

(1)设每辆500RR车型的进价为x万元,每辆820RR车型的进价为y万元,根据题意,可列方程 $\begin{cases}2x=y,\\5x+3y=33,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x=3,\\y=6.\end{cases}$ 答:每辆500RR车型的进价为3万元,每辆820RR车型的进价为6万元.
(2)设购进500RR车型a辆,则购进820RR车型(15-a)辆,利润为w万元,根据题意,可得 $\begin{cases}0＜a＜15,\\0＜15-a＜15,\\a≤3(15-a),\end{cases}$ 解得 $0＜a≤\frac{45}{4}$,
∵a是正整数,
∴$1≤ a≤11$,$w=(3.8-3)a+(6.5-6)(15-a)=0.3a+7.5$.
∵0.3＞0,
∴w随a的增大而增大,
∴当a=11时,w取得最大值0.3×11+7.5=10.8(万元).答:购进500RR车型11辆,购进820RR车型4辆时,获得的利润最大,最大利润为10.8万元.

2. ★★ (2026·运城月考)综合与探究.
问题情境:2025年世界机器人运动大会竞速项目中,甲、乙两款机器人在120 m的直线跑道上进行比赛.他们从跑道的同一起点同时出发,跑到终点,然后沿原路返回起点.
问题探究:比赛过程中,机器人实时位置到起点的距离y(单位:m)与时间t(单位:s)的函数图象(不完整)如图所示,其中折线OM-MN是甲款机器人的图象,线段OP是乙款机器人的部分图象,已知OM对应的函数表达式为$y=4t$.
问题解决:(1)①点M的坐标为;
②求线段OP对应的函数表达式.
(2)乙款机器人到达终点后,因故障耽误了5 s,然后以原来的速度返回起点,请你在图中画出乙款机器人返回时的大致函数图象(线段),用字母标注两个端点,并写出两个端点的坐标.
(3)从乙款机器人到达终点后开始探究,当两款机器人到起点的距离之差为25 m时,直接写出t的值.

(1)①(30,120) 解析:
∵OM对应的函数表达式为y=4t,观察图象知点M的纵坐标为120,
∴120=4t,解得t=30,
∴点M的坐标为(30,120).
②观察图象知P(40,120),设线段OP对应的函数表达式为y=kt(k≠0),把点P(40,120)代入,得120=40k,解得k=3,
∴线段OP对应的函数表达式为y=3t.
(2)
∵乙款机器人到达终点后,因故障耽误了5 s,
∴点E的横坐标为40+5=45,
∴E(45,120).
∵是以相同的速度返回起点,
∴返回所用的时间与来时用的时间相同,为40 s,
∴点F的横坐标为45+40=85,
∴F(85,0),
∴E(45,120),F(85,0).
(3)t的值为$\frac{85}{2}$或50. 解析:设线段MN对应的函数表达式为y=at+b(a≠0),
∵M(30,120),N(90,0),
∴$\begin{cases}120=30a+b,\\0=90a+b,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=-2,\\b=180,\end{cases}$
∴线段MN对应的函数表达式为y=-2t+180.设线段EF对应的函数表达式为y=mt+n(m≠0),
∵E(45,120),F(85,0),
∴$\begin{cases}120=45m+n,\\0=85m+n,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}m=-3,\\n=255,\end{cases}$
∴线段EF对应的函数表达式为y=-3t+255.当40＜t＜90时,当乙款机器人还未动,但与甲款机器人相距25 m时,则有120-(-2t+180)=25,解得t=$\frac{85}{2}$;当乙款机器人已动但还未到达起点,两款机器人到起点的距离之差为25 m时,则有|(-3t+255)-(-2t+180)|=25,解得t=50或t=100(舍去).令y=0,-2t+180=0,则t=90,-3t+255=0,则t=85,即乙在85 s时回到起点,甲在90 s时回到起点,当乙回到起点但甲还未到,两款机器人相距25 m时,|(-2t+180)|=25,解得t=102.5或t=77.5,
∵85≤t≤90,
∴以上两种情况都舍去.故t的值为$\frac{85}{2}$或50.